高考数学一轮复习 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算

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1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或
y′|x＝x0即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )
(4)若f(a)＝a3＋2ax－x2，则f′(a)＝3a2＋2x.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋eq \f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( ) 【导学号：31222075】
A.eq \f(19,4) B.eq \f(17,4)
C.eq \f(15,4) D.eq \f(13,4)
D [由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－eq \f(3,t2)，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－eq \f(3,22)＝eq \f(13,4).]
3．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
3 [因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.]
4．(2016·豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
5x＋y＋2＝0 [∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0))＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
1 [∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]
求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；
(3)y＝x－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)；
(4)y＝eq \f(cs x,ex).
[解] (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·eq \f(1,x)＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,x))).
(2)∵y＝x3＋1＋eq \f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq \f(2,x3).
(3)∵y＝x－eq \f(1,2)sin x，∴y′＝1－eq \f(1,2)cs x.
(4)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,ex)))′＝eq \f(cs x′ex－cs xex′,ex2)
＝－eq \f(sin x＋cs x,ex).
[规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．
2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
[变式训练1] (1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0等于( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
(2)(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
(1)B (2)3 [(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x×eq \f(1,x)＝2 018＋ln x，故由f′(x0)＝2 018，得2 018＋ln x0＝2 018，则ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)f′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋x·\f(1,x)))＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 求切线方程
已知曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3).
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[思路点拨] (1)点P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；
(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,3)x\\al(3,0)＋\f(4,3)))，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0.
[解] (1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2))＝4，3分
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.5分
(2)设曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,3)x\\al(3,0)＋\f(4,3)))，
则切线的斜率为y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0))＝xeq \\al(2,0)，
∴切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x\\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \\al(2,0)(x－x0)，
即y＝xeq \\al(2,0)·x－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3).7分
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2xeq \\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3)，
即xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋4＝0，9分
∴xeq \\al(3,0)＋xeq \\al(2,0)－4xeq \\al(2,0)＋4＝0，
∴xeq \\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.12分
eq \a\vs4\al(☞)角度2 求切点坐标
若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【导学号：31222076】
(e，e) [由题意得y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．]
eq \a\vs4\al(☞)角度3 求参数的值
(1)已知直线y＝eq \f(1,2)x＋b与曲线y＝－eq \f(1,2)x＋ln x相切，则b的值为( )
A．2 B．－1
C．－eq \f(1,2)D．1
(2)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y＝eq \f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－2 B．2
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
(1)B (2)A [(1)设切点坐标为(x0，y0)，
y′＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,x)，
则y′|x＝x0＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,x0)，由－eq \f(1,2)＋eq \f(1,x0)＝eq \f(1,2)得x0＝1，切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)))，又切点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)))在直线y＝eq \f(1,2)x＋b上，故－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)＋b，得b＝－1.
(2)由y′＝eq \f(－2,x－12)得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－eq \f(1,2)，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A.]
[规律方法] 1.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．
2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．
易错警示：当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
[思想与方法]
1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．
[易错与防范]
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
课时分层训练(十三)
变化率与导数、导数的计算
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
【导学号：31222077】
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)
C [∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
B [由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋eq \f(1,x)，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]
3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0
C [y′＝cs x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]
4．(2017·郑州模拟)已知曲线y＝eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为－eq \f(1,2)，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.eq \f(1,2)
B [因为y＝eq \f(x2,4)－3ln x，所以y′＝eq \f(x,2)－eq \f(3,x).再由导数的几何意义，有eq \f(x,2)－eq \f(3,x)＝－eq \f(1,2)，解得x＝2或x＝－3(舍去)．]
5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )
【导学号：31222078】
A．4 B．5
C.eq \f(25,4) D.eq \f(13,2)
C [∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，
∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，
故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，
令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－eq \f(5,4)，
∴所求面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)×10＝eq \f(25,4).]
二、填空题
6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________．
2x－y＋1＝0 [由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]
7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
【导学号：31222079】
eq \f(1,2) [因为y′＝2ax－eq \f(1,x)，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝eq \f(1,2).]
8．如图2­10­1，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
图2­10­1
0 [由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3).
又因为g(x)＝xf(x)，
所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xnlg x；
(2)y＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,x2)＋eq \f(1,x3)；
(3)y＝eq \f(sin x,xn).
[解] (1)y′＝nxn－1lg x＋xn·eq \f(1,xln 10)
＝xn－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(nlg x＋\f(1,ln 10))).
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x2)))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x3)))′
＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′
＝－x－2－4x－3－3x－4
＝－eq \f(1,x2)－eq \f(4,x3)－eq \f(3,x4).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,xn)))′
＝eq \f(xnsin x′－xn′sin x,x2n)
＝eq \f(xncs x－nxn－1sin x,x2n)
＝eq \f(xcs x－nsin x,xn＋1).
10．已知点M是曲线y＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
[解] (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，2分
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝eq \f(5,3)，
所以斜率最小的切线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,3)))，4分
斜率k＝－1，
所以切线方程为x＋y－eq \f(11,3)＝0.6分
(2)由(1)得k≥－1，9分
所以tan α≥－1，所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是
( )
A．y＝sin xB．y＝ln x
C．y＝exD．y＝x3
A [若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，
使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于A：y′＝cs x，若有cs x1·cs x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；
对于B：y′＝eq \f(1,x)，若有eq \f(1,x1)·eq \f(1,x2)＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；
对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；
对于D：y′＝3x2，若有3xeq \\al(2,1)·3xeq \\al(2,2)＝－1，即9xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＝－1，显然不存在这样的x1，x2.
综上所述，选A.]
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
2x－y＝0 [设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.]
3．已知函数f(x)＝x－eq \f(2,x)，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
【导学号：31222080】
[解] 根据题意有f′(x)＝1＋eq \f(2,x2)，g′(x)＝－eq \f(a,x).2分
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.6分
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为
y－f(1)＝3(x－1)，
所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.9分
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为
y－g(1)＝3(x－1)，
所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线.12分
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
导数的计算
导数的几何意义