2021年广东省广州市中考数学全真模拟试卷（3）

这是一份2021年广东省广州市中考数学全真模拟试卷（3），共29页。

A．﹣2021B．C．D．2021
2．（3分）第十六届中国国际文化产业博览交易会以“云上文博会”形式举办，各省通过搭建VR虚拟展馆的形式进行展览．在展会期间，很多有山西地方特色的文化产业发展成果精彩亮相．借此机会，某手工艺术品展台通过网络平台销售了90件上党堆锦圆形摆件，销售情况统计如表：
则圆形摆件直径的众数为（ ）
A．25cmB．30cmC．48cmD．55cm
3．（3分）如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（ ）
A．10tan36°B．10cs36°C．10sin36°D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣4﹣3＝﹣1B．5×（﹣）2＝﹣
C．x2•x4＝x8D．+＝3
5．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（ ）
A．59°B．62°C．118°D．124°
6．（3分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且BE∥DF，AC分别交BE、DF于点G、H．下列结论：①四边形BFDE是平行四边形；②△AGE≌△CHF；③BG＝DH；④S△AGE：S△CDH＝GE：DH，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
9．（3分）如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连接CE，若OC＝cm，CD＝4cm，则DE的长为（ ）
A．cmB．5cmC．3cmD．2cm
10．（3分）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，∠C＝90°，线段AB＝10cm，线段AD＝8cm，线段AC＝6cm，则点A到BC的距离为 cm．
12．（3分）代数式有意义的x的取值范围是 ，有意义的x的取值范围是 ．
13．（3分）把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 ．
14．（3分）如图，将Rt△ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于 ．
15．（3分）一个圆锥的主视图是腰长为4cm的等腰直角三角形，这个圆锥的侧面积等于 cm2．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：
①BF＝CE；
②∠AEM＝∠DEM；
③AE﹣CE＝ME；
④DE2+DF2＝2DM2；
⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF＝：1；
正确的有 ．（只填序号）
三．解答题（共9小题，满分102分）
17．（9分）解方程组：
18．（9分）已知：如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F四点在一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．
19．（10分）先化简，再求值：
（）÷，其中x，y分别是一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标．
20．（10分）戏曲进校园，经典共传承．为进一步弘扬中华优秀传统文化，提高学生的国学素养，某校举行了戏曲文化知识竞赛，将所有参赛选手的成绩（单位：分，均为整数）分成了A（89.5＜n≤100），B（79.5＜n＜89.5），C（69.5＜n＜79.5），D（59.5＜n＜69.5）四个等级，根据成绩绘制成如下统计图表（部分信息未给出）：
（1）本次参赛选手共有 名，在扇形统计图中，C等级所在扇形的圆心角的度数为 ；
（2）赛前规定，成绩由高到低前30%的选手获奖，选手小明的成绩为86分，试判断他是否获奖，并说明理由；
（3）学校准备从成绩为A等级的选手中任选2名学生作为代表在全校师生大会上发言，求选中的2名学生至少有1名学生的成绩不低于95分的概率．
21．（12分）一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮，
（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 ．
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
22．（12分）如图，直线AB：y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．
23．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AC延长线上一定点．
（1）用直尺和圆规在边BC的延长线上求作一点P，使得∠CDP＝∠A（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，连接BD、AP，若AC＝CD，猜想四边形ABDP是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．
24．（14分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．
（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．
（i）求EN•EG的值；
（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上
25．（14分）A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）
（1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；
（2）若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；
（3）当B，C重合时，求的值；
（4）当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．
2021年广东省广州市中考数学全真模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）的绝对值是（ ）
A．﹣2021B．C．D．2021
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得
|﹣|＝．
故选：C．
2．（3分）第十六届中国国际文化产业博览交易会以“云上文博会”形式举办，各省通过搭建VR虚拟展馆的形式进行展览．在展会期间，很多有山西地方特色的文化产业发展成果精彩亮相．借此机会，某手工艺术品展台通过网络平台销售了90件上党堆锦圆形摆件，销售情况统计如表：
则圆形摆件直径的众数为（ ）
A．25cmB．30cmC．48cmD．55cm
【分析】根据众数的意义求解即可．
【解答】解：销售的90件上党堆锦圆形摆件直径最多的是48cm，共销售30件，
因此圆形摆件直径的众数是48cm，
故选：C．
3．（3分）如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（ ）
A．10tan36°B．10cs36°C．10sin36°D．
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinB＝，
∴AC＝AB•sinB＝10sin36°，
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣4﹣3＝﹣1B．5×（﹣）2＝﹣
C．x2•x4＝x8D．+＝3
【分析】分别根据有理数的减法法则，有理数的乘方与有理数的乘法法则、同底数幂的乘法法则以及二次根式的加减法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．﹣4﹣3＝﹣7，故本选项不合题意；
B.5×（﹣）2＝，故本选项不合题意；
C．x2•x4＝x6，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（ ）
A．59°B．62°C．118°D．124°
【分析】先证明∠P＝180°﹣∠AOB，根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB的度数，即可得出结果．
【解答】解：连接OA、OB，如图所示：
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO＝360°，
∴∠P＝180°﹣∠AOB，
∵∠ACB＝59°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝118°，
∴∠P＝180°﹣118°＝62°，
故选：B．
6．（3分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
×2＝，
故选：A．
7．（3分）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且BE∥DF，AC分别交BE、DF于点G、H．下列结论：①四边形BFDE是平行四边形；②△AGE≌△CHF；③BG＝DH；④S△AGE：S△CDH＝GE：DH，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用两组对边平行的四边形是平行四边形判断①；利用ASA证明两三角形全等判断②；利用全等三角形的性质可判断③④．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC
∵BE∥DF，AD∥BC
∴四边形BEDF是平行四边形，
故①正确
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BF＝DE，DF＝BE
∴AE＝FC，
∵AD∥BC，BE∥DF
∴∠DAC＝∠ACB，∠ADF＝∠DFC，∠AEB＝∠ADF
∴∠AEB＝∠DFC，且∠DAC＝∠ACB，AE＝CF
∴△AGE≌△CHF（ASA）
故②正确
∵△AGE≌△CHF
∴GE＝FH，且BE＝DF
∴BG＝DH
故③正确
∵△AGE≌△CHF
∴S△AGE＝S△CHF，
∵S△CHF：S△CDH＝FH：DH，
∴S△AGE：S△CDH＝GE：DH，
故④正确
故选：D．
8．（3分）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵﹣a2﹣1＜0，
∴函数y＝（a为常数）的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第二象限，
∴y2＞y1＞0，
∵2＞0，
∴点（2，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
9．（3分）如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连接CE，若OC＝cm，CD＝4cm，则DE的长为（ ）
A．cmB．5cmC．3cmD．2cm
【分析】由矩形的性质得出∠ADC＝90°，OA＝OC，AC＝2OC＝4，由勾股定理得出AD＝＝8，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OC，AC＝2OC＝4，
∴AD＝＝＝8，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝8﹣5＝3（cm）；
故选：C．
10．（3分）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣3）（x+2）＝p2化为x2﹣x﹣6﹣p2＝0，再根据△＝b2﹣4ac＝1+24+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣6﹣p2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2﹣x﹣6﹣p2＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝1+24+4p2＝25+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣6﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，∠C＝90°，线段AB＝10cm，线段AD＝8cm，线段AC＝6cm，则点A到BC的距离为 6 cm．
【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．
【解答】解：因为∠C＝90°，
所以AC⊥BC，
所以A到BC的距离是AC，
因为线段AC＝6cm，
所以点A到BC的距离为6cm．
故答案为：6．
12．（3分）代数式有意义的x的取值范围是 x≠﹣1 ，有意义的x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：代数式有意义的x的取值范围是x≠﹣1；有意义的x的取值范围是x≥﹣1．
故答案为：x≠﹣1；x≥﹣1．
13．（3分）把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 a（x﹣2）2 ．
【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
14．（3分）如图，将Rt△ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于 180° ．
【分析】根据旋转的性质可直接判定∠BAB1等于旋转角，由于点B、A、B1在同一条直线上，可知旋转角为180°．
【解答】解：由旋转的性质定义知，∠BAB1等于旋转角，
∵点B、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB1为平角，
∴∠BAB1＝180°，
故答案为：180°．
15．（3分）一个圆锥的主视图是腰长为4cm的等腰直角三角形，这个圆锥的侧面积等于 8π cm2．
【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为2cm，母线长为4cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得，圆锥的底面圆的半径为2cm，母线长为4cm，
所以这个圆锥的侧面积＝（cm2）．
故答案为：8π．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：
①BF＝CE；
②∠AEM＝∠DEM；
③AE﹣CE＝ME；
④DE2+DF2＝2DM2；
⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF＝：1；
正确的有 ①②③④⑤ ．（只填序号）
【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF＝CE，可判断①；再证明△BFM≌OCEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF＝EM，可判断③，同时得到∠MEF＝∠MFE＝45°，可判断②；再证明△DFM≌ONEM，得到ODMN为等腰直角三角形，得到DN＝ DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE＝EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE＝CE，则有＝＝＝＝．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，
∴△BCF≌△CAE （AAS），
∴BF＝CE，故①正确；
由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，
连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
又BM＝CM，BF＝CE，
∴△BFM≌OCEM （SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，
∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴EF＝EM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，
∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，
∴△DFM≌△NEM （ASA），
∴DF＝EN，DM＝MN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN＝DM，而∠DEA＝90°，
∴DE2+DF2＝DN＝2DM2，故④正确；
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，
∵∠DEM＝45°，
∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，
∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，
∴△ADE≌△ACE （ASA），
∴DE＝CE，
∴△MEF为等腰直角三角形，
∴EF＝EM，
∴＝＝＝＝，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
三．解答题（共9小题，满分102分）
17．（9分）解方程组：
【分析】利用加减消元法解答即可．
【解答】解：，
①+②，得：5x＝10，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得：6+y＝8，
解得y＝4，
所以原方程组的解为．
18．（9分）已知：如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F四点在一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据等式的性质得出BC＝EF，进而由全等三角形的判定可求解．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
19．（10分）先化简，再求值：
（）÷，其中x，y分别是一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x、y的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝••
＝••
＝•
＝．
∵x，y分别是一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标，
∴x＝，y＝1，
∴原式＝﹣1．
20．（10分）戏曲进校园，经典共传承．为进一步弘扬中华优秀传统文化，提高学生的国学素养，某校举行了戏曲文化知识竞赛，将所有参赛选手的成绩（单位：分，均为整数）分成了A（89.5＜n≤100），B（79.5＜n＜89.5），C（69.5＜n＜79.5），D（59.5＜n＜69.5）四个等级，根据成绩绘制成如下统计图表（部分信息未给出）：
（1）本次参赛选手共有 50 名，在扇形统计图中，C等级所在扇形的圆心角的度数为 151.2° ；
（2）赛前规定，成绩由高到低前30%的选手获奖，选手小明的成绩为86分，试判断他是否获奖，并说明理由；
（3）学校准备从成绩为A等级的选手中任选2名学生作为代表在全校师生大会上发言，求选中的2名学生至少有1名学生的成绩不低于95分的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比求出参赛选手共有的人数，即可解决问题；
（2）由小明的成绩得出在B组，再由题意前30%的选手获奖即前15人都获奖，即可得出结论；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次参赛选手共有：（6+14）÷40%＝50（名），
在扇形统计图中，A等级的人数为：50×8%＝4（名），
∴在扇形统计图中，C等级的人数为50﹣4﹣6﹣14﹣3﹣2＝21（名），
∴在扇形统计图中，C等级所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝151.2°，
故答案为：50，151.2°；
（2）获奖，理由如下：
∵选手小明的成绩为86分，
∴在84.5＜n＜89.5范围内，
∵A组有4人，50×30%＝15（人），前30%的选手获奖即前15人都获奖，
∴小明应获奖；
（3）把不低于95分的记为A，低于95分的记为B，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，选中的2名学生至少有1名学生的成绩不低于95分的结果有10个，
∴选中的2名学生至少有1名学生的成绩不低于95分的概率为＝．
21．（12分）一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮，
（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 （30﹣2x）（12﹣2x）＝144 ．
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解；
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值，再利用长方体的体积公式即可求出结论．
【解答】解：（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，
依题意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
故答案为：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，
依题意，得：（﹣y）（12﹣2y）＝104，
整理，得：y2﹣21y+38＝0，
解得：y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），
∴盒子的体积＝104×2＝208（cm3）．
答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，盒子的体积为208m3．
22．（12分）如图，直线AB：y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
（2）作DF⊥x轴于F，易证△ADF≌△BAO（AAS），利用全等三角形的性质可求出点D的坐标；
（3）同（2）可求出点C的坐标，利用极限值法可求出k的最大、最小值，此题得解．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．
（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，
∵正方形ABCD，
∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAF．
在△ADF和△BAO中，，
∴△ADF≌△BAO（AAS），
∴AF＝BO＝2，DF＝AO＝1，
∴点D的坐标为（3，1）．
（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．
当双曲线过点D时，k＝3×1＝3；
当双曲线过点C时，k＝2×3＝6，
∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6．
23．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AC延长线上一定点．
（1）用直尺和圆规在边BC的延长线上求作一点P，使得∠CDP＝∠A（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，连接BD、AP，若AC＝CD，猜想四边形ABDP是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．
【分析】（1）作∠CDP＝∠CPD即可．
（2）四边形ABDP是平行四边形．证明BC＝CP，AC＝CD即可．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求作．
（2）四边形ABDP是菱形．
理由：在△ACB和△DCP中，
，
∴△ACB≌△DCP（AAS），
∴BC＝PC，
∵AC＝CD，
∴四边形ABDP是平行四边形，
∵AD⊥PB，
∴四边形ABDP是菱形．
24．（14分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．
（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．
（i）求EN•EG的值；
（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上
【分析】（1）先证四边形AEDF是平行四边形，再证AE＝DE，即可得出四边形AEDF是菱形；
（2）（i）连接EF交AD于点Q，证△AEG≌△EFH（SAS），得出∠AEG＝∠EFH，证∠ENH＝∠EAG，证明△AEG∽△NEH，得出＝，即可得出结论；
（ii）连接FM'，证△EDM≌△FDM'，得出∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，得出∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，证出∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝180°，即可得出结论．
【解答】（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：
∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，
∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵AD＝4，
∴AQ＝2，
在Rt△AQE中，cs∠EAQ＝，即cs30°＝，
∴AE＝＝＝4，
∴AE＝AF＝EF＝4，
在△AEG和△EFH中，，
∴△AEG≌△EFH（SAS），
∴∠AEG＝∠EFH，
∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，
∴∠ENH＝∠EAG，
∵∠AEG＝∠NEH，
∴△AEG∽△NEH，
∴＝，
∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；
（ii）证明：如图3，连接FM'，
∵DE∥AC，
∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，
由（1）得：△EDF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，
由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，
∴∠EDM＝∠FDM'，
在△EDM和△FDM'中，，
∴△EDM≌△FDM'（SAS），
∴∠MED＝∠DFM'，
由（i）知，∠AEG＝∠EFH，
∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，
∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，
∴H，F，M′三点在同一条直线上．
25．（14分）A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）
（1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；
（2）若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；
（3）当B，C重合时，求的值；
（4）当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．
【分析】（1）把两抛物解析式联立方程组，求得的解（含a、t的式子）即为点B坐标．
（2）由于A向上移动时，点B也向上移动，即点B纵坐标的值随点A纵坐标的值变大而变大，所以yB＝随着t的增大而增大，把yB看作关于t的二次函数，可知当a＜0时开口向下，故在对称轴左侧即t＜﹣a，yB随着t的增大而增大，利用不等式性质即求得≥﹣1且≠1．
（3）以点A、B坐标用待定系数法求直线AB解析式，在把直线AB和抛物线y2联立方程组另一交点C的坐标．
（4）把x＝1代入y2＝ax2求得点D坐标，发现点C、D纵坐标相等，即CD∥x轴，CD＝2，所以△BCD面积等于CD与点B到CD距离乘积的一半．又点B到CD距离即点B与点C纵坐标之差，需分类讨论再结合a＜0计算．
【解答】解：（1）∵，
解得：．
∴点B坐标为（，）；
（2）∵点A（1，t）向上移动，点B（，）也向上移动
∴yB＝随着t的增大而增大
∵yB＝可看作是yB关于t的二次函数
∴当a＜0时，此二次函数的图象开口向下，在t＝﹣a时取得最大值为0
∴t≤﹣a，yB随着t的增大而增大
∴≥﹣1且≠1；
（3）设直线AB解析式为y＝kx+b
∴，解得：，
∴直线AB：y＝x+，
∵，解得：，（即点B）．
∴直线AB和抛物线y2＝ax2另一交点C（﹣1，a），
∵B，C重合，
∴，
∴a+t＝﹣2a，
∴3a＝﹣t，
∴＝﹣3；
（4）∵直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D
∴D（1，a）
∴CD∥x轴，CD＝2
∴S△BCD＝CD•|yB﹣yC|＝|﹣a|＝3a
①当﹣a＞0时，﹣a＝3a
整理得：15a2﹣2at﹣t2＝0
∴（5a+t）（3a﹣t）＝0
∴t＝﹣5a或t＝3a
∴＝﹣5或＝3
②当﹣a＜0时，﹣+a＝3a
整理得：﹣（a+t）2＝8a2
∵a＞0
∴此式子不成立
综上所述，的值为﹣5或3．
直径（cm）
25
38
48
55
60
销量/件
22
18
30
13
7
等级
成绩n/分
频数
A
94.5＜n≤100
2
89.5＜n＜94.5
B
84.5＜n＜89.5
6
79.5＜n＜84.5
14
C
74.5＜n＜79.5
16
69.5＜n＜74.5
D
64.5＜n＜69.5
3
59.5＜n＜64.5
2
直径（cm）
25
38
48
55
60
销量/件
22
18
30
13
7
等级
成绩n/分
频数
A
94.5＜n≤100
2
89.5＜n＜94.5
B
84.5＜n＜89.5
6
79.5＜n＜84.5
14
C
74.5＜n＜79.5
16
69.5＜n＜74.5
D
64.5＜n＜69.5
3
59.5＜n＜64.5
2