高考数学一轮复习 第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示

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1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，设eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(BC,\s\up8(→))＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 ( )
A．5 B.eq \r(13)
C.eq \r(17) D．13
B [因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13).]
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up8(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up8(→))＝( )
A．(－7，－4)B．(7,4)
C．(－1,4)D．(1,4)
A [eq \(AB,\s\up8(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A.]
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
－6 [∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]
5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
(1,5) [设D(x，y)，则由eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))]
(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
(2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若eq \(AC,\s\up8(→))＝λeq \(AE,\s\up8(→))＋μeq \(AF,\s\up8(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
(1)D (2)eq \f(4,3) [(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝0))无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,－2＝2λ))无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,1＝－λ))无解；
选项D中，e1＋3e2＝eq \f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．
(2)选择eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AD,\s\up8(→))作为平面向量的一组基底，则eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))，
又eq \(AC,\s\up8(→))＝λeq \(AE,\s\up8(→))＋μeq \(AF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,2)μ))eq \(AD,\s\up8(→))，
于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))
所以λ＋μ＝eq \f(4,3).]
[规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．
2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．
[变式训练1] 如图4­2­1，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq \f(1,3)BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设eq \(BA,\s\up8(→))＝a，eq \(BC,\s\up8(→))＝b，则eq \(EF,\s\up8(→))＝________，eq \(DF,\s\up8(→))＝________，eq \(CD,\s\up8(→))＝________(用向量a，b表示)．
图4­2­1
eq \f(1,3)b－a eq \f(1,6)b－a a－eq \f(2,3)b [eq \(EF,\s\up8(→))＝eq \(EA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BF,\s\up8(→))＝－eq \f(1,6)b－a＋eq \f(1,2)b＝eq \f(1,3)b－a，eq \(DF,\s\up8(→))＝eq \(DE,\s\up8(→))＋eq \(EF,\s\up8(→))＝－eq \f(1,6)b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b－a))＝eq \f(1,6)b－a，eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(CF,\s\up8(→))＋eq \(FD,\s\up8(→))＝－eq \f(1,2)b－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)b－a))＝a－eq \f(2,3)b.]
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(BC,\s\up8(→))＝b，eq \(CA,\s\up8(→))＝c，且eq \(CM,\s\up8(→))＝3c，eq \(CN,\s\up8(→))＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up8(→))的坐标．
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).2分
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).5分
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))8分
(3)设O为坐标原点．∵eq \(CM,\s\up8(→))＝eq \(OM,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up8(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up8(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20).10分
又∵eq \(CN,\s\up8(→))＝eq \(ON,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up8(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up8(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴eq \(MN,\s\up8(→))＝(9，－18).12分
[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．
2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
[变式训练2] (2017·合肥三次质检)已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，则|2a＋b|的最小值为________．
2eq \r(5) [由条件得2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|2a＋b|＝eq \r(2＋t2＋2t－62)＝eq \r(5t－22＋20)，当t＝2时，|2a＋b|的最小值为2eq \r(5).]
(1)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
(1)C (2)(2,4) [(1)由题意可知a＋b＝(2,1＋m)，
∵a∥(a＋b)，
∴2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3.
(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
∴eq \(DC,\s\up8(→))＝2eq \(AB,\s\up8(→)).设点D的坐标为(x，y)，
则eq \(DC,\s\up8(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)．
eq \(AB,\s\up8(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))
故点D的坐标为(2,4)．]
[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．
[变式训练3] (1)(2017·郑州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1＋sin θ))，若a∥b，则锐角θ＝________.
(2)已知向量eq \(OA,\s\up8(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up8(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________. 【导学号：31222146】
(1)eq \f(π,4) (2)k≠1 [(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝eq \f(1,2)，
所以cs2θ＝eq \f(1,2)，
所以cs θ＝eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),2)，又θ为锐角，所以θ＝eq \f(π,4).
(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AC,\s\up8(→))不共线．
因为eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.]
[思想与方法]
1．平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．
2．利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值．
3．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
[易错与防范]
1．在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量eq \(OA,\s\up8(→))＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a＝eq \(OA,\s\up8(→))＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．
2．若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形致误．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
课时分层训练(二十五)
平面向量的基本定理及坐标表示
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．如图4­2­2，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
图4­2­2
①eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；③eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))；④eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→)).其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )
【导学号：31222147】
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
B [①中eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))不共线；③中eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))不共线．]
2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)b B.eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b
C．－eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b D．－eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b
B [设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b.]
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
【导学号：31222148】
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
D [由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝λ，,1＝－λ，))解得k＝－1.c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．]
4．如图4­2­3，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则 ( )
图4­2­3
A．x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)
B．x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)
C．x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4)
D．x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)
A [由题意知eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))，又eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3).]
5．(2015·广东茂名二模)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是( )
A．24 B．8
C.eq \f(8,3) D.eq \f(5,3)
B [∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，
化简得2x＋3y＝3.又∵x，y均为正数，
∴eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x)＋\f(2,y)))×eq \f(1,3)(2x＋3y)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(9y,x)＋\f(4x,y)＋6))≥eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))＝8，
当且仅当eq \f(9y,x)＝eq \f(4x,y)时，等号成立，
∴eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是8，故选B.]
二、填空题
6．(2017·陕西质检(二))若向量a＝(3,1)，b＝(7，－2)，则a－b的单位向量的坐标是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))) [由题意得a－b＝(－4,3)，则|a－b|＝eq \r(－42＋32)＝5，则a－b的单位向量的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))).]
7．(2017·广州综合测评(二))已知平面向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，a＝(1，eq \r(3))，|a－2b|＝2eq \r(3)，则|b|＝________.
2 [由题意得|a|＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cs〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cs eq \f(π,3)|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]
8．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，－3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________. 【导学号：31222149】
m≠eq \f(5,4) [由题意得eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠eq \f(5,4).]
三、解答题
9．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b).
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，求点C的坐标．
[解] (1)由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1).2分
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→)).
∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.5分
(2)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).7分
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－3，))
∴点C的坐标为(5，－3).12分
10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，2分
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))5分
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，7分
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq \f(16,13).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·四川高考)已知正三角形ABC的边长为2eq \r(3)，平面ABC内的动点P，M满足|eq \(AP,\s\up6(→))|＝1，eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))，则|eq \(BM,\s\up6(→))|2的最大值是( )
A.eq \f(43,4) B.eq \f(49,4)
C.eq \f(37＋6\r(3),4) D.eq \f(37＋2\r(33),4)
B [设BC的中点为O，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，A(0,3)．又|eq \(AP,\s\up6(→))|＝1，∴点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.由eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))知点M为PC的中点，设M点的坐标为(x，y)，相应点P的坐标为(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0＋\r(3),2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－\r(3)，,y0＝2y，))∴(2x－eq \r(3))2＋(2y－3)2＝1，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(1,4)，∴点M的轨迹是以Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))为圆心，r＝eq \f(1,2)为半径的圆，∴|BH|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\r(3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝3，∴|eq \(BM,\s\up6(→))|的最大值为3＋r＝3＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)，∴|eq \(BM,\s\up6(→))|2的最大值为eq \f(49,4).]
2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图4­2­4所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________. 【导学号：31222150】
图4­2­4
4 [以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(λ,μ)＝4.]
3．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，eq \(OM,\s\up6(→))＝t1eq \(OA,\s\up6(→))＋t2eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．
[解] (1)eq \(OM,\s\up6(→))＝t1eq \(OA,\s\up6(→))＋t2eq \(AB,\s\up6(→))＝t1(0,2)＋t2(4,4)
＝(4t2,2t1＋4t2).2分
当点M在第二或第三象限时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t2