2021年广东省东莞市中考数学一模试卷

这是一份2021年广东省东莞市中考数学一模试卷，共25页。

A．﹣B．C．0D．﹣2
2．（3分）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4 400 000 000人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108 B．4.4×109 C．0.44×1010 D．4.4×108
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四边形
4．（3分）下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．45°C．50°D．30°
6．（3分）点C在x轴的下方，y轴的右侧，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣5，3）
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
8．（3分）某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A．12B．13C．13.5D．14
9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥0B．k≥0且k≠2C．k≥D．k≥且k≠2
10．（3分）在△EFG中，∠G＝90°，，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD和△EFG如图放置，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）16的平方根是 ．
12．（4分）因式分解：a2b﹣25b＝ ．
13．（4分）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的面积之比等于 ．
14．（4分）计算：＝ ．
15．（4分）如图，在RT△ABC中，AC＝90°，CD垂直于AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC＝ ．
16．（4分）如图，四边形OABC为菱形，OA＝2，以点O为圆心，OA长为半径画，恰好经过点B，连接OE，OE⊥BC，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）如图，ABCD为正方形，∠CAB的角平分线交BC于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点G，CF与AB的延长线交于点F，连接BG、DG、与AC相交于点H，则下列结论：①△ABE≌△CBF；②GF＝CG；③BG⊥DG；④DH＝（﹣1）AE，其中正确的是 ．
三．解答题（共8小题）
18．求不等式组的整数解．
19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
20．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
21．受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召．开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型．某校从“电脑、手机、电视、其它“四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查．调查结果显示．每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种．现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息．解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生．估计全校用手机上网课的学生共有 名；
（3）在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题．求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
22．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
23．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣2），与y轴交于点C．
（1）k1＝ ，k2＝ ；
（2）根据函数图象知，当y1＞y2时，x的取值范围是 ；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝4：1时，求点P的坐标．
24．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，
AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连接DB．
（1）求证：DH＝DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省东莞市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，最大的数是（ ）
A．﹣B．C．0D．﹣2
【分析】比较确定出最大的数即可．
【解答】解：﹣2＜﹣＜0＜，
则最大的数是，
故选：B．
2．（3分）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4 400 000 000人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108 B．4.4×109 C．0.44×1010 D．4.4×108
【分析】科学记数法的表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．其中a是整数数位只有一位的数，10的指数n比原来的整数位数少1．
【解答】解：4 400 000 000＝4.4×109，
故选：B．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四边形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，即可求解．
【解答】解：A、B都只是轴对称图形；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、只是中心对称图形．
故选：C．
4．（3分）下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答．
【解答】解：A、圆锥俯视图是圆（带圆心），故此选项不合题意；
B、长方体俯视图是矩形，故此选项符合题意；
C、三棱柱俯视图是三角形，故此选项不合题意；
D、圆柱俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
5．（3分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．45°C．50°D．30°
【分析】先根据∠1＝60°，∠FEG＝90°，求得∠3＝30°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数．
【解答】解：如图，∵∠1＝60°，∠FEG＝90°，
∴∠3＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝30°．
故选：D．
6．（3分）点C在x轴的下方，y轴的右侧，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣5，3）
【分析】点C在x轴的下方，y轴的右侧，易得此点在第四象限，根据距离x轴3个单位长度，可得点的纵坐标，根据距离y轴5个单位长度可得点的横坐标．
【解答】解：∵点C在x轴的下方，y轴的右侧，
∴点C在第四象限；
∵点C距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，
∴点C的坐标为（5，﹣3），故选C．
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ADC＝35°，∠ACB＝90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝55°，
故选：C．
8．（3分）某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A．12B．13C．13.5D．14
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：10个数，处于中间位置的是13和13，因而中位数是：（13+13）÷2＝13．
故选：B．
9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥0B．k≥0且k≠2C．k≥D．k≥且k≠2
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
故选：D．
10．（3分）在△EFG中，∠G＝90°，，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD和△EFG如图放置，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4分别求出函数表达式即可求解．
【解答】解：，则EF＝4，
①当0≤t≤1时，如图1，设AB交EG于点H，
则AE＝t＝AH，
S＝×AE×AH＝t2，函数为开口向上的抛物线，当t＝1时，y＝；
②当1＜t≤2时，如图2，设直线EG交BC于点G，交CD于点H，
则ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，则CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，
S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1﹣×CH×CG＝1﹣（2﹣t）2，函数为开口向下的抛物线，当t＝2时，y＝1；
③当2＜t≤3时，
S＝S正方形ABCD＝1，
④当3＜t≤4时，
同理可得：S＝1﹣（t﹣3）2，为开口向下的抛物线；
故选：C．
二．填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
12．（4分）因式分解：a2b﹣25b＝ b（a﹣5）（a+5） ．
【分析】原式提取b，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：a2b﹣25b＝b（a2﹣25）＝b（a﹣5）（a+5），
故答案为：b（a﹣5）（a+5）．
13．（4分）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的面积之比等于 1：4 ．
【分析】运用相似三角形面积比等于相似比的平方即可．
【解答】解：∵点D，点E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE：BC＝1：2，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：4．
故答案为1：4．
14．（4分）计算：＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）如图，在RT△ABC中，AC＝90°，CD垂直于AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC＝ 9 ．
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义计算即可
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA＝tan∠BCD＝＝，
∴BC＝AC＝×12＝9．
故答案为9．
16．（4分）如图，四边形OABC为菱形，OA＝2，以点O为圆心，OA长为半径画，恰好经过点B，连接OE，OE⊥BC，则图中阴影部分的面积为 π﹣ ．
【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB＝BC＝CO，根据题意得到△AOB、△OBC为等边三角形，求出∠AOE、OF，根据扇形面积公式、梯形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，OE与BC的交点为F，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB＝BC＝CO，
由题意得，OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，即△AOB、△OBC为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，∠BOC＝60°，
∵OE⊥BC，
∴BF＝FC＝BC＝1，∠BOE＝∠BOC＝30°，
∴∠AOE＝90°，OF＝OB•cs∠BOE＝，
则图中阴影部分的面积＝﹣×（1+2）×＝π﹣，
故答案为：π﹣．
17．（4分）如图，ABCD为正方形，∠CAB的角平分线交BC于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点G，CF与AB的延长线交于点F，连接BG、DG、与AC相交于点H，则下列结论：①△ABE≌△CBF；②GF＝CG；③BG⊥DG；④DH＝（﹣1）AE，其中正确的是 ①②③ ．
【分析】①由互余的性质证明∠GAF＝∠BCF，由正方形的性质得AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，便可由ASA定理得：△ABE≌△CBF；
②证明△AFG≌△ACG（ASA），便可得出结果；
③证明△ABG≌△DCG（SAS），得∠AGB＝∠DGC，进而得BG⊥DG；
④证明△DCH∽△ACE，得，即DH＝．
【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，
∵AG⊥CF，
∴∠AGF＝90°，
∴∠GAF+∠F＝90°，
∵∠BCF+∠F＝90°，
∴∠GAF＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
故此小题结论正确；
②∵AG是∠CAB的角平分线，
∴∠BAG＝∠CAG，
∵∠AGF＝∠AGC＝90°，AG＝AG，
∴△AFG≌△ACG（ASA），
∴FG＝CG，
故此小题结论正确；
③∵∠CBF＝90°，FG＝CG，
∴BG＝CG，
∴∠CBG＝∠BCG，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABG＝∠DCG，
∵AB＝DC，
∴△ABG≌△DCG（SAS），
∴∠AGB＝∠DGC，
∵∠DGC+∠AGD＝∠AGC＝90°，
∴∠AGB+∠AGD═90°，
∴BG⊥DG，
故此小题结论正确；
④∵△ABG≌△DCG，
∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG，
∵∠DCH＝∠ACE，
∴△DCH∽△ACE，
∴，
∴DH＝，
故此小题结论错误．
由上可知，正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
三．解答题（共8小题）
18．求不等式组的整数解．
【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间确定不等式的解集即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣3，
由②得x≤1，
不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
则该不等式的整数解为﹣2，﹣1，0，1．
19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
20．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
21．受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召．开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型．某校从“电脑、手机、电视、其它“四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查．调查结果显示．每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种．现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息．解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生．估计全校用手机上网课的学生共有 450 名；
（3）在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题．求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
【分析】（1）根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，从而补全统计图；
（2）用该校的总人数乘以用手机上网课的学生所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽取的总人数是：40÷40%＝100（人），
手机的人数是：100﹣40﹣20﹣10＝30（人），补全统计图如下：
（2）全校用手机上网课的学生共有：1500×＝450（名）；
故答案为：450；
（3）根据题意画树状图如下：
共有16种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有4种，
则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率＝．
22．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出 500 只粽子，利润为 400 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
【分析】（1）根据零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，求出零售单价下降0.2元卖出的粽子和利润；
（2）当零售单价下降m时，表示出利润，并将利润等于420元，列方程求解．
【解答】解：（1）当零售单价下降0.2元后，可卖出300+100×2＝500（个），
利润为：500×（1﹣0.2）＝400（元），
故答案为：500，400；
（2）当零售单价下降m时，利润为：（1﹣m）（300+100×），
由题意得，（1﹣m）（300+100×）＝420，
解得：m＝0.4或m＝0.3，
可得，当m＝0.4时卖出的粽子更多．
答：m定为0.4时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
23．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣2），与y轴交于点C．
（1）k1＝ 1 ，k2＝ 12 ；
（2）根据函数图象知，当y1＞y2时，x的取值范围是 ﹣6＜x＜0或x＞2 ；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝4：1时，求点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）S四边形ODAC＝（OC+AD）•OD＝10，S四边形ODAC：S△ODE＝4：1，则S△ODE＝OD•DE＝×2DE＝10×，求出点E的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）将点B的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式得，
解得，
故答案为：1；12；
（2）观察函数图象知，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣6＜x＜0或x＞2，
故答案为﹣6＜x＜0或x＞2；
（3）由题意，如图，当x＝2时，m＝x+4＝6，
∴点A的坐标为（2，6）；
当x＝0时，y1＝x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
∵S四边形ODAC＝（OC+AD）•OD＝×（4+6）×2＝10，S四边形ODAC：S△ODE＝4：1，
∴S△ODE＝OD•DE＝×2DE＝10×，
∴DE＝2.5，即点E的坐标为（2，2.5）．
设直线OP的解析式为y＝kx，将点E（2，2.5）代入，得k＝，
∴直线OP的解析式为y＝x，
联立，解得，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（，）．
24．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，
AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连接DB．
（1）求证：DH＝DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．
【分析】（1）先判断出∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，进而判断出∠DHB＝∠DBH，即可得出结论；
（2））①先判断出OD∥AC，进而判断出OD⊥EF，即可得出结论；
②先判断出△CDE≌△BDG，得出GB＝CE＝1，再判断出△DBG∽△ABD，求出DB2＝5，即DB＝，DG＝2，进而求出AE＝AG＝4，最后判断出△OFD∽△AFE即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：连接HB，
∵点H是△ABC的内心，
∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH，
∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH，
∴∠DHB＝∠DBH，
∴DH＝DB；
（2）①连接OD，
∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，BC∥EF，
∴AC⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
②过点D作DG⊥AB于G，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴DE＝DG，
∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，
∴△CDE≌△BDG，
∴GB＝CE＝1，
在Rt△ADB中，DG⊥AB，
∴∠DAB＝∠BDG，
∵∠DBG＝∠ABD，
∴△DBG∽△ABD，
∴，
∴DB2＝AB•BG＝5×1＝5，
∴DB＝，DG＝2，
∴ED＝2，
∵H是内心，
∴AE＝AG＝4，
∵DO∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴DF＝．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入可求得a的值；
（2）依据轴对称图形的性质可知PA＝PB，则PA+PC＝PB+PC，则当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，PA+PC的最小值＝BC，接下来，依据勾股定理求解即可；
（3）设点Q的坐标为（1，m），则QM＝|m|，然后依据相似三角形的性质可得到∠OQM＝∠CAO或∠OQM＝∠ACO，然后依据相似三角形的性质列比例求解即可．
【解答】解：（1）把x＝0代入得：y＝3，
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图所示：
∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，
∴PA＝PB．
∴PA+PC＝PC+PB．
∵两点之间线段最短，
∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，PA+PC的最小值＝BC．
∵OC＝3，OB＝3，
∴BC＝3．
∴PA+PC的最小值＝3．
（3）存在，理由：
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
设点Q的坐标为（1，m），则QM＝|m|．
∵以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似，
∴∠OQM＝∠CAO或∠OQM＝∠ACO．
当∠OQM＝∠CAO时，，即，解得m＝．
∴点Q的坐标为（1，）或（1，﹣）．
当∠OQM＝∠ACO时，即，解得：m＝±3，
∴点Q的坐标为（1，3）或（1，﹣3）．
综上所述，点Q的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，3）或（1，﹣3）．
年龄（岁）
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人数（名）
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