高三数学一轮复习： 第3章 第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

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第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真]　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象　先平移后伸缩　　　　　　　　先伸缩后平移　　　　⇓　　　　　　　　　　　　⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(　　)(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　)A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度A　[把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数y＝sin的图象．]3．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图3­4­1，则ω＝(　　)图3­4­1A．5　　　 B.4　　C.3　　　 D.2B　[由图象可知，＝x0＋－x0＝，所以T＝＝，所以ω＝4.]4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)A.　　　 B.　　C.0　　　 D.－B　[把函数y＝sin(2x＋φ)沿x轴向左平移个单位后得到函数y＝sin 2＝sin为偶函数，则φ的一个可能取值是.]5．(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的初相、周期分别是________．，　[由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是，周期T＝＝.]  函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换　已知函数f(x)＝3sin，x∈R.(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？[解]　(1)列表取值：xππππx－0ππ2πf(x)030－30描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.5分(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象.12分[规律方法]　1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1]　(1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)A．y＝2sin　　　　　 B.y＝2sinC．y＝2sin  D.y＝2sin(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．(1)D　(2)　[(1)函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.(2)因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．]求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式　(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象图3­4­2如图3­4­2所示，则(　　)A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　)A．y＝4sinB．y＝2sin＋2C．y＝2sin＋2D．y＝2sin＋2(1)A　(2)D　[(1)由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.(2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.][规律方法]　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.[变式训练2]　(2017·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图3­4­3所示，则f的值为(　　)图3­4­3A．－　　 B.－　C.－　　 D.－1D　[由图象可得A＝，最小正周期T＝4＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D.]函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用　(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．[解]　(1)f(x)的定义域为.2分f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－＝4sin x－＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.6分(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.8分设A＝，B＝，易知A∩B＝.所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.12分[规律方法]　讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3]　设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. 【导学号：01772119】(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解]　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx＝－·－sin 2ωx＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin.3分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω＞0，所以＝4×，因此ω＝1.5分(2)由(1)知f(x)＝－sin.6分当π≤x≤时，≤2x－≤，所以－≤sin≤1，则－1≤f(x)≤.10分故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.12分三角函数模型的简单应用　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解]　(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，2分又0≤t＜24，所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.4分当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sin，故有10－2sin＞11，即sin＜－.9分又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18.故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法]　1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4]　(2015·陕西高考)如图3­4­4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)图3­4­4A．5　　　 B.6　　C.8　　　 D.10C　[根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．4．函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域．