高考数学一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例

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1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
2．平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )
(2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.( )
(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.( )
(4)在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))且eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BD,\s\up8(→))＝0，则四边形ABCD为矩形. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量eq \(BA,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
A [因为eq \(BA,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2).又因为eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(BA,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs∠ABC＝1×1×cs∠ABC，所以cs∠ABC＝eq \f(\r(3),2).又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1B．0
C．1D．2
C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]
4．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
－2 [由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.]
5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.
－eq \f(2,3) [∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－eq \f(2,3).]
(1)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq \(AF,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))的值为( )
A．－eq \f(5,8) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(11,8)
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))的值为________；eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→))的最大值为________．
(1)B (2)1 1 [(1)如图所示，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(DF,\s\up8(→)).
又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(DF,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up8(→))，
所以eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up8(→)).
又eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))，
则eq \(AF,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up8(→))＋\f(3,4)\(AC,\s\up8(→))))·(eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up8(→))2－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))
＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up8(→))2－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))2－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→)).
又|eq \(AB,\s\up8(→))|＝|eq \(AC,\s\up8(→))|＝1，∠BAC＝60°，
故eq \(AF,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \f(3,4)－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)×1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8).故选B.
(2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则eq \(DE,\s\up8(→))＝(t，－1)，eq \(CB,\s\up8(→))＝(0，－1)，所以eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为eq \(DC,\s\up8(→))＝(1,0)，所以eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→))＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→))的最大值为1.
法二：由图知，无论E点在哪个位置，eq \(DE,\s\up8(→))在eq \(CB,\s\up8(→))方向上的投影都是CB＝1，所以eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))＝|eq \(CB,\s\up8(→))|·1＝1，
当E运动到B点时，eq \(DE,\s\up8(→))在eq \(DC,\s\up8(→))方向上的投影最大，即为DC＝1，
所以(eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→)))max＝|eq \(DC,\s\up8(→))|·1＝1.]
[规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．
[变式训练1] (1)已知eq \(AB,\s\up8(→))＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量eq \(AB,\s\up8(→))在eq \(CD,\s\up8(→))方向上的投影为 ( )
A．－eq \f(3\r(2),2)B．－3eq \r(5)
C.eq \f(3\r(2),2)D．3eq \r(5)
(2)(2017·南宁二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(BE,\s\up8(→))＝( )
A．－eq \f(3,2) B.eq \f(3,2)
C．－eq \f(3\r(3),2) D.eq \f(3\r(3),2)
(1)C (2)A [(1)因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又eq \(AB,\s\up8(→))＝(2,1)，所以向量eq \(AB,\s\up8(→))在eq \(CD,\s\up8(→))方向上的投影为
|eq \(AB,\s\up8(→))|cs〈eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(CD,\s\up8(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up8(→))·\(CD,\s\up8(→)),|\(CD,\s\up8(→))|)＝eq \f(15,5\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).
(2)由等边三角形的性质得|eq \(AD,\s\up8(→))|＝|eq \(BE,\s\up8(→))|＝eq \r(3)，〈eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(BE,\s\up8(→))〉＝120°，所以eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(BE,\s\up8(→))＝|eq \(AD,\s\up8(→))||eq \(BE,\s\up8(→))|cs〈eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(BE,\s\up8(→))〉＝eq \r(3)×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)，故选A.]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 平面向量的模
(1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝( )
A.eq \r(2)B．2
C．2eq \r(2)D．4
(2)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
(1)B (2)eq \r(5) [(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，则|b|2＝4，|b|＝2，故选B.
(2)∵|a|＝1，∴可令a＝(cs θ，sin θ)，
∵λa＋b＝0.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λcs θ＋2＝0，,λsin θ＋1＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝－\f(2,λ)，,sin θ＝－\f(1,λ).))
由sin2θ＋cs2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝eq \r(5).]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 平面向量的夹角
(1)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3)D.eq \f(5π,6)
(2)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为
( )
A.eq \r(6)B.eq \r(3)
C.eq \r(2)D．1
(1)B (2)A [(1)由|a＋b|＝|a－b|两边平方得，a·b＝0，由|a－b|＝2|a|两边平方得，3a2＋2a·b－b2＝0，故b2＝3a2，则(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2，设向量a＋b与a的夹角为θ，则有cs θ＝eq \f(a＋b·a,|a＋b||a|)＝eq \f(a2,2a2)＝eq \f(1,2)，故θ＝eq \f(π,3).
(2)由题意可知：－1＝a·b＝|a|·|b|cs 120°，所以2＝|a|·|b|≤eq \f(|a|2＋|b|2,2).即|a|2＋|b|2≥4，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，
所以|a－b|≥eq \r(6).]
eq \a\vs4\al(☞)角度3 平面向量的垂直
(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．
－5 [∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．
又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]
[规律方法] 1.求两向量的夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．
2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(2)|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2).
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y).2分
∵D是BC的中点，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2))).4分
又∵eq \(AE,\s\up8(→))＝2eq \(EB,\s\up8(→))，即(x－a，y)
＝2(－x，a－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－a＝－2x，,y＝2a－2y，))解得x＝eq \f(a,3)，y＝eq \f(2,3)a.8分
∵eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))－(a,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a,2)))，
eq \(OE,\s\up8(→))＝eq \(CE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(2,3)a))，
∴eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(CE,\s\up8(→))＝－a×eq \f(a,3)＋eq \f(a,2)×eq \f(2,3)a
＝－eq \f(1,3)a2＋eq \f(1,3)a2＝0.10分
∴eq \(AD,\s\up8(→))⊥eq \(CE,\s\up8(→))，即AD⊥CE.12分
[规律方法] 平面几何问题中的向量方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(如本例)．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
[变式训练2] 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BE,\s\up8(→))＝1，则AB的长为________. 【导学号：31222151】
eq \f(1,2) [设AB的长为a(a>0)，
因为eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CE,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))，
于是eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BE,\s\up8(→))＝(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up8(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up8(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \(AD,\s\up8(→))2＝－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,4)a＋1，
故－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,4)a＋1＝1，解得a＝eq \f(1,2)，
所以AB＝eq \f(1,2).]
[思想与方法]
1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，与图形有关的不要忽视数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
4．两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0.
[易错与防范]
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b0，
所以cs B＝eq \f(\r(2),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4).5分
(2)因为|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，所以|eq \(CA,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，7分
即b＝eq \r(6)，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－eq \r(2)ac≥2ac－eq \r(2)ac＝(2－eq \r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋eq \r(2))，9分
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(3\r(2)＋1,2)，
即△ABC的面积的最大值为eq \f(3\r(2)＋3,2).12分
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
平面向量数量积的运算
平面向量数量积的性质
平面向量在平面几何中的应用