高考数学一轮复习 第4章 重点强化课2 平面向量

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(1)(2017·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \(AC,\s\up8(→))＝λeq \(AM,\s\up8(→))＋μeq \(BD,\s\up8(→))，则λ＋μ＝( )
图1
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(15,8)D．2
(2)在▱ABCD中，AB＝a，eq \(AD,\s\up8(→))＝b,3eq \(AN,\s\up8(→))＝eq \(NC,\s\up8(→))，M为BC的中点，则eq \(MN,\s\up8(→))＝________.(用a，b表示)
【导学号：31222163】
(1)B (2)－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b [(1)因为eq \(AC,\s\up8(→))＝λeq \(AM,\s\up8(→))＋μeq \(BD,\s\up8(→))＝λ(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BM,\s\up8(→)))＋μ(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up8(→))))＋μ(－eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→)))＝(λ－μ)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AD,\s\up8(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3)，故选B.
(2)如图所示，eq \(MN,\s\up8(→))＝eq \(MC,\s\up8(→))＋eq \(CN,\s\up8(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up8(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)(eq \(CB,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)(eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(BA,\s\up8(→)))
＝eq \f(1,2)b－eq \f(3,4)a－eq \f(3,4)b＝－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b.]
[规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．
3．O在AB外，A，B，C三点共线，且eq \(OA,\s\up8(→))＝λeq \(OB,\s\up8(→))＋μeq \(OC,\s\up8(→))，则有λ＋μ＝1.
[对点训练1] 设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＋2eq \(OC,\s\up8(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( ) 【导学号：31222164】
A．3 B．4
C．5 D．6
B [因为D为AB的中点，
则eq \(OD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→)))，
又eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＋2eq \(OC,\s\up8(→))＝0，
所以eq \(OD,\s\up8(→))＝－eq \(OC,\s\up8(→))，所以O为CD的中点．
又因为D为AB的中点，
所以S△AOC＝eq \f(1,2)S△ADC＝eq \f(1,4)S△ABC，
则eq \f(S△ABC,SAOC)＝4.]
重点2 平面向量数量积的综合应用
(2016·杭州模拟)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足|eq \(PM,\s\up8(→))|＝
2|eq \(PN,\s\up8(→))|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f(a)＝eq \(GA,\s\up8(→))·eq \(GB,\s\up8(→))，求f(a)的取值范围．
[解] (1)设P的坐标为(x，y)，则eq \(PM,\s\up8(→))＝(4－x，－y)，eq \(PN,\s\up8(→))＝(1－x，－y)．
∵动点P满足|eq \(PM,\s\up8(→))|＝2|eq \(PN,\s\up8(→))|，
∴eq \r(4－x2＋y2)＝2eq \r(1－x2＋y2)，
整理得x2＋y2＝4.4分
(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，eq \r(4－a2))，B(a，－eq \r(4－a2))，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up8(→))·eq \(GB,\s\up8(→))＝(0，eq \r(4－a2))·(0，－eq \r(4－a2))＝a2－4；6分
(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，
代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(2ak2,1＋k2)，x1x2＝eq \f(k2a2－4,1＋k2)，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up8(→))·eq \(GB,\s\up8(→))＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.
由(a)(b)得f(a)＝a2－4.10分
∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，
∴－2