（山东济南卷）2021年中考数学第三次模拟考试（word版 含答案）

这是一份（山东济南卷）2021年中考数学第三次模拟考试（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（山东济南卷）2021年中考数学第三次模拟考试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2=﹣a6 B．2a2+3a2=6a2
C．2a2•a3=2a6 D．
2．如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是　　

A． B． C． D．
4．如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ）

A． B．4 C． D．
5．使得关于 x 的不等式组无解，且使分式方程的解小于 4 的所有整数a 的个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（　　）
A．=2 B．=2
C．=2 D．=2
7．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（　　）

A． B．3 C．3 D．3
8．如图，△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为何？（　　）

A．2：1 B．3：2 C．5：2 D．9：4
9．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形ADOF的边长是（ ）

A． B．2 C． D．4
10．已知，点A、B是CD为直径的⊙O上两点，分别在直径的两侧．其中点A是弧的中点，若tan∠ACB＝2，则sin∠BCD的值为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以B1，B2，B3，…为直角顶点，斜边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点B1（x1，y1），B2（x2，y2），B3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（＞0）的图象上，则y1+y2+y3+…+y10的值为（　　）

A． B．6 C． D．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
13．化简（﹣1）0+（）﹣2﹣+2sin30°＝__
14．分解因式：_________．
15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为___．
16．如图，在中，，，点D是AB上一动点，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．

17．如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是_________.

18．如图，已知AD∥BC,AB⊥BC，AB=3.点E为射线 BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为__________ .


三、解答题
19．先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
20．每年6月18日，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动，甲卖家的商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售．
（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？
（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为，乙卖家也销售商品，其成本标价与甲卖家一致，以前每天可售出50件，现乙卖家先将标价提高了原标价的倍，再大幅降价元，使得商品在6月18日当天售出的数量增加到原来售出数量的倍，这样一天的利润达到了50000元，求的值．
21．“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)
（1）请画出将ABC向左平移4个单位长度后得到的图形A1B1C1；
（2）请画出ABC关于原点O成中心对称的图形A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

23．如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．

24．如图（1），P为ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做ABC的费马点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　　（填是或不是）该三角形的费马点．
（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：ABP∽BCP；
（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为ABC的费马点．

25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且，，一次函数的图象过点D和M，反比例函数的图象经过点D，与BC的交点为N．
求反比例函数和一次函数的表达式；
若点P在直线DM上，且使的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．

26．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．
27．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，
①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值.


参考答案
1．D
【分析】
分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断．
【详解】
A、（-a3）2=a6，此选项错误；
B、2a2+3a2=5a2，此选项错误；
C、2a2•a3=2a5，此选项错误；
D、(，此选项正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则．
2．C
【分析】
直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】
解：直线，
，
，，，
．
故选C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和定理，这是几何中的必考点，必须熟练掌握.
3．C
【详解】
解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为四棱柱，
故选C．
考点：由三视图判断几何体.
4．A
【分析】
如图（见解析），先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案．
【详解】
如图，连接AE
由函数图象可知，
设正方形ABCD的边长为，则
四边形ABCD是正方形

，
是的中点

则在，由勾股定理得：
因此有
解得
则
故选：A．

【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键．
5．B
【分析】
不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程的解小于4，确定出满足条件a的值．
【详解】
解不等式，得：x≤5a-6，
解不等式x-2a＞6，得：x＞2a+6，
∵不等式组无解，
∴2a+6≥5a-6，
解得：a≤4，
解方程，得：x=2-2a，
∵方程的解小于4，
∴2-2a＜4且2-2a≠±2，
解得：a＞-1且a≠0、a≠2，
则-1＜a≤4且a≠0、a≠2，
所以满足条件的所有整数a有1、3、4这3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
6．A
【详解】
分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：=2，
故选A．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
7．B
【分析】
折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
【详解】
解：






AB＝AC，
,
故选B.
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
8．D
【详解】
分析：只要证明△ADE∽△FGH，可得，由此即可解决问题.
详解：∵BG：GH：HC=4：6：5，可以假设BG=4k，GH=6k，HC=5k，
∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，
∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，
∴DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，∠FGH=∠B=∠ADE，∠FHG=∠C=∠AED，
∴△ADE∽△FGH，
∴．
故选D．
点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9．B
【分析】
设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可．
【详解】
设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：，，
，
在Rt△中，，
即，
整理得，，
解得：x=2或x=-12(舍去)，
，
即正方形ADOF的边长是2，
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10．C
【分析】
连接AB，连接AO，延长AO交BC于T．由tan∠ACT＝＝2，假设CT＝k，AT＝2k，设OA＝OC＝r，在Rt△OCT中，根据勾股定理，确定r，k之间的数量关系，由此计算即可．
【详解】
解：连接AB，连接AO，延长AO交BC于T．

∵点A是弧的中点，
∴AT⊥BC，
∵tan∠ACT＝＝2，
∴可以假设CT＝k，AT＝2k，设OA＝OC＝r，
在Rt△OCT中，
，
∴，
∴r＝k，
∴OT＝AT﹣r＝k，
∴sin∠BCD＝==，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11．A
【分析】
根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的直角顶点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，然后再求和．
【详解】
解：如图，过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、

则，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
直角顶点在反比例函数，
，即，
，
，
设，则 此时，代入得：，
解得：，即：，
同理：，
，

，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
12．B
【详解】
试题解析：①由开口向下，可得
又由抛物线与y轴交于正半轴，可得
再根据对称轴在y轴左侧，得到与同号，则可得
故①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得 故②正确；
③当时， 即 ……（1）
当时，,即 ……（2）
（1）+（2）×2得，
即
又因为
所以
故③错误；
④因为时，时，
所以
即
所以
故④正确，
综上可知，正确的结论有2个.
故选B．
13．0
【分析】
先计算零指数幂，负整数指数幂，开平方，开立方与特殊角的三角函数值，再进行混合计算即可．
【详解】
解：原式

．
故答案为：0．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，掌握其运算法则及特殊角的三角函数值是解答题的关键．
14．
【分析】
先分组，再利用提公因式法分解因式即可．
【详解】
解：
故答案为（ab-1）（a+b）
【点睛】
本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题关键．
15．﹣2．
【分析】
根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．
【详解】
根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3（k﹣1）
＝13，
k＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，解题关键在于列出关于k的方程.
16．2
【分析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小，根据直角三角形勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图


∵平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，又AB=AC=4
∴OC=OA=AC=2
当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BA，∠BAC=45°，
∴∠AOD=45°
∴△ADO为等腰直角三角形
在Rt△ADO由勾股定理可知
OD= AO=
∴DE=2OD=2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，即平行四边形对角线互相平分，正确理解DE最小值的条件是关键．
17．.
【详解】
试题解析：如图１，当点P为BC的中点时，MN最短．

此时E、F分别为AB、AC的中点，
∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．

此时G（H）为AB（AC）的中点，
∴CG=2（BH=2），
CM=4（BN=4）．
故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4．
18．或.
【详解】
试题分析：根据题意可得四边形ABNM是矩形，所以AB=MN=3，AM=BN，根据折叠的性质可得AB=AB’,BE=B’E，点B′为线段MN的三等分点时，分两种情况：①当MB’=1，B’N=2时，在Rt△AMB’中，由勾股定理求得AM=，设BE==B’E=x，在Rt△ENB’中，由勾股定理可得，解得x=；②当MB’=2，B’N=1时，在Rt△AMB’中，由勾股定理求得AM=，设BE==B’E=x，在Rt△ENB’中，由勾股定理可得，解得x=.
考点：矩形的性质；勾股定理；折叠的性质.

19．﹣，-2
【分析】
先对分式进行化简，然后求出不等式组的解集，进而根据题意可求解．
【详解】
解：
＝
＝
＝
＝﹣，
解不等式组得：
﹣1≤x＜，
∴整数解有，
∵分式要有意义，
∴当x＝2时，原式＝﹣＝﹣2．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的化简求值及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
20．（1）降价80元；（2）3
【分析】
（1）设降价x元，根据利润=售价-成本结合利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据利润=每件利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合销售数量为整数，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设降价x元，
依题意得：1000×0.8-x-600≥600×20%，
解得：x≤80．
答：最多降价80元，才能使利润率不低于20%．
（2）依题意得：[1000（1+0.2m）-250m-600]×50× =50000，
整理得：m2-8m+15=0，
解得：m1=3，m2=5，
当m=3时，50×=200（件），符合题意；
当m=5时，50× =（件），不为整数，舍去．
答：m的值为3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．（1）60，10；（2）96°；（3）1020；（4）
【分析】
(1)根据基本了解的人数以及所占的百分比可求得接受调查问卷的人数，进行求得不了解的人数，即可求得m的值；
(2)用360度乘以“了解很少”的比例即可得；
(3)用“非常了解”和“基本了解”的人数和除以接受问卷的人数，再乘以1800即可求得答案；
(4)画树状图表示出所有可能的情况数，再找出符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.
【详解】
(1)接受问卷调查的学生共有(人)，，
故答案为60，10；
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数，
故答案为96°；
(3)该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：(人)，
故答案为1020；
(4)由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，(2，0)
【分析】
（1）把点A、点B、点C向左平移4个单位，对应点坐标A1(-3，1)，B1(0，2)，C1(-1，4)
然后顺次连接得△A1B1C1，如图1所示：
（2）连结OA、OB、OC，延长OA、OB、OC，在延长线上截取A2O=AO，B2O=OB，OC2=OC，顺次连接得△A2B2C2，如图2所示；
（3）找出B的关于x轴对称点B′（4，﹣2），连接AB′，与x轴交点即为P；求AB′解析式为，当y=0时，点P坐标为（2，0）．
【详解】
解：（1）∵ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)，
把点A、点B、点C向左平移4个单位，对应点坐标A1(-3，1)，B1(0，2)，C1(-1，4)，
然后顺次连接得△A1B1C1，如图1所示：

（2）如图2所示：连结OA、OB、OC，延长OA、OB、OC，在延长线上截取A2O=AO，B2O=OB，OC2=OC，顺次连接得△A2B2C2，如图2所示；

（3）找出B的对称点B′（4，﹣2），
连接AB′，与x轴交点即为P；
设AB′解析式为代入点的坐标得，
，
解得，
∴AB′解析式为，
当y=0时，，
解得
点P坐标为（2，0）．
如图3所示：

【点睛】
本题考查平移的性质，中心对称性质，轴对称性质，掌握平移的性质，中心对称性质，轴对称性质是解题关键．
23．（1）证明见解析；（2）▱ADEF的形状为菱形，理由见解析；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析.
【分析】
(1)根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明；
(3)根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【详解】
(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠BDE，
∴AD∥EF，又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
(2)解：□ADEF的形状为菱形，
理由如下：∵点D为AB中点，
∴AD=AB，
∵DE∥AC，点D为AB中点，
∴DE=AC，
∵AB=AC，
∴AD=DE，
∴平行四边形ADEF为菱形，
(3)四边形AEGF是矩形，
理由如下：由(1)得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE，
∵EG=DE，
∴AF∥DE，AF=GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD=AG，EG=DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
故答案为(1)证明见解析；(2)菱形；(3)矩形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
24．（1）是；（2）见解析；（3）①60°，②见解析
【分析】
（1）由等边三角形的性质证明 可得 同法可得： 从而可得结论；
（2）由为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°，证明∠PAB＝∠PBC，∠APB＝∠BPC＝120°，从而可得△ABP∽△BCP；
（3）①如图2所示：由△ABE与△ACD都为等边三角形，证明△ACE≌△ADB（SAS），利用全等三角形的性质可得∠CPD＝∠6＝∠5＝60°； ② 先证明△ADF∽△PCF，可得 再证明△AFP∽△DFC．可得∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，再证明∠BPC＝120°，从而可得结论．
【详解】
解：（1）如图1所示：

∵AB＝BC，BM是AC的中线，
∴MB平分∠ABC．
同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．
∴∠APB＝120°．
同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．
∴P是△ABC的费马点．
故答案为：是．
（2）为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．
∠APB＝∠BPC＝120°，
∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠PAB＝∠PBC，
∴△ABP∽△BCP．
（3）如图2所示：

①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；
②证明：
△ADF∽△PCF，

∵∠AFP＝∠CFD，
∴△AFP∽△DFC．
∴∠APF＝∠ACD＝60°，
∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，

∴∠BPC＝120°，
∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，
∴P点为△ABC的费马点．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，确定图中隐含的全等三角形与相似三角形是解题的关键．
25．（1）反比例解析式为，直线DM解析式为；（2）P坐标为或．
【详解】
试题分析:本题主要考查一次函数的解析式,反比例函数的解析式以及一次函数图象与性质,(1)首先根据正方形性质得到A,B的坐标,再根据AD=2DB和AM=2MO求出D和M的坐标,最后代入一次函数和反比例函数中求解出解析式,(2)首先求解出N点坐标,之后求出梯形OMNC的面积,再列出△OPM的面积表达式,最后根据求解出P点的坐标.
26．（1）详见解析；（2）
【分析】
（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；
（2）先求得∠EOA=∠ABC，再在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=，再证△ADO∽△OBC得，据此可得答案．
【详解】
（1）证明：过点O作OE⊥AB于点E，则∠OEB=90°



∵⊙O切BC于点C
∴OC⊥BC
∴∠ACB=90°=∠OEB
∴∠CBD+∠BOC=90°
∵AD⊥BD
∴∠D=90°
∴ ∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BOC=∠AOD=∠BAD
∴∠CBD=∠ABD
又OB=OB
∴△OEB≌△OCB
∴ OE=OC
∴OE是⊙O的半径
又OE⊥AB
∴AB是⊙O的切线．
（2）∵tan∠ABC=，BC=6
∴AC=8，AB=
∵BC、AB与⊙O相切
∴BE=BC=6
∴AE=4
∵∠AOE=∠ABC
∴tan∠AOE=
∴OE=3=OC
∴AO=5，BO=
∵∠BOC=∠AOD，∠ACB=∠D
∴△BCO∽△ADO
∴
∴
∴AD=
【点睛】
本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用．
27．（1）B（0，2），；（2）①点M的坐标为（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.
【分析】
(1)把点代入求得c值，即可得点B的坐标；抛物线经过点，即可求得b值，从而求得抛物线的解析式；（2）由轴，M（m，0），可得N()，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°两种情况求点M的坐标；②分N为PM的中点、P为NM的中点、M为PN的中点3种情况求m的值.
【详解】
（1）直线与轴交于点，
∴，解得c=2
∴B（0，2），
∵抛物线经过点，
∴，∴b=
∴抛物线的解析式为；
（2）∵轴，M（m，0），∴N()
①有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2
∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，
若使△APM中和△BPN相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°，
分两种情况讨论如下：
（I）当∠NBP=90°时，过点N作NC轴于点C，
则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，
BC=
∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，
∴∠BNC=∠ABO，
∴Rt△NCB∽ Rt△BOA
∴,即，解得m=0（舍去）或m=
∴M（，0）；
（II）当∠BNP=90°时， BNMN，
∴点N的纵坐标为2，
∴
解得m=0（舍去）或m=
∴M（，0）；
综上，点M的坐标为（，0）或M（，0）；
②由①可知M(m,0),P(m,),N(m,)，
∵M，P，N三点为“共谐点”，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
当P为线段MN的中点时,则有2()=,解得m=3(三点重合,舍去)或m=；
当M为线段PN的中点时,则有+()=0,解得m=3(舍去)或m=−1；
当N为线段PM的中点时,则有=2(),解得m=3(舍去)或m=；
综上可知当M,P,N三点成为“共谐点”时m的值为或−1或.
考点：二次函数综合题.