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高考数学一轮复习 第10章 第2节 古典概型
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这是一份高考数学一轮复习 第10章 第2节 古典概型，共14页。
第二节 古典概型
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[考纲传真] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为( )
①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；
③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；
④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．
A．0 B．1
C．2 D．3
B [由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]
3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B.
C. D.
C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.]
4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B.
C. D.
C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.]
5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．
而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．
所以所求概率P＝＝.]
简单古典概型的概率
(1)(2017·佛山质检)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A．0.4 B．0.6
C．0.8 D．1
(2)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C. D.
(1)B (2)C [(1)记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为＝0.6.
(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.]
[规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.
2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．
[变式训练1] (1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) 【导学号：31222397】
A. B.
C. D.
(2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
(1)C (2) [(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．
所以所求事件的概率P＝1－＝.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.]
复杂古典概型的概率
(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图1021所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
图1021
[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.3分
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.5分
(2)记“xy≥8”为事件B，“3
事件C包含的基本事件数共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).10分
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.12分
[规律方法] 1.本题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把基本事件列举出来；(2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．
2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
[变式训练2] (2017·潍坊质检)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
[解] (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，2分
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.5分
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个.8分
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个.10分
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.12分
古典概型与统计的综合应用
(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53
76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64
82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
图1022
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率. 【导学号：31222398】
[解] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：
2分
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.5分
(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，且C＝CB1CA1＋CB2CA2.
∴P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)
＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).8分
又根据茎叶图知P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝.10分
因此P(C)＝×＋×＝＝0.48.12分
[规律方法] 1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识．
2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．
[变式训练3] 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
＝，2分
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.5分
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2} ，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2 ，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3 ，C2}，{C1，C2}，共15个.8分
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.10分
所以这2件商品来自相同地区的概率P(D)＝.12分
[思想与方法]
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2．确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；
(2)列表法、树状图法．
3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算．
[易错与防范]
古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．
课时分层训练(六十二) 古典概型
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2014·全国卷Ⅰ改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
C [设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．
因此2本数学书相邻的概率P＝＝.]
2．(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
B [设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝＝.]
3．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为( )
A. B.
C. D.
B [点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.]
4．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) 【导学号：31222399】
A. B.
C. D.
D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，
∴所求概率为1－＝.]
5．(2017·威海模拟)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )
A. B.
C. D.
A [由题意知，向量m共有4×3＝12个，
由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率P＝＝.]
二、填空题
6．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．
[基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为2，故所求概率为P＝＝.]
7．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝＝.]
8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
[记“两人都中奖”为事件A，
设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝＝.]
三、解答题
9．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
[解] (1)所有可能的摸出结果是
{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．
10．(2017·天津河西联考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
[解] (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.5分
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种.8分
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·安徽马鞍山模拟)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为( )
A. B.
C. D.
A [先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．
以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为＝.]
2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________．
[由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．
故所求事件的概率P＝＝.]
3．先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a，b.事件A：点(a，b)落在圆x2＋y2＝12内；事件B：f(a)＜0，其中函数f(x)＝x2－2x＋.
(1)求事件A发生的概率；
(2)求事件A，B同时发生的概率．
[解] (1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有6×6＝36种等可能的结果．
满足落在圆x2＋y2＝12内的点(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个．
所以事件A发生的概率P(A)＝＝.5分
(2)由f(a)＝a2－2a＋＜0，得＜a＜.
又a∈{1,2,3,4,5,6}，知a＝1.所以事件A，B同时发生时，有(1,1)，(1,2)，(1,3)共3种情形.10分
故事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝.12分
第二节 古典概型
————————————————————————————————
[考纲传真] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为( )
①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；
③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；
④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．
A．0 B．1
C．2 D．3
B [由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]
3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B.
C. D.
C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.]
4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B.
C. D.
C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.]
5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．
而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．
所以所求概率P＝＝.]
简单古典概型的概率
(1)(2017·佛山质检)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A．0.4 B．0.6
C．0.8 D．1
(2)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C. D.
(1)B (2)C [(1)记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为＝0.6.
(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.]
[规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.
2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．
[变式训练1] (1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) 【导学号：31222397】
A. B.
C. D.
(2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
(1)C (2) [(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．
所以所求事件的概率P＝1－＝.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.]
复杂古典概型的概率
(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图1021所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
图1021
[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.3分
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.5分
(2)记“xy≥8”为事件B，“3
事件C包含的基本事件数共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).10分
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.12分
[规律方法] 1.本题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把基本事件列举出来；(2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．
2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
[变式训练2] (2017·潍坊质检)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
[解] (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，2分
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.5分
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个.8分
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个.10分
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.12分
古典概型与统计的综合应用
(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53
76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64
82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
图1022
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率. 【导学号：31222398】
[解] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：
2分
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.5分
(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，且C＝CB1CA1＋CB2CA2.
∴P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)
＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).8分
又根据茎叶图知P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝.10分
因此P(C)＝×＋×＝＝0.48.12分
[规律方法] 1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识．
2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．
[变式训练3] 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
＝，2分
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.5分
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2} ，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2 ，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3 ，C2}，{C1，C2}，共15个.8分
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.10分
所以这2件商品来自相同地区的概率P(D)＝.12分
[思想与方法]
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2．确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；
(2)列表法、树状图法．
3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算．
[易错与防范]
古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．
课时分层训练(六十二) 古典概型
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2014·全国卷Ⅰ改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
C [设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．
因此2本数学书相邻的概率P＝＝.]
2．(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
B [设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝＝.]
3．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为( )
A. B.
C. D.
B [点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.]
4．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) 【导学号：31222399】
A. B.
C. D.
D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，
∴所求概率为1－＝.]
5．(2017·威海模拟)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )
A. B.
C. D.
A [由题意知，向量m共有4×3＝12个，
由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率P＝＝.]
二、填空题
6．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．
[基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为2，故所求概率为P＝＝.]
7．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝＝.]
8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
[记“两人都中奖”为事件A，
设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝＝.]
三、解答题
9．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
[解] (1)所有可能的摸出结果是
{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．
10．(2017·天津河西联考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
[解] (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.5分
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种.8分
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·安徽马鞍山模拟)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为( )
A. B.
C. D.
A [先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．
以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为＝.]
2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________．
[由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．
故所求事件的概率P＝＝.]
3．先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a，b.事件A：点(a，b)落在圆x2＋y2＝12内；事件B：f(a)＜0，其中函数f(x)＝x2－2x＋.
(1)求事件A发生的概率；
(2)求事件A，B同时发生的概率．
[解] (1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有6×6＝36种等可能的结果．
满足落在圆x2＋y2＝12内的点(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个．
所以事件A发生的概率P(A)＝＝.5分
(2)由f(a)＝a2－2a＋＜0，得＜a＜.
又a∈{1,2,3,4,5,6}，知a＝1.所以事件A，B同时发生时，有(1,1)，(1,2)，(1,3)共3种情形.10分
故事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝.12分
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