高考数学一轮复习 第2章 重点强化课1 函数的图象与性质

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( ) 【导学号：31222064】
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,4)))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,4)))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))
A [画出函数f(x)的图象，如图，
当0≤x≤eq \f(1,2)时，令f(x)＝cs πx≤eq \f(1,2)，解得eq \f(1,3)≤x≤eq \f(1,2)；
当x＞eq \f(1,2)时，令f(x)＝2x－1≤eq \f(1,2)，解得eq \f(1,2)＜x≤eq \f(3,4)，
故有eq \f(1,3)≤x≤eq \f(3,4).
因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))，故f(x－1)≤eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,4))).]
[迁移探究1] 在本例条件下，若关于x的方程f(x)＝k有2个不同的实数解，求实数k的取值范围．
[解] 由函数f(x)的图象(图略)可知，当k＝0或k>1时，方程f(x)＝k有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.12分
[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围．
[解] 函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝k|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.12分
[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．
2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．
3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
[对点训练1] 已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．
图1
(－1,0)∪(1，eq \r(2)] [由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x，在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，eq \r(2)]．]
重点2 函数性质的综合应用
eq \a\vs4\al(☞)角度1 单调性与奇偶性结合
(1)(2017·石家庄质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝lg x
C．y＝|x|－1D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|
(2)(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－eq \r(2))，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
(1)C (2)C [(1)函数y＝eq \f(1,x)是奇函数，排除A；函数y＝lg x既不是奇函数，也不是偶函数，排除B；当x∈(0，＋∞)时，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x单调递减，排除D；函数y＝|x|－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.
(2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－eq \r(2))，f(－eq \r(2))＝f(eq \r(2))可得2|a－1|＜eq \r(2)，即|a－1|＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2).]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 奇偶性与周期性结合
(2017·贵阳适应性考试(二))若函数f(x)＝asin 2x＋btan x＋1，且f(－3)＝5，则f(π＋3)＝________.
－3 [令g(x)＝asin 2x＋btan x，则g(x)是奇函数，且最小正周期是π，由f(－3)＝g(－3)＋1＝5，得g(－3)＝4，则g(3)＝－g(－3)＝－4，则f(π＋3)＝g(π＋3)＋1＝g(3)＋1＝－4＋1＝－3.]
eq \a\vs4\al(☞)角度3 单调性、奇偶性与周期性结合
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
D [因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]
[规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
重点3 函数图象与性质的综合应用
(1)(2017·郑州二检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x＞a，,x2＋5x＋2，x≤a，))函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1)B．[0,2]
C．[－2,2)D．[－1,2)
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x＞0，))若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0]B．[0,1)
C．(－∞，1)D．[0，＋∞)
(1)D (2)C [(1)由题意知g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x＞a，,x2＋3x＋2，x≤a.))
因为g(x)有三个不同的零点，
所以2－x＝0在x＞a时有一个解．由x＝2，得a＜2.
由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2，
由x≤a，得a≥－1.
综上，a的取值范围为[－1,2)．
(2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x＞0))的图象如图所示，
当a