高考数学一轮复习 第6章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式

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[重点关注]
1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明．
2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．
3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．
[导学心语]
1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．
2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
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[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)ac⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(6)开方法则：a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n≥2，n∈N)；(单向性)
(7)倒数性质：设ab>0，则aeq \f(1,b).(双向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
4.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程
图6­1­1
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( )
(2)a>b>0，c>d>0⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c).( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c0.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cb>0⇒eq \r(3,a)>eq \r(3,b)；
④a>b>0⇒eq \f(1,a2)>eq \f(1,b2).
A．①② B．②③
C．①④D．①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以eq \f(1,a2)b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2>b2B.eq \f(a,b)>1
C．2a>2bD．lg(a－b)>0
C [取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D.故选C.]
4．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________________．(用区间表示)
(－4,1) [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－40显然成立；
②当m≠0时，由条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ＝4m2－4m0
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))y0
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
(1)C [函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x0⇒eq \f(1,x)0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x>y>0⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故D错误．]
(2)由题意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
f(－2)＝4a－2b.3分
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3，))8分
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1).10分
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，
即f(－2)的取值范围为[5,10].12分
[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
3．由a