2021年山东省滨州市无棣县中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省滨州市无棣县中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省滨州市无棣县中考数学一模试卷
一、选择题（本题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分36分）
1．（3分）若实数a的相反数是﹣2021，则a等于（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．±2021
2．（3分）自新型冠状病毒肺炎肆虐全球以来，万众一心战疫情已成为世界各国的共同语言，Worldometers世界实时统计数据显示，截至北京时间2021年3月25日7时01分，全球累计确诊新冠肺炎（COVID﹣19）病例超过125300000例，将125300000用科学记数法表示为（　　）
A．1.253×107 B．1.253×108 C．0.1253×109 D．1253×105
3．（3分）四个运算：①a3+a2＝a5；②；③a6÷a3＝a2；④（a﹣1）（a+2）＝a2﹣2．运算结果正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠ACD＝55°，则∠BAD＝（　　）

A．70° B．55° C．45° D．35°
5．（3分）为预防“新冠肺炎”，我县学校要求学生每日测量体温，九（1）班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（　　）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.3
36.3
36.6
36.4
36.3
36.5
36.4
A．36.4和36.3 B．36.3和36.4 C．36.3和36.3 D．36.3和36.2
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
7．（3分）疫情期间，小区的王阿姨和张妈妈通过外卖订购了两包蔬菜．王阿姨订购的一包蔬菜包括西葫芦、茄子、青椒各1千克，共花费11.8元；张妈妈订购的一包蔬菜包括西葫芦2千克，茄子1.5千克，共花费13元．已知青椒每千克4.2元，则西葫芦和茄子的价格是（　　）
A．3.6元/千克，4元/千克
B．4.4元/千克，3.2元/千克
C．3.2元/千克，4.4元/千克
D．4元/千克，3.6元/千克
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（　　）

A．4 B．6 C．5.2 D．4.8
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
10．（3分）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）

A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
11．（3分）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：
①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝6；③12a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣2≤x＜2；⑤当x＜0时y随x的增大而增大．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题填对最后结果得5分，满分40分.）
13．（5分）若a+b＝﹣4，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝　 　．
14．（5分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是　 　边形．
15．（5分）分式与的和为2，则x的值为　 　．
16．（5分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为　 　．

17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝8，AC＝6，则cos∠DCB＝　 　．

18．（5分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是　 　．

19．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝　 　．

20．（5分）观察下列各式：
13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，…猜想：13+23+…+n3（n是正整数）＝　 　．
三、解答题：（本大题共6个小题，满分94分．解答时请写出必要的演推过程）
21．（10分）先化简再求值，其中x＝（﹣2021）0+（﹣1）3+（）﹣3﹣．
22．（12分）2021年1月，市教育局在全市中小学中选取了56所学校进行了教育满意度调查．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生家长进行了手机短信问卷调查，了解他们的孩子每天在课外用于学习的时间，并绘制成不完整的统计图．

根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生家长人数是　 　；扇形统计图中的圆心角α等于　 　．
（2）补全统计直方图．
（3）被抽取家长的孩子还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．（共五个道次）
23．（12分）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
（1）求证：PA＝EF．
（2）若正方形ABCD的边长为12，求，四边形PFCE的周长．

24．（13分）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA＝6，求PB的长．

25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且D点的横坐标是它的纵坐标的2倍．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

26．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，四边形OBCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值．
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．

27．（20分）（1）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实根，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求k的值．
（2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，设s1＝α+β，，…，．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s2﹣s1﹣2＝0．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求α，β的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出s1，s2的值．
②猜想：当n≥3时，sn，sn﹣1，sn﹣2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性．
（注：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0若有两根x1，x2，则有；）

2021年山东省滨州市无棣县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分36分）
1．（3分）若实数a的相反数是﹣2021，则a等于（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．±2021
【分析】根据相反数的定义即可解答．
【解答】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴﹣2021的相反数是2021．
故选：A．
2．（3分）自新型冠状病毒肺炎肆虐全球以来，万众一心战疫情已成为世界各国的共同语言，Worldometers世界实时统计数据显示，截至北京时间2021年3月25日7时01分，全球累计确诊新冠肺炎（COVID﹣19）病例超过125300000例，将125300000用科学记数法表示为（　　）
A．1.253×107 B．1.253×108 C．0.1253×109 D．1253×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：125300000＝1.253×108．
故选：B．
3．（3分）四个运算：①a3+a2＝a5；②；③a6÷a3＝a2；④（a﹣1）（a+2）＝a2﹣2．运算结果正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】由相关整式运算法则逐一判断即可．
【解答】解：a3+a2不是同类项，不能合并，①不正确，故A不符合题意；
a﹣1＝，②正确，故B符合题意；
a6÷a3＝a3，③不正确，故C不符合题意；
（a﹣1）（a+2）＝a2+a﹣2，④不正确，故D不符合题意，
故选：B．
4．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠ACD＝55°，则∠BAD＝（　　）

A．70° B．55° C．45° D．35°
【分析】根据垂线的定义可得三角形ACD是直角三角形，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝55°，
∴∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
故选：D．
5．（3分）为预防“新冠肺炎”，我县学校要求学生每日测量体温，九（1）班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（　　）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.3
36.3
36.6
36.4
36.3
36.5
36.4
A．36.4和36.3 B．36.3和36.4 C．36.3和36.3 D．36.3和36.2
【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．
【解答】解：该名同学这一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现3次，因此众数是36.3，
将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是36.4℃，因此中位数是36.4，
故选：B．
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有两个实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2，
故选：A．
7．（3分）疫情期间，小区的王阿姨和张妈妈通过外卖订购了两包蔬菜．王阿姨订购的一包蔬菜包括西葫芦、茄子、青椒各1千克，共花费11.8元；张妈妈订购的一包蔬菜包括西葫芦2千克，茄子1.5千克，共花费13元．已知青椒每千克4.2元，则西葫芦和茄子的价格是（　　）
A．3.6元/千克，4元/千克
B．4.4元/千克，3.2元/千克
C．3.2元/千克，4.4元/千克
D．4元/千克，3.6元/千克
【分析】设西葫芦的价格为x元/千克，茄子的价格为y元/千克，根据“王阿姨订购的一包蔬菜包括西葫芦、茄子、青椒各1千克，共花费11.8元；张妈妈订购的一包蔬菜包括西葫芦2千克，茄子1.5千克，共花费13元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设西葫芦的价格为x元/千克，茄子的价格为y元/千克，
依题意得：，
解得：．
故选：C．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（　　）

A．4 B．6 C．5.2 D．4.8
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD＝BC，然后求出AE＝AD＝BC，再根据相似三角形的性质求出AF、FC的比，然后求解即可．
【解答】解：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE：DE＝2：1，
∴AE＝AD，
∴AE＝AD＝BC
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠FAE＝∠FCB，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝，
∵AC＝12，
∴AF＝×12＝4.8．
故选：D．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．

10．（3分）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）

A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：A．
11．（3分）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：
①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE＝120°，∠DCE＝∠BCA＝60°，AC＝CD＝DE＝CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD＝AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD．
【解答】解：∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，
∴∠ACE＝120°，∠DCE＝∠BCA＝60°，AC＝CD＝DE＝CE，
∴∠ACD＝120°﹣60°＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，AC＝AD＝DE＝CE，
∴四边形ACED是菱形，
∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∴①②③都正确，
故选：D．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝6；③12a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣2≤x＜2；⑤当x＜0时y随x的增大而增大．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；利用对称轴得到b＝﹣4a，由于x＝﹣2时，y＝0，则4a﹣2b+c＝0，把b＝﹣4a代入可对③进行判断；利用抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点在x轴上方，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝6，所以②正确；
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵x＝﹣2时，y＝0，
∴4a﹣2b+c＝0，
∴4a+8a+c＝0，即12a+c＝0，所以③错误；
当﹣2＜x＜6时，y＞0，所以④错误；
当x＜0时，y随x的增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题填对最后结果得5分，满分40分.）
13．（5分）若a+b＝﹣4，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝　﹣8　．
【分析】根据平方差公式求解即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣4，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣4）×2＝﹣8．
故答案为：﹣8．
14．（5分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是　七　边形．
【分析】根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：七．
15．（5分）分式与的和为2，则x的值为　4　．
【分析】根据题意列出分式方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：根据题意得：+＝2，
方程两边都乘以x﹣3得：6﹣x＝2（x﹣3），
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣3≠0，
所以x＝4是所列方程的解，
故答案为：4．
16．（5分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为　　．

【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积．
【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．
由旋转的性质，得A1C＝AC＝4．
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝．
∴∠ACA1＝60°．
∴扇形ACA1的面积为＝π．
即线段CA扫过的图形的面积为π．
故答案为π．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝8，AC＝6，则cos∠DCB＝　　．

【分析】根据已知条件推出∠DCB＝∠A，即可通过在Rt△ABC求cos∠A的值求出cos∠DCB的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°，
在Rt△CDB中，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A，
∴cos∠DCB＝cos∠A＝＝＝；
故答案为：．
18．（5分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是　x＝20　．

【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．
故答案为x＝20．
19．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝　或　．

【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理得到AE＝＝＝5，设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，②当∠APD′＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝3，
∴AE＝＝＝5，
∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，
∴PD′＝PD，
设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x，
当△APD′是直角三角形时，
①当∠AD′P＝90°时，
∴∠AD′P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD′＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD′A，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴PD＝；
②当∠APD′＝90°时，
∴∠APD′＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD′∽△EBA，
∴，
∴＝，
∴x＝，
∴PD＝，
综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD＝或，
故答案为：或．

20．（5分）观察下列各式：
13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，…猜想：13+23+…+n3（n是正整数）＝　　．
【分析】观察已知等式，得到n个正整数立方和等于各底数之和的平方．
【解答】解：根据题意得：13+23+…+n3（n是正整数）＝[]2＝，
故答案为：
三、解答题：（本大题共6个小题，满分94分．解答时请写出必要的演推过程）
21．（10分）先化简再求值，其中x＝（﹣2021）0+（﹣1）3+（）﹣3﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用实数的运算法则求出x的值
【解答】解：原式＝
＝，
当x＝1﹣1+﹣6＝2时，
原式＝﹣＝﹣．
22．（12分）2021年1月，市教育局在全市中小学中选取了56所学校进行了教育满意度调查．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生家长进行了手机短信问卷调查，了解他们的孩子每天在课外用于学习的时间，并绘制成不完整的统计图．

根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生家长人数是　30　；扇形统计图中的圆心角α等于　，144°　．
（2）补全统计直方图．
（3）被抽取家长的孩子还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．（共五个道次）
【分析】（1）根据题意列式求值即可；
（2）根据相应数据画图即可；
（3）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可．
【解答】解：（1）本次抽取的学生家长人数为：6÷20%＝30（人），
扇形统计图中的圆心角α＝360°×＝144°，
故答案为：30，144°；
（2）30﹣3﹣7﹣6﹣2＝12（人），
补全统计图如图所示：

（2）根据题意列表如下：
设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，
小红 小花
1
2
3
4
5
1

（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
2
（1，2）

（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，3）

（4，3）
（5，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）

（5，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）

共有20个等可能的结果，小红、小花在抽道次时抽在相邻两道的结果有8个，
记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，
∴P（A）＝＝．
23．（12分）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
（1）求证：PA＝EF．
（2）若正方形ABCD的边长为12，求，四边形PFCE的周长．

【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF＝PC，证△ABP≌△CBP，推出AP＝PC即可；
（2）首先证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，即可求出四边形PFCE的周长．
【解答】（1）证明：连接PC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°．
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF＝PC，
∴PA＝EF；
（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，
∴PE＝CF，PF＝CE，
又∵∠CBD＝45°，∠PEB＝90°，
∴BE＝PE，
又∵BC＝12，
∴矩形PFCE的周长为2（PF+FC）＝2（BE+EC）＝2BC＝24．
24．（13分）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA＝6，求PB的长．

【分析】（1）连接DE，OA．想办法证明OA⊥BF即可；
（2）作OH⊥PA于H，只要证明△AOH∽△PAB，可得＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接DE，OA．
∵PD是直径，
∴∠DEP＝90°，
∵PB⊥FB，
∴∠DEP＝∠FBP，
∴DE∥BF，
∵＝，
∴OA⊥DE，
∴OA⊥BF，
∴直线l是⊙O的切线．

（2）解：作OH⊥PA于H．
∵OA＝OP，OH⊥PA，
∴AH＝PH＝3，
∵OA∥PB，
∴∠OAH＝∠APB，
∵∠AHO＝∠ABP＝90°，
∴△AOH∽△PAB，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．

25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且D点的横坐标是它的纵坐标的2倍．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

【分析】（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，可得三角形ODH与三角形OBA相似，根据D点的横坐标是它的纵坐标的2倍及E（4，n），求出AB的长即可；
（2）由D为OB的中点，以及B坐标求出D坐标，把D代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把E坐标代入反比例解析式求出n的值即可；
（3）由折叠的性质得到三角形OGH与三角形FGH全等，利用全等三角形的对应边相等得到OG＝FG，由F在反比例图象上，确定出F坐标，进而求出CF的长，在三角形CFG中，设OG＝FG＝x，可得CG＝2﹣x，利用勾股定理求出x的值，即为OG的长．
【解答】解：（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，
∵D点的横坐标是它的纵坐标的2倍，即OM＝2DM，
∴OA＝2AB，
∵E（4，n），即OA＝4，AE＝n，
∴AB＝2；
（2）∵D为OB中点，B（4，2），
∴D（2，1），
把D（2，1）代入y＝中，得1＝，即k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
把E（4，n）代入反比例解析式得：n＝＝；
（3）由F（1，2），得到CF＝1，
由折叠得：△OGH≌△FGH，
∴OG＝FG，
∵OC＝AB＝2，
设OG＝FG＝x，得到CG＝2﹣x，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG2＝CG2+CF2，即x2＝（2﹣x）2+1，
整理得：4x＝5，
解得：x＝，
则OG＝．

26．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，四边形OBCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值．
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），则△BCD的面积＝×OB•DE＝（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，而△BOC的面积：×3×3＝，进而求解；
（3）设点M（1，m），则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；①当MC是斜边时，1+（m﹣3）2＝m2+4+18，即可求解；②当MB是斜边时，同理可解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入，得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴△BCD的面积＝×OB•DE＝（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
而△BOC的面积：×3×3＝，
所以S＝﹣（m﹣）2++＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值，最大值S＝；

（3）设点M（1，m），
则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；
①当MC是斜边时，
1+（m﹣3）2＝m2+4+18；
解得：m＝﹣2；
②当MB是斜边时，
同理可得：m＝4，
故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．
27．（20分）（1）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实根，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求k的值．
（2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，设s1＝α+β，，…，．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s2﹣s1﹣2＝0．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求α，β的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出s1，s2的值．
②猜想：当n≥3时，sn，sn﹣1，sn﹣2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性．
（注：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0若有两根x1，x2，则有；）
【分析】（1）先根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2，再变形已知条件得到k2+2+2（k+1）+1＝8，解得k1＝﹣3，k2＝1，然后根据判别式的意义确定k的值．
（2）①此小题只需对x2﹣x＝1配方解得x的值即为α，β的值，再由s1＝α+β，s2＝α2+β2求得s1，s2的值；
②此小题可猜想得到sn＝sn﹣1+sn﹣2，再根据根的定义证明即可；
【解答】解：（1）由已知定理得：x1+x2＝2（k+1），，
∴，
即k2+2k﹣3＝0，解得：k1＝﹣3，k2＝1，
当k1＝﹣3时，△＝4（k+1）2﹣4（k2+2）＝42﹣4×11＜0，
∴k1＝﹣3舍去，
当k2＝1时，△＝4（k+1）2﹣4（k2+2）＝（﹣4）2﹣4×3＞0，
∴k的值为1；
（2）①移项，得x2﹣x＝1，
配方，得，即，
开平方，得，即，
所以，，．
于是，s1＝1，s2＝3．
②猜想：sn＝sn﹣1+sn﹣2．
证明：根据根的定义，α2﹣α﹣1＝0，
两边都乘以αn﹣2，得　αn﹣αn﹣1﹣αn﹣2＝0①，
同理，βn﹣βn﹣1﹣βn﹣2＝0②，
①+②，得（αn+βn）﹣（αn﹣1+βn﹣1）﹣（αn﹣2+βn﹣2）＝0，
因为　，，，
所以　sn﹣sn﹣1﹣sn﹣2＝0，即sn＝sn﹣1+sn﹣2．