高考数学一轮复习 第2章 第11节 导数与函数的单调性

这是一份高考数学一轮复习 第2章 第11节 导数与函数的单调性，共12页。

函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．( )
(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )
A．(0,4)B．(0,2)
C．(4，＋∞)D．(－∞，0)
A [f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)0，所以ex－1>x，
从而g(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,ex－1)>0.12分
(2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．
[解] 由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况讨论：
①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).5分
②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝eq \f(\r(3a),3)或x＝－eq \f(\r(3a),3).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))，单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3a),3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3a),3)，＋∞)).12分
[规律方法] 求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；
(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．
[变式训练2] 已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为________．
(－eq \r(2)，eq \r(2)) [因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex
＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，
因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－eq \r(2)＜x＜eq \r(2)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－eq \r(2)，eq \r(2))．]
已知函数f(x)＝x3－ax－1.
【导学号：31222082】
若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
[解] 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立.5分
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0].12分
[迁移探究1] (变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
[解] 因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，7分
所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3].12分
[迁移探究2] (变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．
[解] 由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立.5分
因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数.12分
[迁移探究3] (变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±eq \f(\r(3a),3)(a≥0).5分
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜eq \f(\r(3a),3)＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0,3).12分
[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了eq \f(\r(3a),3)∈(0,1)来求解．
[变式训练3] (2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－eq \f(1,3)sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．[－1,1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))
C [取a＝－1，则f(x)＝x－eq \f(1,3)sin 2x－sin x，f′(x)＝1－eq \f(2,3)cs 2x－cs x，但f′(0)＝1－eq \f(2,3)－1＝－eq \f(2,3)＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.]
[思想与方法]
1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)＞0，f′(x)＜0的解区间，并注意函数f(x)的定义域．
2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．
3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．
[易错与防范]
1．求单调区间应遵循定义域优先的原则．
2．注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别．
3．在某区间内f′(x)>0(f′(x)