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2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学模拟试卷（一）
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这是一份2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学模拟试卷（一），共24页。
2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学模拟试卷（一）
一．选择题。本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来每小题选对得3分选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．20＝0 B．2﹣1＝﹣2 C．（a3）2＝a6 D．2a+3a＝6a
2．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（3分）设a＝+2．则（ ）
A．2＜a＜3 B．3＜a＜4 C．4＜a＜5 D．5＜a＜6
4．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第四天走的路程为（ ）
A．96里 B．48里 C．24里 D．12里
6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
7．（3分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
8．（3分）对于非零实数a、b，规定a⊗b＝．若2⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
9．（3分）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
10．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
12．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（ ）
A． B． C．6 D．
二、填空题（共6小题）
13．若m﹣＝3，则m2+＝ ．
14．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 种．
15．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
16．如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为 ．（结果保留π）
17．如图，反比例函数y＝与一次函数y＝x﹣2在第三象限交于点A，点B的坐标为（﹣3，0），点P是y轴左侧的一点，若以A，O，B，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点P为CD边的中点，把矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点B落在点G处，则折痕EF的长为 ．
三、解答题（共7小题）
19．先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
20．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．
21．为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，盂县某中学随机抽取了部分学生进行调查，要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果，现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果是“一个优秀，一个良好”的概率．
22．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+3与过点A（﹣3，0）的直线l2交于点P（﹣1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交直线l1于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
24．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点 D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，且CD＝3，试求阴影部分的面积．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题。本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来每小题选对得3分选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．20＝0 B．2﹣1＝﹣2 C．（a3）2＝a6 D．2a+3a＝6a
【分析】利用0指数幂，负整数指数幂，幂的乘方，合并同类项法则运算即可．
【解答】解：A.20＝1，故此选项错误；
B.2﹣1＝，故此选项错误；
C．（a3）2＝a6，故此选项正确；
D.2a+3a＝5a，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝140°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°．
故选：B．
3．（3分）设a＝+2．则（ ）
A．2＜a＜3 B．3＜a＜4 C．4＜a＜5 D．5＜a＜6
【分析】直接得出2＜＜3，进而得出+2的取值范围．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴4＜+2＜5，
∴4＜a＜5．
故选：C．
4．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接通分运算，进而利用分式的性质计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝．
故选：A．
5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第四天走的路程为（ ）
A．96里 B．48里 C．24里 D．12里
【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，第四天走的路程为4x里，依次往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程和为378里，求得x，即可得出第四天的路程．
【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，第四天走的路程为4x里，
依次往前推，第一天走的路程为32x里，
根据题意得，x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，
解得，x＝6，
∴第四天走的路程为：4x＝4×6＝24（里），
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
【分析】在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为11．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
7．（3分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据b2﹣4ac＝1+8+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣2﹣p2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
8．（3分）对于非零实数a、b，规定a⊗b＝．若2⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2⊗（2x﹣1）＝﹣＝1，
去分母得：2﹣（2x﹣1）＝4x﹣2，
去括号得：2﹣2x+1＝4x﹣2，
移项合并得：6x＝5，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故选：A．
9．（3分）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【解答】解：（2a）2﹣（a+2）2
＝4a2﹣a2﹣4a﹣4
＝3a2﹣4a﹣4，
故选：C．
10．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．
【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，
∴∠CHB＝90°，
∵点M是BC的中点．
∴MH＝BC，
∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，
∴MH的最大值为3，
故选：A．
11．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：D．
12．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（ ）
A． B． C．6 D．
【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长，即可求出MN的长．
【解答】解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴CF＝＝＝13，
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝CF＝，
故选：B．
二、填空题（共6小题）
13．若m﹣＝3，则m2+＝ 11 ．
【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝m2﹣2+＝9，
∴m2+＝11，
故答案为11．
14．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 3 种．
【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．
【解答】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，
故涂法有3种，
故答案为：3．
15．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】解：∵袋子中共有5+1＝6个小球，其中红球有5个，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于，
故答案为：．
16．如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为 24π ．（结果保留π）
【分析】根据三视图正视图以及左视图都为矩形，底面是圆形，则可想象出这是一个圆柱体．表面积＝侧面积+底面积×2．
【解答】解：∵圆柱的直径为4，高为4，
∴表面积＝2π×（×4）×4+π×（×4）2×2＝24π．
故答案为：24π．
17．如图，反比例函数y＝与一次函数y＝x﹣2在第三象限交于点A，点B的坐标为（﹣3，0），点P是y轴左侧的一点，若以A，O，B，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 （﹣4，﹣3），（﹣2，3） ．
【分析】联立直线和反比例函数解析式可求出A点的坐标，再分以AB为对角线、以OA为对角线和以OB为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点的坐标．
【解答】解：由题意得，解得或，
∵反比例函数y＝与一次函数y＝x﹣2在第三象限交于点A，
∴A（﹣1，﹣3）．
当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（﹣2，﹣1.5），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴M为OP中点，
设P点坐标为（x，y），
则＝﹣2，＝﹣1.5，
解得x＝﹣4，y＝﹣3，
∴P（﹣4，﹣3）．
当OB为对角线时，
由O、B坐标可求得OB的中点坐标M（﹣，0），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为AP的中点，
结合中点坐标公式可得＝﹣，＝0，解得x＝﹣2，y＝3，
∴P（﹣2，3）；
当以OA为对角线时，
由O、A坐标可求得OA的中点坐标M（﹣，﹣），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为BP中点，
结合中点坐标公式可得＝﹣，＝﹣，解得x＝2，y＝﹣3，
∴P（2，﹣3）（舍去）．
综上所述，P点的坐标为（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
故答案为：（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点P为CD边的中点，把矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点B落在点G处，则折痕EF的长为 ．
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，根据矩形的性质，由P为DC的中点得到DP＝5，由于EF垂直平分AP，得出∠1＝∠3，再根据相似三角形的判定易得△ADP∽△EMF，即可计算出FM的长，进而利用勾股定理求出EF的长．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，
∵把矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点B落在点G处，
∴∠1＝∠4，∠1+∠2＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵∠EMF＝90°，∠D＝90°，
∴△ADP∽△EMF，
∴＝，
∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点P为CD边的中点，
∴AD＝12，DP＝5，
∴＝，
解得：FM＝，
∵EM＝AB＝10，
∴EF＝＝．
故答案为：．
三、解答题（共7小题）
19．先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，将最后结果变形为2（a2+2a），再由已知等式变形得出a2+2a＝3，继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝2a（a+2）
＝2a2+4a，
∵a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
则原式＝2（a2+2a）＝2×3＝6．
20．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．
【分析】（1）利用网格结构，过点A的竖直线与过点B的水平线相交于点C，连接即可，或过点A的水平线与过点B的竖直线相交于点C，连接即可；
（2）根据网格结构，作出BD＝AB或AB＝AD，连接即可得解．
【解答】解：（1）如图1，①、②，画一个即可；
（2）如图2，①、②，画一个即可．
21．为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，盂县某中学随机抽取了部分学生进行调查，要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果，现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 200 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果是“一个优秀，一个良好”的概率．
【分析】（1）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去其它学习效果的人数，求出不合格的人数，再补全统计图；用360°乘以学习效果“一般”的学生所占的百分比即可得出圆心角度数；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数与抽取的2人学习效果是“一个优秀，一个良好”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），补全条形统计图如下：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果是“一个优秀、一个良好”的结果有4个，
则抽取的2人学习效果是“一个优秀、一个良好”的概率＝＝．
22．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50cm，
∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34cm，
∴BC＝2BH＝68cm．
（2）在Rt△ABH中，
∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5cm，
∴36.5＞30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+3与过点A（﹣3，0）的直线l2交于点P（﹣1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交直线l1于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【分析】（1）把点P的坐标代入y＝﹣x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+3与直线l2交于点P（﹣1，m），
∴m＝﹣（﹣1）+3＝4，
即P（﹣1，4），
又∵l2过点A（﹣3，0）和点P（﹣1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线l2的解析式为y＝2x+6；
（2）在y＝﹣x+3中，令y＝0，得x＝3，
∴B（3，0），
AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，2a+6），
由MN∥y轴，得N（a，﹣a+3），
MN＝|（2a+6）﹣（﹣a+3）|＝AB＝6，
即：3a+3＝6或3a+3＝﹣6，
解得a＝1或a＝﹣3，
∴M（1，8）或（﹣3，0）．
24．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点 D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，且CD＝3，试求阴影部分的面积．
【分析】（1）证明DO∥AB，即可求解；
（2）证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
【解答】解：（1）连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，
∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵∠C＝30°，CD＝3，
∴OD＝CD•tan30°＝3×＝3，
∵∠DAB＝∠DAE＝30°，
∴＝，
∵∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠FOA＝60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DF∥AC，
∴S阴影＝S扇形DFO＝＝．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，
∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴＝，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，
∴BG＝6﹣x，
∴＝，
当点F在x轴上方时，有＝，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；
当点F在x轴下方时，有＝﹣，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；
综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上，
∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．
2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学模拟试卷（一）
一．选择题。本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来每小题选对得3分选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．20＝0 B．2﹣1＝﹣2 C．（a3）2＝a6 D．2a+3a＝6a
2．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（3分）设a＝+2．则（ ）
A．2＜a＜3 B．3＜a＜4 C．4＜a＜5 D．5＜a＜6
4．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第四天走的路程为（ ）
A．96里 B．48里 C．24里 D．12里
6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
7．（3分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
8．（3分）对于非零实数a、b，规定a⊗b＝．若2⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
9．（3分）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
10．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
12．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（ ）
A． B． C．6 D．
二、填空题（共6小题）
13．若m﹣＝3，则m2+＝ ．
14．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 种．
15．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
16．如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为 ．（结果保留π）
17．如图，反比例函数y＝与一次函数y＝x﹣2在第三象限交于点A，点B的坐标为（﹣3，0），点P是y轴左侧的一点，若以A，O，B，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点P为CD边的中点，把矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点B落在点G处，则折痕EF的长为 ．
三、解答题（共7小题）
19．先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
20．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．
21．为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，盂县某中学随机抽取了部分学生进行调查，要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果，现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果是“一个优秀，一个良好”的概率．
22．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+3与过点A（﹣3，0）的直线l2交于点P（﹣1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交直线l1于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
24．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点 D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，且CD＝3，试求阴影部分的面积．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题。本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来每小题选对得3分选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．20＝0 B．2﹣1＝﹣2 C．（a3）2＝a6 D．2a+3a＝6a
【分析】利用0指数幂，负整数指数幂，幂的乘方，合并同类项法则运算即可．
【解答】解：A.20＝1，故此选项错误；
B.2﹣1＝，故此选项错误；
C．（a3）2＝a6，故此选项正确；
D.2a+3a＝5a，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝140°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°．
故选：B．
3．（3分）设a＝+2．则（ ）
A．2＜a＜3 B．3＜a＜4 C．4＜a＜5 D．5＜a＜6
【分析】直接得出2＜＜3，进而得出+2的取值范围．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴4＜+2＜5，
∴4＜a＜5．
故选：C．
4．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接通分运算，进而利用分式的性质计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝．
故选：A．
5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第四天走的路程为（ ）
A．96里 B．48里 C．24里 D．12里
【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，第四天走的路程为4x里，依次往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程和为378里，求得x，即可得出第四天的路程．
【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，第四天走的路程为4x里，
依次往前推，第一天走的路程为32x里，
根据题意得，x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，
解得，x＝6，
∴第四天走的路程为：4x＝4×6＝24（里），
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
【分析】在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为11．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
7．（3分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据b2﹣4ac＝1+8+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣2﹣p2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
8．（3分）对于非零实数a、b，规定a⊗b＝．若2⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2⊗（2x﹣1）＝﹣＝1，
去分母得：2﹣（2x﹣1）＝4x﹣2，
去括号得：2﹣2x+1＝4x﹣2，
移项合并得：6x＝5，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故选：A．
9．（3分）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【解答】解：（2a）2﹣（a+2）2
＝4a2﹣a2﹣4a﹣4
＝3a2﹣4a﹣4，
故选：C．
10．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．
【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，
∴∠CHB＝90°，
∵点M是BC的中点．
∴MH＝BC，
∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，
∴MH的最大值为3，
故选：A．
11．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：D．
12．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（ ）
A． B． C．6 D．
【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长，即可求出MN的长．
【解答】解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴CF＝＝＝13，
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝CF＝，
故选：B．
二、填空题（共6小题）
13．若m﹣＝3，则m2+＝ 11 ．
【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝m2﹣2+＝9，
∴m2+＝11，
故答案为11．
14．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 3 种．
【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．
【解答】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，
故涂法有3种，
故答案为：3．
15．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】解：∵袋子中共有5+1＝6个小球，其中红球有5个，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于，
故答案为：．
16．如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为 24π ．（结果保留π）
【分析】根据三视图正视图以及左视图都为矩形，底面是圆形，则可想象出这是一个圆柱体．表面积＝侧面积+底面积×2．
【解答】解：∵圆柱的直径为4，高为4，
∴表面积＝2π×（×4）×4+π×（×4）2×2＝24π．
故答案为：24π．
17．如图，反比例函数y＝与一次函数y＝x﹣2在第三象限交于点A，点B的坐标为（﹣3，0），点P是y轴左侧的一点，若以A，O，B，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 （﹣4，﹣3），（﹣2，3） ．
【分析】联立直线和反比例函数解析式可求出A点的坐标，再分以AB为对角线、以OA为对角线和以OB为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点的坐标．
【解答】解：由题意得，解得或，
∵反比例函数y＝与一次函数y＝x﹣2在第三象限交于点A，
∴A（﹣1，﹣3）．
当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（﹣2，﹣1.5），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴M为OP中点，
设P点坐标为（x，y），
则＝﹣2，＝﹣1.5，
解得x＝﹣4，y＝﹣3，
∴P（﹣4，﹣3）．
当OB为对角线时，
由O、B坐标可求得OB的中点坐标M（﹣，0），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为AP的中点，
结合中点坐标公式可得＝﹣，＝0，解得x＝﹣2，y＝3，
∴P（﹣2，3）；
当以OA为对角线时，
由O、A坐标可求得OA的中点坐标M（﹣，﹣），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为BP中点，
结合中点坐标公式可得＝﹣，＝﹣，解得x＝2，y＝﹣3，
∴P（2，﹣3）（舍去）．
综上所述，P点的坐标为（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
故答案为：（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点P为CD边的中点，把矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点B落在点G处，则折痕EF的长为 ．
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，根据矩形的性质，由P为DC的中点得到DP＝5，由于EF垂直平分AP，得出∠1＝∠3，再根据相似三角形的判定易得△ADP∽△EMF，即可计算出FM的长，进而利用勾股定理求出EF的长．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，
∵把矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点B落在点G处，
∴∠1＝∠4，∠1+∠2＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵∠EMF＝90°，∠D＝90°，
∴△ADP∽△EMF，
∴＝，
∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点P为CD边的中点，
∴AD＝12，DP＝5，
∴＝，
解得：FM＝，
∵EM＝AB＝10，
∴EF＝＝．
故答案为：．
三、解答题（共7小题）
19．先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，将最后结果变形为2（a2+2a），再由已知等式变形得出a2+2a＝3，继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝2a（a+2）
＝2a2+4a，
∵a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
则原式＝2（a2+2a）＝2×3＝6．
20．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．
【分析】（1）利用网格结构，过点A的竖直线与过点B的水平线相交于点C，连接即可，或过点A的水平线与过点B的竖直线相交于点C，连接即可；
（2）根据网格结构，作出BD＝AB或AB＝AD，连接即可得解．
【解答】解：（1）如图1，①、②，画一个即可；
（2）如图2，①、②，画一个即可．
21．为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，盂县某中学随机抽取了部分学生进行调查，要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果，现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 200 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果是“一个优秀，一个良好”的概率．
【分析】（1）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去其它学习效果的人数，求出不合格的人数，再补全统计图；用360°乘以学习效果“一般”的学生所占的百分比即可得出圆心角度数；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数与抽取的2人学习效果是“一个优秀，一个良好”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），补全条形统计图如下：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果是“一个优秀、一个良好”的结果有4个，
则抽取的2人学习效果是“一个优秀、一个良好”的概率＝＝．
22．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50cm，
∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34cm，
∴BC＝2BH＝68cm．
（2）在Rt△ABH中，
∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5cm，
∴36.5＞30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+3与过点A（﹣3，0）的直线l2交于点P（﹣1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交直线l1于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【分析】（1）把点P的坐标代入y＝﹣x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+3与直线l2交于点P（﹣1，m），
∴m＝﹣（﹣1）+3＝4，
即P（﹣1，4），
又∵l2过点A（﹣3，0）和点P（﹣1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线l2的解析式为y＝2x+6；
（2）在y＝﹣x+3中，令y＝0，得x＝3，
∴B（3，0），
AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，2a+6），
由MN∥y轴，得N（a，﹣a+3），
MN＝|（2a+6）﹣（﹣a+3）|＝AB＝6，
即：3a+3＝6或3a+3＝﹣6，
解得a＝1或a＝﹣3，
∴M（1，8）或（﹣3，0）．
24．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点 D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，且CD＝3，试求阴影部分的面积．
【分析】（1）证明DO∥AB，即可求解；
（2）证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
【解答】解：（1）连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，
∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵∠C＝30°，CD＝3，
∴OD＝CD•tan30°＝3×＝3，
∵∠DAB＝∠DAE＝30°，
∴＝，
∵∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠FOA＝60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DF∥AC，
∴S阴影＝S扇形DFO＝＝．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，
∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴＝，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，
∴BG＝6﹣x，
∴＝，
当点F在x轴上方时，有＝，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；
当点F在x轴下方时，有＝﹣，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；
综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上，
∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．
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