高考数学一轮复习 第2章 热点探究课1 导数应用中的高考热点问题

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函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．
(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
[思路点拨] (1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a的范围．
[规范解答] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(1,x)－a.2分
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.3分
若a>0，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))时，f′(x)>0；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)0时，f(x)在x＝eq \f(1,a)取得最大值，最大值为
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))＝－ln a＋a－1.9分
因此feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))>2a－2等价于ln a＋a－10，f′(x)没有零点；
当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－eq \f(a,x)，3分
因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－eq \f(a,x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(a)>0，当b满足0