高三数学一轮复习： 热点探究课3 数列中的高考热点问题

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解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．
(2016·天津高考)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且eq \f(1,a1)－eq \f(1,a2)＝eq \f(2,a3)，S6＝63.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N*，bn是lg2an和lg2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nbeq \\al(2,n)}的前2n项和．
[解] (1)设数列{an}的公比为q.
由已知，有eq \f(1,a1)－eq \f(1,a1q)＝eq \f(2,a1q2)，
解得q＝2或q＝－1.2分
又由S6＝a1·eq \f(1－q6,1－q)＝63，知q≠－1，
所以a1·eq \f(1－26,1－2)＝63，得a1＝1.
所以an＝2n－1.5分
(2)由题意，得bn＝eq \f(1,2)(lg2an＋lg2an＋1)
＝eq \f(1,2)(lg22n－1＋lg22n)＝n－eq \f(1,2)，
即{bn}是首项为eq \f(1,2)，公差为1的等差数列.8分
设数列{(－1)nbeq \\al(2,n)}的前n项和为Tn，则
T2n＝(－beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2))＋(－beq \\al(2,3)＋beq \\al(2,4))＋…＋(－beq \\al(2,2n－1)＋beq \\al(2,2n))
＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝eq \f(2nb1＋b2n,2)＝2n2.10分
[规律方法] 1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{lgban}(b>0，且b≠1)是等差数列．
2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．
[对点训练1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,an)))的前n项和最大？
[解] (1)取n＝1，得λaeq \\al(2,1)＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.
若a1＝0，则Sn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，
所以an＝0(n≥1).2分
若a1≠0，则a1＝eq \f(2,λ).
当n≥2时，2an＝eq \f(2,λ)＋Sn,2an－1＝eq \f(2,λ)＋Sn－1，
两式相减得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，
所以an＝a1·2n－1＝eq \f(2,λ)·2n－1＝eq \f(2n,λ).
综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝eq \f(2n,λ).5分
(2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lgeq \f(1,an)，
由(1)知，bn＝lgeq \f(100,2n)＝2－nlg 2.7分
所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2.
b1>b2>…>b6＝lgeq \f(100,26)＝lgeq \f(100,64)>lg 1＝0，
当n≥7时，bn≤b7＝lgeq \f(100,27)＝lgeq \f(100,128)eq \f(2n－12－1,2n2)＝eq \f(2n－2,2n)＝eq \f(n－1,n)，10分
所以Tn>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×…×eq \f(n－1,n)＝eq \f(1,4n).
综上可得，对任意的n∈N*，均有Tn≥eq \f(1,4n).12分
[规律方法] 解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．