2021年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷

这是一份2021年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，（本题12分等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）在0.3，﹣3，0，﹣这四个有理数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．0.3C．0D．﹣
2．（2分）如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）截止到2021年4月6日，电影《你好，李焕英》累计票房达到53.96亿元，进入全球前100名，同时贾玲成为了全球票房最高的女导演，其中数据53.96亿用科学记数法表示为（ ）
A．53.96×108B．5.396×1010
C．0.5396×1010D．5.396×109
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（3a2）3＝9a6
C．5a2•4a2＝20a2D．2a4+3a4＝5a
5．（2分）沈阳市三月份连续七天的最高气温分别为10，9，9，7，6，8，5（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．9℃，6℃B．8℃，9℃C．7℃，9℃D．9℃，8℃
6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2分）如图，将直尺与含60°角的三角尺叠放在一起，60°角的顶点落在直尺的一边上，其两边与直尺相交，若∠2＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
8．（2分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣2，﹣1）
B．若点P（﹣2，y1）和点Q（6，y2）在该图象上，则y1＜y2
C．其图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．y随x的增大而增大
9．（2分）如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＝0；④b2＜4ac；⑤若m为任意实数，则a+b≥am2+bm．其中正确的是（ ）
A．①②B．②④C．③⑤D．①⑤
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：xy2﹣4x＝ ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）半径为5的正六边形的周长为 ．
14．（3分）计算的结果是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，且∠ABE＝2∠CBE，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D，点F为DE的中点，连接AF，若DE＝，则AB的长为 ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段AO，BC上，且满足BQ＝AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是 ．
三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（﹣）﹣1++（3.14﹣π）0﹣|2sin60°﹣1|．
18．（8分）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止．
（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ．
（2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率．
19．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABEO是菱形；
（2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是 ．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）为响应全推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请在答题卡上直接补全条形统计图；
（3）若该校共有学生800人，试估计该校学生中在本次检测中达到“C（合格）”或合格以上等级（包括“A（优秀）”和“B（良好）”）的学生人数．
21．（8分）在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方100m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为30°和45°，求桥AB的长度．（结果保留根号）
五、（本题10分）
22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）经过点A（6，0）和点B（0，9），其图象与直线y＝x交于点C．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点M，N，设点P的横坐标为m．
①线段PM的长为 ；（用含m的代数式表示）
②当点P，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
③直线l上有一点Q，当∠PQA与∠AOC互余，且△PQA的周长为时，请直接写出点Q的坐标．
七、（本题12分
24．（12分）（1）思维探究：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，则三条线段EF，BE，DF满足的等量关系式是 ；小明的思路是：将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置，并说明点G、B、E在同一条直线上，然后证明△AEF≌ 即可得证结论；（只需填空，无需证明）
（2）思维延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝45° 猜想三条线段BD，DE，EC应满足的等量关系，并说明理由；
（3）思维拓广：如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝5，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝30°，当BD＝1时，请直接写出线段CE的长．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，点P（m，n）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）观察图象，当90°＜∠APB＜180°时，请直接写出m的取值范围；
（4）当点P在对称轴的右侧，且∠APB＝90°时，将抛物线沿x轴方向平移k个单位长度，点D，P平移后的对应点分别为D′，P′是否存在一个k值，使四边形ABP′D′的周长最短？若存在，请直接写出平移方向（“向左”或“向右”）和k的值；若不存在，请说明理由．
2021年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）
1．（2分）在0.3，﹣3，0，﹣这四个有理数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．0.3C．0D．﹣
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣＜0＜0.3，
∴在0.3，﹣3，0，﹣这四个有理数中，最小的数是﹣3．
故选：A．
2．（2分）如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体判定则可．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C．
3．（2分）截止到2021年4月6日，电影《你好，李焕英》累计票房达到53.96亿元，进入全球前100名，同时贾玲成为了全球票房最高的女导演，其中数据53.96亿用科学记数法表示为（ ）
A．53.96×108B．5.396×1010
C．0.5396×1010D．5.396×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：53.96亿＝5.396×109．
故选：D．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（3a2）3＝9a6
C．5a2•4a2＝20a2D．2a4+3a4＝5a
【分析】根据单项式乘单项式、同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项等法则求解判断即可．
【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5，故A计算正确；
（3a2）3＝33•a2×3＝27a6，故B计算错误；
5a2•4a2＝（5×4）•（a2•a2）＝20a4，故C计算错误；
2a4+3a4＝（2+3）a4＝5a4，故D计算错误；
故选：A．
5．（2分）沈阳市三月份连续七天的最高气温分别为10，9，9，7，6，8，5（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．9℃，6℃B．8℃，9℃C．7℃，9℃D．9℃，8℃
【分析】将数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列得5、6、7、8、9、9、10，
所以这组数据的中位数为8℃，众数为9℃，
故选：B．
6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点A（﹣1，）在第二象限．
故选：B．
7．（2分）如图，将直尺与含60°角的三角尺叠放在一起，60°角的顶点落在直尺的一边上，其两边与直尺相交，若∠2＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补可得结论．
【解答】解：如图，
由题意：AB∥CD，∠ACB＝60°．
∵AB∥CD，
∴∠2+∠ACD＝180°．
∴∠ACD＝180°﹣∠2＝180°﹣70°＝110°．
∴∠1＝∠ACD﹣∠ACB＝110°﹣60°＝50°．
故选：C．
8．（2分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣2，﹣1）
B．若点P（﹣2，y1）和点Q（6，y2）在该图象上，则y1＜y2
C．其图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．y随x的增大而增大
【分析】依据反比例函数的图象与性质逐一判定即可．
【解答】解：∵k＝﹣2，
∴A．图象经过点（﹣2，﹣1）不合题意；
B．y1＝1，y2＝﹣，故不合题意；
C．图象既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D．在每一象限内，y随x的增大而增大，故不合题意．
故选：C．
9．（2分）如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中位线的性质得：DE∥BC，DE＝BC，从而得：△DEF∽△CBF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论．
【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
故选：D．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＝0；④b2＜4ac；⑤若m为任意实数，则a+b≥am2+bm．其中正确的是（ ）
A．①②B．②④C．③⑤D．①⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以abc＜0．
故①正确．
②∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故②错误；
③∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故③错误；
④∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故④错误；
⑤∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，
故⑤正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣4x，
＝x（y2﹣4），
＝x（y+2）（y﹣2）．
12．（3分）不等式组的解集是 ﹣1＜x≤2 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
13．（3分）半径为5的正六边形的周长为 30 ．
【分析】根据正六边形的边长等于半径，即可求得边长，进而求得周长．
【解答】解：∵圆内接正六边形的半径为5，
∴边长是5，
则周长是：5×6＝30．
故答案是：30．
14．（3分）计算的结果是 ． ．
【分析】先将分式化为同分母，再根据同分母的运算法则进行计算．同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
故答案为．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，且∠ABE＝2∠CBE，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D，点F为DE的中点，连接AF，若DE＝，则AB的长为 ．
【分析】由平行线的性质及直角三角形的性质得出∠AFB＝∠ABF，可得AB＝AF，则可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠D＝∠CBE，∠EAD＝90，
∵2∠CBE＝∠ABE，
∴∠ABE＝2∠D，
∵F为DE的中点，
∴AF＝DF＝EF，
∴∠D＝∠FAD，
∵∠AFB＝∠D+∠FAD，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF＝DE＝；
故答案为：．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段AO，BC上，且满足BQ＝AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是 2 ．
【分析】根据正方形的性质可得AB、AC的长，根据“点P、Q分别在线段AO、BC上”可分三种情况进行讨论：①当P1在A点时，AP＝0，②当P2在O点时，AP3＝4＝AO，③当P2在AO中点时，AP2＝2，当M2点在P3M3中点处，且P2M2Q2＝90°，连接P3Q2，根据相似三角形的判定与性质及勾股定理可得问题的答案．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝，
∴AC＝＝8，
∴AO＝4，
①当P1在A点时，AP＝0，
∴BQ＝AP＝0，
∴Q点在B点处，此时，∠BAO＝∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，
即M1点在O点处；
②当P3在O点时，AP3＝4＝AO，
∴BQ＝AP＝4，
∴Q3点在C点处，此时，∠ACD＝∠CP3M3＝45°，∠P3M3C＝90°，
即M3点在DC的中点处；
③当P2在AO中点时，AP2＝2，
∴BQ＝AP＝2，
∴Q2点在BC中点处，M2点在P3M3中点处，证明如下：
当M2点在P3M3中点处，且P2M2Q2＝90°，
连接P3Q2，
∵P3、Q2为中点，
∴OQ2⊥BC，
∴四边形OQ2Q3M3是正方形，
∵OQ2＝AB＝2＝OM3，
∴OM2＝＝，
∴Q2M2＝＝＝，
过点P2作P2G⊥BC，此时P2为AO的中点，且P2G∥AB，
即在△ABC中，，
∵CP2＝AC﹣AP2＝6，
即，
∴P2G＝3，
同理可得，CG＝3，GQ2＝，
∴P2Q2＝＝＝，
∴P2M2＝＝，
故M2点在OM3是中点处，即M点在OM3上运动，
∴OM3＝DC＝2．
三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（﹣）﹣1++（3.14﹣π）0﹣|2sin60°﹣1|．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+2+1﹣（﹣1）
＝﹣2+2+1﹣+1
＝．
18．（8分）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止．
（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ．
（2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是＝，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的有3种结果，
∴转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率为＝．
19．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABEO是菱形；
（2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是 2 ．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABEO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AC＝2AO，推出AO＝AB，得到四边形ABEO是菱形；
（2）根据平行四边形的性质得到AO＝AC＝，OB＝BD＝2，连接AE交BO于M，根据勾股定理得到AM＝＝＝，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，OE∥AB，
∴四边形ABEO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，
∵AC＝2AB，
∴AO＝AB，
∴四边形ABEO是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝，OB＝BD＝2，
连接AE交BO于M，
由（1）知，四边形ABEO是菱形，
∴AE、OB互相垂直平分，
∴OM＝BO＝1，
∴AM＝＝＝，
∴AE＝2，
∴四边形ABEO的面积＝AE•OB＝＝2，
故答案为：2．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）为响应全推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ 30 ，b＝ 0.31 ；
（2）请在答题卡上直接补全条形统计图；
（3）若该校共有学生800人，试估计该校学生中在本次检测中达到“C（合格）”或合格以上等级（包括“A（优秀）”和“B（良好）”）的学生人数．
【分析】（1）根据统计图表中的数据可以求得本次的样本容量，根据样本容量和表格中的数据可以求得a、b的值；
（2）根据a的值可以将条形统计图补充完整；
（3）用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次随机抽取的样本容量为：35÷0.35＝100，
∴a＝100×0.3＝30，b＝31÷100＝0.31，
故答案为：30，0.31；
（2）由（1）知a＝30，
补充完整的条形统计图如图所示：
（3）该校学生在本次检测中达到“C（合格）”或合格以上等级（包括“A（优秀）”和“B（良好）”）的学生人数为800×（0.3+0.35）＝520（人），
答：该校学生在本次检测中达到“C（合格）”或合格以上等级（包括“A（优秀）”和“B（良好）”）的学生人数为520人．
21．（8分）在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方100m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为30°和45°，求桥AB的长度．（结果保留根号）
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据锐角三角函数即可求出结果．
【解答】解：如图，过C点作CD⊥AB，垂足为D．
∴∠ADC＝∠BDC＝90°．
在Rt△BDC中，
∵∠B＝45°，CD＝100m，
∴BD＝CD＝100m．
在Rt△ADC中，
∵∠A＝30°，CD＝100m，
∴∠ACD＝60°．
∴AD＝CD•tan60°＝100（m）．
∴AB＝AD+BD＝100（+1）（m）．
答：桥AB的长度为100（+1）m．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝1，根据勾股定理得到OB＝＝，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，
∴∠APO＝60°，
∴∠BPD＝∠APO＝60°，
∵PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，
∴BC＝1，
∴OB＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）经过点A（6，0）和点B（0，9），其图象与直线y＝x交于点C．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点M，N，设点P的横坐标为m．
①线段PM的长为 ﹣m+9 ；（用含m的代数式表示）
②当点P，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
③直线l上有一点Q，当∠PQA与∠AOC互余，且△PQA的周长为时，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）①将P点的横坐标代入解析式即可求得M的纵坐标，进而求得PM长度；
②分点N是中点和点M是中点两种情况，再根据等量关系列出方程即可；
③分点Q在x轴上方和下方两种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）经过点A（6，0）和点B（0，9），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+9；
（2）①∵点P在平行于y轴的直线l上，交直线AB，OC于点M，N，点P的横坐标为m，
∴点M的横坐标为m，
∵点M在直线y＝﹣x+9上，
∴当x＝m时，y＝﹣m+9，
∴|PM|＝﹣m+9，
故答案为﹣m+9；
②当点N是中点时，根据题意得点M（m，﹣m+9），点N（m，m），
∴NM＝（﹣m+9）﹣m，PN＝m，
此时PN＝NM，
即（﹣m+9）﹣m＝m，
解得m＝3，
当点M是中点时，根据题意得点M（m，﹣m+9），点N（m，m），
∴NM＝m﹣（﹣m+9）＝m﹣9，PM＝﹣m+9，
此时PM＝NM，
即m﹣9＝﹣m+9，
解得m＝，
综上，m的值为3或；
③当点Q在x轴上方时，
根据题意得，
解得，
∴点C的坐标为（4，3），
过点C作CM⊥x轴，垂足为M，
则OM＝4，CM＝3，根据勾股定理，
得OC＝＝5，
∴cs∠COM＝＝；
作线段AO的垂直平分线，与直线y＝x交于点D，则点D的坐标为（3，），
连接AD交直线l于点Q，
∵DO＝DA，
∴∠COM＝∠DAO，
∵∠PQA与∠DAO互余，
∴∠PQA与∠AOC互余，
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
根据题意得：，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+，
∵点P的横坐标为m，
∴PQ＝﹣m+，AP＝6﹣m，
∵cs∠COM＝cs∠QAP＝＝＝，
∴QA＝，
∵△PAD的周长为，
∴+6﹣m﹣m+＝，
解得m＝，
∴PQ＝＝﹣×+＝，
∴点Q的坐标为（，），
根据题意，点Q关于x轴的对称点Q'也符合题意，
∴点Q'的坐标为（，﹣），
综上，符合题意的Q的坐标为（，）或（，﹣）．
七、（本题12分
24．（12分）（1）思维探究：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，则三条线段EF，BE，DF满足的等量关系式是 EF＝BE+DF ；小明的思路是：将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置，并说明点G、B、E在同一条直线上，然后证明△AEF≌ △AEG 即可得证结论；（只需填空，无需证明）
（2）思维延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝45° 猜想三条线段BD，DE，EC应满足的等量关系，并说明理由；
（3）思维拓广：如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝5，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝30°，当BD＝1时，请直接写出线段CE的长．
【分析】（1）按照题目给的思路，由△ADF≌△ABG推出AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，得到∠EAG＝∠EAF．注意要证明G、B、E三点共线，才能证得△EAG≌△EAF．把EF转化到EG＝BG+BE＝DF+BE，得证．
（2）把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AE′B，连接DE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△AE′B得到BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，在Rt△ABC中的，AB＝AC，可求得∠E′BD＝90°，所以E′B2+BD2＝E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE＝DE′得到DE2＝BD2+EC2；
（3）分两种情况：点D在BC边上或点D在CB的延长线上，①当点D在BC边上时，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，利用三角函数求出BG，DG，AF，再证明△AFE∽△AGD，运用相似三角形性质即可求出EF，再由CE＝CF﹣EF可求得CE；②当点D在CB的延长线上时，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，与①同理可求得EF，再由CE＝CF+EF求出CE即可．
【解答】解：（1）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD，
∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直线上，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG与△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，
∵BE+DF＝BE+BG＝EG，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF；△AEG．
（2）猜想：DE2＝BD2+EC2，
证明：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AE′B，连接DE′，如图2，
∴△AEC≌△AE′B，
∴BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BD2＝E′D2，
又∵∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°，
∴∠E′AB+∠BAD＝45°，即∠E′AD＝45°，
在△ADE′和△ADE中，
，
∴△ADE′≌△ADE（SAS），
∴E′D＝DE，
∴DE2＝BD2+EC2．
（3）∵点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，BD＝1，
∴分两种情况：点D在BC边上或点D在CB的延长线上，
①当点D在BC边上时，如图3′，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB＝AC＝5，∠BAC＝60°，
∴BF＝CF＝，∠BAF＝∠CAF＝30°，
AF＝BF•tan∠B＝•tan60°＝，
∵∠AGD＝90°，∠B＝60°，
∴DG＝BD•sin∠B＝1×sin60°＝，BG＝BD•cs∠B＝1×cs60°＝，
∴AG＝AB﹣BG＝5﹣＝，
∵∠DAE＝30°，
∴∠DAF+∠BAD＝∠DAF+∠FAE＝30°，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴△AFE∽△AGD，
∴＝，即＝，
∴EF＝，
∴CE＝CF﹣EF＝﹣＝；
②当点D在CB的延长线上时，如图3″，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，
由①知，BF＝CF＝，∠BAF＝∠CAF＝30°，
∵∠DGB＝90°，∠DBG＝∠ABC＝60°，
∴DG＝BD•sin∠DBG＝1×sin60°＝，BG＝BD•cs∠DBG＝1×cs60°＝，
∴AG＝AB+BG＝5+＝，
∵∠DAE＝∠BAF＝30°，
∴∠DAG+∠BAE＝∠BAE+∠EAF，
∴∠DAG＝∠EAF，
∴△DAG∽△EAF，
∴＝，即＝，
∴EF＝，
∴CE＝CF+EF＝+＝；
综上所述，CE的长为或．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，点P（m，n）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）观察图象，当90°＜∠APB＜180°时，请直接写出m的取值范围；
（4）当点P在对称轴的右侧，且∠APB＝90°时，将抛物线沿x轴方向平移k个单位长度，点D，P平移后的对应点分别为D′，P′是否存在一个k值，使四边形ABP′D′的周长最短？若存在，请直接写出平移方向（“向左”或“向右”）和k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠OCB＝60°，即可求解；
（3）通过画出圆R的位置，利用数形结合即可求解；
（4）作点B关于直线m的对称点B′（3，2），则PB′＝PB，作B′B″∥PD，使B′B″∥PD，连接AB″交直线n于D′，过D′作D′P′∥PD，则D′P′＝DP，则点D′、P′为所求点，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；
则抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝﹣x2+x+＝，
故点D的坐标为（1，）；
（2）由抛物线的表达式知，点C的坐标为（0，），
在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，
同理可得，∠OCB＝60°，
∴∠ACB＝30°+60°＝90°，
故△ABC为直角三角形；
（3）作Rt△ABC的外接圆R，交抛物线于点P，
则根据函数的对称性，点P的坐标为（2，），
当点P在对称轴的右侧时，
点P在图示的位置时，∠APB＝90°，
而当点P与点B重合时，∠APB＝180°，
∴2＜m＜3；
从图上看，当点P在A、C之间的抛物线时，此时也满足题设的条件，
此时﹣1＜m＜0，
综上，2＜m＜3或﹣1＜m＜0；
（4）存在，理由：
由（3）知，点P的坐标为（2，），
而点A、B、D的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（1，），
分别过点P、D作x轴的平行线m，n，
作点B关于直线m的对称点B′（3，2），则PB′＝PB，作B′B″∥PD，使B′B″∥PD，连接AB″交直线n于D′，
过D′作D′P′∥PD，则D′P′＝DP，则点D′、P′为所求点，
理由：从作图过程知，四边形DPB′B″、DPP′D′均为平行四边形，
∴B′B″＝P′D′＝PD，P′B′＝B″D′，
∴AD′+P′B＝AD′+B′P′＝AD′+B″D′＝AB″，而AB+PD为常数，
故四边形ABP′D′的周长最短，
此时点A、D′、B″三点共线，
由点D、P′、B′的坐标，利用中点坐标公式得，点B″（2，），
当PD向左平移k个单位时，点D′的坐标为（1﹣k，），
由点A、B″的坐标得，直线AB″的表达式为y＝（x+1），
将点D′的坐标代入上式得：＝（1﹣k+1），
解得k＝，
故存在一个k＝，平移方向为向左．
等级
频数
频率
A
a
0.3
B
35
0.35
C
31
b
D
4
0.04
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
等级
频数
频率
A
a
0.3
B
35
0.35
C
31
b
D
4
0.04