2021年湖南省娄底市中考数学仿真试卷 word，解析版

这是一份2021年湖南省娄底市中考数学仿真试卷 word，解析版，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2020的倒数是（ ）
A．﹣2020B．﹣C．2020D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a5+a5＝a10C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a6
3．（3分）如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．45°B．35°C．55°D．125°
4．（3分）一组数据3，5，3，7，7，14，3，众数、平均数分别是（ ）
A．3、6B．3、5C．5、6D．3、7
5．（3分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）2020年2月11日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30多个国家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只；每平方公里的蝗虫，每天可以吃掉35000人份粮食作物．4000亿用科学记数法表示为（ ）
A．4×103B．4×107亿C．4×1010D．4×1011
7．（3分）一个正多边形的一个内角减去其外角为120°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
8．（3分）已知反比例函数y＝（k≠0）过点A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1＜aB．﹣1＜a＜0C．a＜1D．0＜a＜1
9．（3分）如图，P是y轴正半轴上一点，过点P作y轴垂线，分别交反比例函数y＝和y＝的图象于点A，B，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（ ）
A．﹣4954B．4954C．﹣4953D．4953
11．（3分）按照如图所示的流程，若输出的M＝﹣6，则输入的m为（ ）
A．3B．1C．0D．﹣1
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如果关于x的方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为 ．
14．（3分）在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为 ．
15．（3分）已知（b≠0），则的值为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠B＝140°，则弧AC的长为 ．
17．（3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 （结果保留π）
18．（3分）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（8分）计算：2sin45°+tan60°+2cs30°﹣．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x是|x|＜2的整数．
21．（10分）为了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“我最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查，用“A”，表示小说类书籍，“B”表示文学类书籍，“C”表示传记类书籍，“D”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 名学生．
（2）请补全条形统计图；扇形统计图中表示“B”的扇形圆心角为 度．
（3）该班有40人，请通过计算估计这个班喜欢传记类书籍的大约有多少人？
22．（8分）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长，坡度i＝9：5．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？
23．（8分）小赵为班级购买笔记本作为晚会上的奖品．回来时向生活委员交账说：“一共买了36本，有两种规格，单价分别为1.8元和2.6元．去时我领了100元，现在找回27.6元．”生活委员算了一下，认为小赵搞错了．
（1）请你用方程的知识说明小赵为什么搞错了．
（2）小赵一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里的零用钱一起当做找回的钱给了生活委员．如果设购买单价为1.8元的笔记本a本，试用含a的代数式表示小赵零用钱的数目： 元．
（3）如果小赵的零用钱数目是整数，且少于3元，试求出小赵零用钱的数目．
24．（8分）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，连接GE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若tan∠G＝，BE＝4，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求AP的长．
26．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请求出点G的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QEB与△PEB的面积相等，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2021年湖南省娄底市中考数学仿真试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2020的倒数是（ ）
A．﹣2020B．﹣C．2020D．
【分析】根据倒数的概念解答．
【解答】解：﹣2020的倒数是﹣，
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a5+a5＝a10C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a6
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，逐一检验．
【解答】解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，本选项错误；
B、a5+a5＝2a5，本选项错误；
C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，本选项错误；
D、（a3）2＝a6，本选项正确；
故选：D．
3．（3分）如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．45°B．35°C．55°D．125°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再根据平角定义可得计算出∠3+∠2＝90°，然后可算出∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵∠3+∠2+90°＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
4．（3分）一组数据3，5，3，7，7，14，3，众数、平均数分别是（ ）
A．3、6B．3、5C．5、6D．3、7
【分析】根据众数和平均数的概念求解．
【解答】解：这组数据中3出现的次数最多，故3为众数，
平均数为：＝6．
故选：A．
5．（3分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）2020年2月11日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30多个国家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只；每平方公里的蝗虫，每天可以吃掉35000人份粮食作物．4000亿用科学记数法表示为（ ）
A．4×103B．4×107亿C．4×1010D．4×1011
【分析】把4000亿写成4000 0000 0000，再记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数的形式．
【解答】解：4000亿＝4000 0000 0000＝4×1011，
故选：D．
7．（3分）一个正多边形的一个内角减去其外角为120°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
【分析】首先设内角为x°，则其外角为（x﹣120）°，根据内角与其相邻外角和为180°，可得方程x+（x﹣120）＝180，计算出x的值，进而可得外角的度数，然后可得多边形的边数．
【解答】解：设内角为x°，则其外角为（x﹣120）°，由题意得：
x+（x﹣120）＝180，
解得：x＝150，
则其外角为150°﹣120°＝30°，
这个正多边形的边数为：360°÷30°＝12．
故选：D．
8．（3分）已知反比例函数y＝（k≠0）过点A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1＜aB．﹣1＜a＜0C．a＜1D．0＜a＜1
【分析】根据反比例函数图象所经过的象限和函数的增减性解答．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）中的k2＞0，
∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵y2＞y1，a+1＞a，
∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，
∴，
解得﹣1＜a＜0．
故选：B．
9．（3分）如图，P是y轴正半轴上一点，过点P作y轴垂线，分别交反比例函数y＝和y＝的图象于点A，B，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设A点坐标为（a，y），则B点坐标为（b，y），根据纵坐标相同，列出等式，即可求出的值．
【解答】解：设A点坐标为（a，y），则B点坐标为（b，y），
∴AP＝a，BP＝﹣b，
∵，
∴＝，即＝﹣
把A（a，y），B（b，y）分别代入反比例函数y＝和y＝得，＝，
∴＝＝﹣，
故选：D．
10．（3分）已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（ ）
A．﹣4954B．4954C．﹣4953D．4953
【分析】分析可知第n行有n个数，此行的第一个数的绝对值为+1；且奇数时为正，偶数时为负，先判断第100行第一个数按规律写出第4个数即可．
【解答】解：第1行：1
第2行：﹣2，3
第3行：﹣4，5，﹣6
第4行：7，﹣8，9，﹣10
第5行：11，﹣12，13，﹣14，15
…
∴第n行第一个数为（﹣1）[+1]，
∴第100行4951，﹣4952，4953，﹣4954...．
故选：A．
11．（3分）按照如图所示的流程，若输出的M＝﹣6，则输入的m为（ ）
A．3B．1C．0D．﹣1
【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．
【解答】解：当m2﹣2m≥0时，，解得m＝0，
经检验，m＝0是原方程的解，并且满足m2﹣2m≥0，
当m2﹣2m＜0时，
m﹣3＝﹣6，解得m＝﹣3，不满足m2﹣2m＜0，舍去．
故输入的m为0．
故选：C．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断．
【解答】解：函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故①正确；
函数的对称轴是直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，则b＝2a，2a﹣b＝0，故②正确；
当x＝1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；
则y1和y2的大小无法判断，则④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如果关于x的方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为 ±6 ．
【分析】若一元二次方程有两相等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的等式，求出k的值．
【解答】解：∵方程有两相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣36＝0，
解得k＝±6．
故答案为：±6．
14．（3分）在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为 20 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：设盒子中有红球x个，
由题意可得：＝0.4，
解得：x＝20，
故答案为：20．
15．（3分）已知（b≠0），则的值为 ．
【分析】直接利用已知设a＝2x，b＝3x，进而代入求出答案．
【解答】解：∵（b≠0），
∴设a＝2x，b＝3x，
则的值为：＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠B＝140°，则弧AC的长为 π ．
【分析】连接AO，OC，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝40°，由圆周角定理得到∠AOC＝80°，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：连接AO，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝140°，
∴∠D＝40°，
∴∠AOC＝80°，
∴的长＝＝π，
故答案为π．
17．（3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 2π （结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积展开是一个扇形，扇形所在圆的半径是2，扇形的弧长是2π，然后根据圆锥的侧面积＝rl计算．
【解答】解：根据题意，圆锥的侧面积＝rl＝×2×2π＝2π．
故答案为：2π．
18．（3分）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 x+y＝19 ．
【分析】先由正方形A的边长为，得出SA＝37，再根据勾股定理的几何意义，得到x+10+（8+y）＝SA，由此得出x与y的数量关系．
【解答】解：∵正方形A的边长为，
∴SA＝37，
根据勾股定理的几何意义，得x+10+（8+y）＝SA＝37，
∴x+y＝37﹣18＝19，即x+y＝19．
故答案为x+y＝19．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（8分）计算：2sin45°+tan60°+2cs30°﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式＝2×++2×﹣2
＝．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x是|x|＜2的整数．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据绝对值的性质求出x，代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝；
又x是|x|＜2的整数，
∴x＝﹣1或0或1．
当x＝1时原式无意义．
∴当x＝﹣1时，原式＝﹣1；
当x＝0时，原式＝﹣．
21．（10分）为了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“我最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查，用“A”，表示小说类书籍，“B”表示文学类书籍，“C”表示传记类书籍，“D”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 20 名学生．
（2）请补全条形统计图；扇形统计图中表示“B”的扇形圆心角为 108 度．
（3）该班有40人，请通过计算估计这个班喜欢传记类书籍的大约有多少人？
【分析】（1）根据D的人数除以占的百分比得到调查的总学生数；
（2）求出C的人数，补全条形统计图即可，求出B占的百分比，乘以360即可得到结果；
（3）用C类别人数所占比例乘以全班总人数可得．
【解答】解：（1）根据题意得：4÷20%＝20（人），
故答案为：20；
（2）C的人数为20﹣（7+6+4）＝3（人），
补全条形统计图，如图所示；
扇形统计图中表示“B”的扇形圆心角为×360°＝108°，
故答案为：108；
（3）×40＝6（人），
答：估计这个班喜欢传记类书籍的大约有6人．
22．（8分）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长，坡度i＝9：5．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？
【分析】（1）根据勾股定理和坡度公式可求得BE的长．
（2）由（1）得AE＝12.5，设BF＝xm．作FH⊥AD于H，则＝tan∠FAH．由题意得≤tan45°，解不等式即可求解．
【解答】解：（1）连接AF．
∵i＝．
∴设BE＝9k，AE＝5k．（k为正数）
则在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，AB＝．
∴AB2＝BE2+AE2．（2分）
即（）2＝（9k）2+（5k）2．
解得：k＝．
∴BE＝9×＝22.5（m）．
故改造前坡顶与地面的距离BE的长为22.5米．
（2）由（1）得AE＝12.5，设BF＝xm，作FH⊥AD于H，则＝tan∠FAH．
由题意得≤tan45°．
即x≥10．
∴坡顶B沿BC至少削进10m，才能确保安全．
23．（8分）小赵为班级购买笔记本作为晚会上的奖品．回来时向生活委员交账说：“一共买了36本，有两种规格，单价分别为1.8元和2.6元．去时我领了100元，现在找回27.6元．”生活委员算了一下，认为小赵搞错了．
（1）请你用方程的知识说明小赵为什么搞错了．
（2）小赵一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里的零用钱一起当做找回的钱给了生活委员．如果设购买单价为1.8元的笔记本a本，试用含a的代数式表示小赵零用钱的数目： （21.2﹣0.8a） 元．
（3）如果小赵的零用钱数目是整数，且少于3元，试求出小赵零用钱的数目．
【分析】（1）设小赵购买单价为1.8元的笔记本x本，可得出购买单价为2.6元的笔记本（36﹣x）本，根据购买1.8元的笔记本的钱数+购买2.6元的笔记本钱数＝100﹣27.6列出方程，求出方程的解得到x的值为小数，不合题意，可得出小赵搞错了；
（2）由购买单价为1.8元的笔记本a本，可得出购买单价为2.6元的笔记本（36﹣a）本，表示出购买两种笔记本应花的钱，根据应花的钱﹣（100﹣27.6），即可表示出小赵口袋中的零花钱；
（3）由（2）表示出小赵的零花钱，根据小赵的零用钱数目是整数，且少于3元，列出不等式组，求出不等式解集的正整数解得到a的值，经检验得到满足题意a的值，即为小赵的零用钱数目．
【解答】解：（1）设小赵购买单价为1.8元的笔记本x本，
则购买单价为2.6元的笔记本（36﹣x）本，
∴1.8x+2.6（36﹣x）＝100﹣27.6，
解得：x＝26.5，
因笔记本本数应该为整数，而计算出来的本数为小数，
∴小赵搞错了；
（2）[1.8a+2.6（36﹣a）]﹣（100﹣27.6）＝21.2﹣0.8a；
（3）由题意得：，
解得：22.75＜a＜26.5，
因a取整数，所以a为23或24或25或26，
经检验a＝23或25或26时，21.2﹣0.8a不为整数，
故a＝24，此时21.2﹣0.8a＝2，
所以小赵的零用钱数目为2元．
故答案为：21.2﹣0.8a
24．（8分）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BO＝DO，根据线段垂直平分线性质得出BC＝CD，求出BC＝CE＝CD即可；
（2）根据邻补角互补求出∠ACE＝90°，求出四边形ACED是平行四边形，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
即BE＝2CD；
（2）
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，连接GE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若tan∠G＝，BE＝4，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求AP的长．
【分析】（1）连接OD，根据AD是角平分线，求出∠C＝90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切线；
（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可；
（3）设FG与AE的交点为M，连接AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直径，即O在AE上，
∵AD是角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AC，
∴∠4＝∠EAF，
∵∠G＝∠EAF，
∴∠4＝∠G，
∴tan∠4＝tan∠G＝，
设BD＝4k，则OD＝OE＝3k，
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2＝（3k+4）2，
解得，k1＝2，k2＝（舍），（注：也可由OB＝5k＝3k+4得k＝2），
∴3k＝6，即⊙O的半径为6；
（3）解：连接AG，则∠AGE＝90°，∠EGM＝∠5．
∴tan∠5＝tan∠EGM＝，
即，，
∴，
∴AM＝EM＝（AE﹣AM）
∴AM＝AE＝＝，
∵OD∥AC，
∴，，
即，．
∴AC＝，CD＝，
∵∠1＝∠2，∠ACD＝∠AMP＝90°，
∴△ACD∽△AMP．
∴，
∴PM＝＝．
∴AP＝＝．
26．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请求出点G的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QEB与△PEB的面积相等，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求OF的长，可求点F坐标，可得BF解析式，联立方程组可求点G坐标；
（3）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点Q的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入抛物线解析式
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则顶点P（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴H（1，0），
∴PH＝4，BH＝2，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴点E（1，2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
若点G在直线AB的上方时，
∵PH⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠HEB＝45°，
∴∠PBE+∠BPE＝45°，
∵∠GBA+∠PBE＝45°，
∴∠BPE＝∠GBA，
∴tan∠BPH＝tan∠GBA＝，
∴，
∴OF＝，
∴点F（0，），
∴直线BF解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组可得：，
解得：或，
∴点G的坐标为（﹣，）；
若点G在直线AB的下方时，
由对称性可得：点F'（0，﹣），
∴直线BF解析式为：y＝x﹣，
联立方程组可得：，
解得：或，
∴点G'的坐标为（﹣，﹣），
综上所述：点G的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；
（3）存在，
∵点E（1，2），顶点P（1，4），
∴PE＝2，PH＝4，
∴EH＝2＝PE，
如图2，过点P作PQ∥BC，交抛物线于Q，此时△QEB与△PEB的面积相等，
∵PQ∥BC，点P坐标（1，4），直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴PQ解析式为y＝﹣x+5，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点Q（2，3），
过点H作HQ'∥BC，交抛物线于Q'、Q''，
∴PQ∥BC∥HQ'，
∵PE＝EH，
∴PQ与BC之间的距离＝BC与HQ'之间的距离，
∴△QEB与△PEB的面积相等，
∵HQ'∥BC，点H（1，0），直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴直线Q'H的解析式为：y＝﹣x+1，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点Q的坐标为（，）或（，），
综上所述：点Q的坐标为（2，3）或（，）或（，）．