高考数学一轮复习 第5章 第1节 数列的概念与简单表示法

这是一份高考数学一轮复习 第5章 第1节 数列的概念与简单表示法，共14页。
[五年考情]
[重点关注]
1．从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题，其中解答题与解三角形交替考查，中低档难度．
2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、an与Sn的关系、递推公式以及数列求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题．
3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查，加大对探究、创新能力的考查力度．
[导学心语]
1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量的计算．
2．重视an与Sn关系、递推关系的理解与应用，加强由Sn求an，由递推关系求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．
3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题，等差(比)数列中共涉及五个量a1、an、Sn、d(q)、n，“知三求二”，体现了方程思想的应用．
一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法．
重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力．
第一节 数列的概念与简单表示法
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[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
6．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )
(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
(4)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝eq \f(1,2an－1)，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15B．16
C．49D．64
A [当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5­1­1)．
图5­1­1
则第7个三角形数是( )
A．27 B．28 C．29 D．30
B [由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
4．(教材改编)数列1，eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，eq \f(4,7)，eq \f(5,9)，…的一个通项公式an是__________．
eq \f(n,2n－1) [由已知得，数列可写成eq \f(1,1)，eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，…，故通项为eq \f(n,2n－1).]
5．(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝__________.
eq \f(1,2) [由an＋1＝eq \f(1,1－an)，得an＝1－eq \f(1,an＋1)，
∵a8＝2，∴a7＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
a6＝1－eq \f(1,a7)＝－1，a5＝1－eq \f(1,a6)＝2，…，
∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝eq \f(1,2).]
写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…；
(3)－1,7，－13,19，…；
(4)3,33,333,3 333，….
[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.3分
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，
所以an＝eq \f(2n－1,2n).6分
(3)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6.
故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).9分
(4)将数列各项改写为eq \f(9,3)，eq \f(99,3)，eq \f(999,3)，eq \f(9 999,3)，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝eq \f(1,3)(10n－1).12分
[规律方法] 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．
2．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整，可代入验证归纳的正确性．
[变式训练1] (1)数列0，eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，…的一个通项公式为( )
A．an＝eq \f(n－1,n＋1)(n∈N*)B．an＝eq \f(n－1,2n＋1)(n∈N*)
C．an＝eq \f(2n－1,2n－1)(n∈N*)D．an＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N*)
(2)数列{an}的前4项是eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，则这个数列的一个通项公式是an＝__________. 【导学号：31222171】
(1)C (2)eq \f(2n＋1,n2＋1) [(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．
(2)数列{an}的前4项可变形为eq \f(2×1＋1,12＋1)，eq \f(2×2＋1,22＋1)，eq \f(2×3＋1,32＋1)，eq \f(2×4＋1,42＋1)，故an＝eq \f(2n＋1,n2＋1).]
已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b.
[解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，3分
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.5分
(2)a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.7分
当b＝－1时，a1适合此等式．
当b≠－1时，a1不适合此等式.10分
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋b，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))12分
[规律方法] 由Sn求an的步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式．
易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．
[变式训练2] (2017·石家庄质检(二))已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝( )
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1D．2n－2
A [由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－
2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.]
根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：
(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝eq \f(n3n＋1,2)(n≥2)．
当n＝1时，a1＝eq \f(1,2)×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝eq \f(3,2)n2＋eq \f(n,2).4分
(2)∵an＋1＝2nan，∴eq \f(an,an－1)＝2n－1(n≥2)，
∴an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2.
又a1＝1适合上式，故an＝2.8分
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.12分
[规律方法] 1.已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a1≠0)，且eq \f(an,an－1)＝f(n)，可用“累乘法”求an.
2．已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列．
易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式，(3)中常见错误是忽视判定首项是否为零．
[变式训练3] (2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由题意可得a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(1,4).4分
(2)由aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).7分
因为{an}的各项都为正数，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).9分
故{an}是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，因此an＝eq \f(1,2n－1).12分
[思想与方法]
1．数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
2．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Snn＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))
3．由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是：
(1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法．
(2)eq \f(an＋1,an)＝f(n)型，采用叠乘法．
(3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．
[易错与防范]
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．
课时分层训练(二十八)
数列的概念与简单表示法
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq \f(－1n,an－1)(n≥2)，则a5＝( )
【导学号：31222172】
A.eq \f(3,2)B.eq \f(5,3)
C.eq \f(8,5)D.eq \f(2,3)
D [a2＝1＋eq \f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq \f(－13,a2)＝1＋eq \f(－1,2)＝eq \f(1,2)，a4＝1＋eq \f(1,a3)＝3，a5＝1＋eq \f(－1,a4)＝eq \f(2,3).]
2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
【导学号：31222173】
A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…
D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n)
C [根据定义，属于无穷数列的是选项A，B，C，属于递增数列的是选项C，D，故同时满足要求的是选项C.]
3．(2017·海淀期末)数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为
( )
A．5B．6
C．7D．8
B [由(n＋1)an＝nan＋1得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))为常数列，则eq \f(an,n)＝eq \f(a1,1)＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6，故选B.]
4．(2016·广东3月测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝eq \f(3,2)(an－1)(n∈N*)，则an＝( )
A．3(3n－2n)B．3n＋2
C．3nD．3·2n－1
C [当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(3,2)(an－1)－eq \f(3,2)(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝eq \f(3,2)(a1－1)，得a1＝3，∴eq \f(an,an－1)＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴an＝3n，故选C.]
5．数列{an}满足a1＝2，an＝eq \f(an＋1－1,an＋1＋1)，其前n项积为Tn，则T2 017＝( )
【导学号：31222174】
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．2D．－2
C [由an＝eq \f(an＋1－1,an＋1＋1)，得an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，而a1＝2，
则有a2＝－3，a3＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,3)，a5＝2，
故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a4＝1，
所以T2 017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.]
二、填空题
6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝__________.
12 [当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.]
7．在数列－1,0，eq \f(1,9)，eq \f(1,8)，…，eq \f(n－2,n2)，…中，0.08是它的第______项.
【导学号：31222175】
10 [令eq \f(n－2,n2)＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝eq \f(5,2)(舍去)．
∴a10＝0.08.]
8．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝__________.
eq \f(2,n2－n＋2) [由已知得，eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝n，所以eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝n－1，
eq \f(1,an－1)－eq \f(1,an－2)＝n－2，…，eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝1，所以eq \f(1,an)－eq \f(1,a1)＝eq \f(nn－1,2)，a1＝1，所以eq \f(1,an)＝eq \f(n2－n＋2,2)，
所以an＝eq \f(2,n2－n＋2).]
三、解答题
9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
[解] (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.3分
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项.8分
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或nan，求实数k的取值范围．
[解] (1)由n2－5n＋4