2021年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（四）

这是一份2021年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（四），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（四）
一、选择题（每小题3分，共30分下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）
1．（3分）|﹣5|的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
2．（3分）2021年的河南春晚火了，在网上搜索关键词“唐宫夜宴“出现相关词条约560万个．用科学记数法将数据“560万”表示为（　　）

A．560×104 B．5.6×106 C．5.6×107 D．0.56×108
3．（3分）如图所示，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形的俯视图，方框内数字为对应位置上的小正方体的个数，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．m6÷m3＝m2 B．（2m2）3＝6m6
C．（m+n）2＝m2+n2 D．（﹣m）3﹣m3＝﹣2m3
5．（3分）在一个暗盒内有3张除颜色不同其他完全相同的卡片，其中红色卡片有2张，蓝色卡片有1张，现在随机抽取一张，放回后摇匀再抽取1张，则两次抽到都是红色卡片的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）某单位招聘大堂经理，考核项目为个人形象、交际能力、专业知识三个项目，且权重之比为2：3：5，应聘者高颖三个方面的得分依次为80，90，80，则她的最终得分为（　　）
A．79 B．83 C．85 D．87
7．（3分）若关于x的一元二次方程（x+1）2﹣ax＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，当x＞1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（　　）
A．m≤ B．m＜﹣ C．m＞ D．m≤
9．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝BC＝4，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD于点E．交CD的延长线于点F，则DF的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3
10．（3分）如图所示，正方形ABCD的边长为4cm．点P是BC的中点，动点M从点D向点A运动，速度为2cm/s．到点A时停止运动；同时，动点N从点P出发沿P→C→D运动，点N的速度为3cm/s．设点M的运动时间为x秒，△DMN的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算﹣（﹣）﹣1＝　 　．
12．（3分）不等式组的解集为　 　．
13．（3分）一副三角板如图所示所置，已知斜边互相平行，则∠1的度数为　 　．

14．（3分）在线段BG上取点C，分别以BC、CG为边在BC的同一侧构造正方形ABCD和正方形ECGF．点P、Q分别是BC、EF的中点．连接PQ，若BG＝8，则线段PQ的最小值为　 　．

15．（3分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，将△ABC绕点C顺时针旋转45°得对应△DEC，若BC＝2，则线段AB扫过的阴影面积为　 　．

三、简答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a为﹣1，0，1，2，3中的一个合适的数字．
17．（9分）如图所示，BC为⊙O的直径．点A为BC上方圆周上一动点，过点O作OF∥AB，分别交AC、圆周于D、G两点，作射线CG交AF于点E．已知∠F＝∠ACO．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）填空：①连接AO、AG，当∠ACO＝　 　时，四边形AOCG是菱形；
②若已知AC＝2AB＝4，则OF＝　 　．

18．（9分）复学之后，某校要求各班必须配备额温枪并全员测温打卡登记，如图所示为依据九（2）班学生5月6日温测数据绘制的不完整统计图表，已知当日温测1次的同学人数占全班人数的12%．请结合以上信息解答下列问题：
（1）九（2）班学生人数为　 　；
（2）温测3次的人数为m，温测4次的人数为n，且m＝2n+1，请补全统计图；
（3）若绘制扇形统计图，温测4次的同学人数所对应扇形的圆心角的度数为　 　．
（4）已知该校共有2200名学生．请你估计该校当日温测不少于3次的人数．

19．（9分）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为53°，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离AC的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°＝）

20．（9分）如图所示，直线y＝3交函数y＝的图象于A、B两点，已知点C坐标为（0，1），直线AC交x轴于点D，连接BD．
（1）将直线AC向上平移m个单位，恰与函数y＝图象的左半支有唯一交点，求m的值；
（2）在线段AD上取点P，使△ABP∽△ADB，求点P的坐标．

21．（10分）某山地车行八月份购进甲，乙两种品牌的山地车共45辆，花费39000元．已知甲、乙两种车型的进价分别为800元和950元，且甲、乙两品牌的单利润分别为100元和150元．
（1）求该车行八月份购进甲、乙两种品牌的山地车各多少辆？
（2）由于行情良好，该车行计划九月份再购进甲、乙品牌山地车60辆，在货款为50000元的情况下，如何进货才能使得八月份销售利润最大？
22．（10分）问题发现
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在BC边上，且BD＝3CD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接DE，BE，则BE+BD的值为　 　．
类比探究
（2）如图2，在（1）的条件下，点P为AB边上的中点，BD＝3CD，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接BE，则BE+BD的值会发生改变吗？请说明你的理由．
拓展延伸
（3）如图3，在钝角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P在边BA的延长线上，BP＝k，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转，旋转角∠EPD＝α，连接DE，则BE+BD＝　 　．（请用含有k，α的式子表示）

23．（11分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）作直线AC，点E为线段AC上一动点，过点E作DE⊥AC，交抛物线于点D，交y轴于点F，请问在点E的移动过程中DE是否存在最大值，如果有，求出此时点D的坐标，如果没有，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点N是x轴上的一个动点，点M是坐标平面内的一点，是否存在这样的点N，使得以D、F、M、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．


2021年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）
1．（3分）|﹣5|的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
【分析】首先化简绝对值，然后根据倒数的定义求解．
【解答】解：∵|﹣5|＝5，5的倒数是，
∴|﹣5|的倒数是．
故选：A．
2．（3分）2021年的河南春晚火了，在网上搜索关键词“唐宫夜宴“出现相关词条约560万个．用科学记数法将数据“560万”表示为（　　）

A．560×104 B．5.6×106 C．5.6×107 D．0.56×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：560万＝5600000＝5.6×106，
故选：B．
3．（3分）如图所示，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形的俯视图，方框内数字为对应位置上的小正方体的个数，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：该几何体的左视图为：．
故选：A．
4．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．m6÷m3＝m2 B．（2m2）3＝6m6
C．（m+n）2＝m2+n2 D．（﹣m）3﹣m3＝﹣2m3
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、原式＝m6﹣3＝m3，故此选项计算错误；
B、原式＝8m6，故此选项计算错误；
C、原式＝m2+2mn+n2，故此选项计算错误；
D、原式＝﹣2m3，故此选项计算正确；
故选：D．
5．（3分）在一个暗盒内有3张除颜色不同其他完全相同的卡片，其中红色卡片有2张，蓝色卡片有1张，现在随机抽取一张，放回后摇匀再抽取1张，则两次抽到都是红色卡片的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数，找出两次抽到都是红色卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中两次抽到都是红色卡片的有4种，
则两次抽到都是红色卡片的概率为．
故选：C．
6．（3分）某单位招聘大堂经理，考核项目为个人形象、交际能力、专业知识三个项目，且权重之比为2：3：5，应聘者高颖三个方面的得分依次为80，90，80，则她的最终得分为（　　）
A．79 B．83 C．85 D．87
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：她的最终得分为＝83（分），
故选：B．
7．（3分）若关于x的一元二次方程（x+1）2﹣ax＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】根据判别式的意义得到△＝（2﹣a）2﹣4＞0，然后解关于a的不等式，最后对各选项进行判断．
【解答】解：方程整理得，x2+（2﹣a）x+1＝0
根据题意得△＝（2﹣a）2﹣4＞0，
解得a＞4或a＜0．
故选：D．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，当x＞1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（　　）
A．m≤ B．m＜﹣ C．m＞ D．m≤
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，
∴对称轴为x＝﹣＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴≤1，解得m≤，
故选：D．
9．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝BC＝4，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD于点E．交CD的延长线于点F，则DF的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】证明CF＝CB＝6，AB＝CD＝4，可得结论．
【解答】解：由作图可知，BF平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD，BC＝6，AB∥CF，
∴∠F＝∠ABE，
∴∠F＝∠CBF，
∴CF＝CB＝6，
∴DF＝CF﹣CD＝6﹣4＝2，
故选：B．
10．（3分）如图所示，正方形ABCD的边长为4cm．点P是BC的中点，动点M从点D向点A运动，速度为2cm/s．到点A时停止运动；同时，动点N从点P出发沿P→C→D运动，点N的速度为3cm/s．设点M的运动时间为x秒，△DMN的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分点N在CP上和点N在CD上两种情况，分别得出y与x的函数关系式进行判断即可．
【解答】解：当点N在CP上时，
∵P为BC的中点，BC＝4cm，
∴CP＝2cm，
∴PN＝3x≤CP，
∴0≤x，
又∵MD＝2x，
∴y＝＝4x（0≤x）；
当点N在CD上时，
3x＞2，
解得x＞，
DN＝DC﹣（3x﹣2）＝6﹣3x，MD＝2x，
∴＝＝﹣3x2+6x（x＞），
当x＝2时，M到达点A，停止运动．
综上所述，能大致刻画y与x的函数关系的图象是选项C．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算﹣（﹣）﹣1＝　5　．
【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+3＝5．
故答案为：5．
12．（3分）不等式组的解集为　≤x＜3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣3＜，得：x＜3，
解不等式1+x≥x+2，得：x≥，
则不等式组的解集为≤x＜3，
故答案为：≤x＜3．
13．（3分）一副三角板如图所示所置，已知斜边互相平行，则∠1的度数为　75°　．

【分析】根据平行线的性质得出∠ACD＝45°，再根据三角板的特点得出∠GCD的度数，然后根据三角形内角和定理得出∠DGC，最后根据对顶角的性质即可得出∠1的度数．
【解答】解：∵两三角板的斜边互相平行，
∴∠EFC＝∠ACD＝45°．
∵∠ACB＝30°，
∴∠GCD＝∠ACD﹣∠ACB＝45°﹣30°＝15°，
又∵∠GDC＝90°，
∴∠DGC＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
∴∠1＝75°．
故答案为：75°．

14．（3分）在线段BG上取点C，分别以BC、CG为边在BC的同一侧构造正方形ABCD和正方形ECGF．点P、Q分别是BC、EF的中点．连接PQ，若BG＝8，则线段PQ的最小值为　4　．

【分析】过点Q作QH⊥BG，交BG于点H，设BC＝x，则CG＝8﹣x，根据P、Q分别是BC、EF的中点求出PH＝4，然后由勾股定理求出PQ2关于x的二次函数式，由二次函数的性质求出PQ2的最小值即可．
【解答】解：过点Q作QH⊥BG，交BG于点H，

设BC＝x，则CG＝8﹣x，
∵四边形ABCD和ECGF是正方形，P、Q分别是BC、EF的中点，且BG＝8，
∴H为CG中点，
∴PH＝4，QH＝CG＝8﹣x，
在Rt△PHQ中，
PQ2＝PH2+QH2＝42+（8﹣x）2＝（x﹣8）2+16≥16，
∴当x＝8时，PQ2有最小值，
及PQmin＝＝4，
∴当点C和点G重合时，PQ最小，最小值为4．
故答案为：4．
15．（3分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，将△ABC绕点C顺时针旋转45°得对应△DEC，若BC＝2，则线段AB扫过的阴影面积为　π　．

【分析】根据阴影部分的面积是：S阴影部分＝S扇形BCE+S△CAD﹣S△ABC﹣S扇形CAD＝S扇形BCE﹣S扇形CAD，分别求得：扇形BCE的面积，S△CDE，S△ABC以及扇形CAD的面积，即可求解．
【解答】解：作AM⊥BC于M，
∵∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，
∴∠CAM＝45°，
∴∠BAM＝60°，
∴MC＝AM，BM＝AM，
∴（1+）AM＝BC＝2，
∴AM＝﹣1，
∴AC＝＝﹣，
∴扇形BCE的面积是＝＝π，S△CDE＝S△ABC＝×2×（﹣1）＝﹣1，S扇形CAD＝•π＝π．
故S阴影部分＝S扇形BCE+S△CAD﹣S△ABC﹣S扇形CAD＝S扇形BCE﹣S扇形CAD＝π﹣π＝π．
故答案为π．

三、简答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a为﹣1，0，1，2，3中的一个合适的数字．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣1，0，1，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1+）÷
＝
＝
＝，
∵a﹣1≠0，a（a﹣3）≠0，（a﹣3）（a+1）≠0，
∴a≠±1，a≠3，a≠0，
∴a＝2，
当a＝2时，原式＝＝2．
17．（9分）如图所示，BC为⊙O的直径．点A为BC上方圆周上一动点，过点O作OF∥AB，分别交AC、圆周于D、G两点，作射线CG交AF于点E．已知∠F＝∠ACO．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）填空：①连接AO、AG，当∠ACO＝　30°　时，四边形AOCG是菱形；
②若已知AC＝2AB＝4，则OF＝　5　．

【分析】（1）连接OA，证明AF⊥OA可得结论．
（2）当∠ACO＝30°时，四边形AOCG是菱形．证明△AOG，△COG都是等边三角形，可得结论．
（3）利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：连接OA．

∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OF∥AB，
∴∠ODC＝∠BAC＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵∠CAO+∠AOD＝90°，∠F＝∠ACO，
∴∠F+∠AOD＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴AF⊥OA，
∴AF是⊙O的切线．

（2）解：①连接AG．当∠ACO＝30°时，四边形AOCG是菱形．
理由：∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝120°，
∵OD⊥AC，
∴∠AOG＝∠COG＝60°，
∵OA＝OG＝OC，
∴△AOG，△COG都是等边三角形，
∴OAG＝CG＝OC，
∴四边形AOCG是菱形．

②解：在Rt△ABC中，AC＝2AB＝4，
∴AB＝2，BC＝＝＝2，
∴OA＝OB＝OC＝，
∵∠F＝∠ACB，∠OAF＝∠BAC＝90°，
∴△ABC∽△AOF，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝5．
故答案为：5．
18．（9分）复学之后，某校要求各班必须配备额温枪并全员测温打卡登记，如图所示为依据九（2）班学生5月6日温测数据绘制的不完整统计图表，已知当日温测1次的同学人数占全班人数的12%．请结合以上信息解答下列问题：
（1）九（2）班学生人数为　50人　；
（2）温测3次的人数为m，温测4次的人数为n，且m＝2n+1，请补全统计图；
（3）若绘制扇形统计图，温测4次的同学人数所对应扇形的圆心角的度数为　50.4°　．
（4）已知该校共有2200名学生．请你估计该校当日温测不少于3次的人数．

【分析】（1）根据温测1次的同学人数和所占的百分比计算即可；
（2）根据样本容量列出方程，解方程求出m、n，补全统计图；
（3）根据在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算；
（4）用样本估计总体．
【解答】解：（1）由统计图可知，温测1次的同学有6人，占占全班人数的12%，
则九（2）班学生人数为：6÷12%＝50（人），
故答案为：50人；
（2）由题意得，6+10+12+m+n＝60，即6+10+12+2n+1+n＝50，
解得，n＝7，则m＝15，
补全统计图如图所示；
（3）温测4次的同学人数所对应扇形的圆心角的度数为：×360°＝50.4°，
故答案为：50.4°；
（4）估计该校当日温测不少于3次的人数为：×2200＝1496（人）．

19．（9分）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为53°，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离AC的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°＝）

【分析】连接DE，先证四边形BCDE是矩形，得BE＝CD，BC＝DE＝23米，再由含30°角的直角三角形的性质得BE＝AB，然后求出AC＝CD，设AB＝x米，则CD＝BE＝x米，AC＝x米，由BC＝AC﹣AB＝23得出方程，解得：x≈17.6，即可求解．
【解答】解：连接DE，如图所示：
由题意得：DE⊥CD，BE⊥AC，DC⊥AC，DE＝23米，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠C＝∠CDE＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD，BC＝DE＝23米，
∵∠AEB＝30°，
∴BE＝AB，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝tan53°＝，
∴AC＝CD，
设AB＝x米，则CD＝BE＝x米，AC＝x米，
∵BC＝AC﹣AB＝23，
∴x﹣x＝23，
解得：x≈17.6，
∴AC＝AB+BC≈17.6+23≈40.6（米），
答：塔帽与地面的距离AC的高度约为40.6米．

20．（9分）如图所示，直线y＝3交函数y＝的图象于A、B两点，已知点C坐标为（0，1），直线AC交x轴于点D，连接BD．
（1）将直线AC向上平移m个单位，恰与函数y＝图象的左半支有唯一交点，求m的值；
（2）在线段AD上取点P，使△ABP∽△ADB，求点P的坐标．

【分析】（1）直线y＝3交函数y＝的图象于A、B两点，求出A，B坐标，将直线AC向上平移m个单位，得到y＝x+1+m，与函数y＝图象的左半支有唯一交点，即可判断出m 的值；
（2）由于△ABP∽△ADB，则AP＝BA•，求出AP，根据P （xA﹣AP，yA﹣AP），即可得出P点的坐标．
【解答】解（1）y＝，
∴与y＝3交点A（2，3）B（﹣2，3），
∵C（0，1），
∴AC为y＝x+1，
向上平移m单位后：y＝x+1+m，
即，在x＜0只有1解，
即 x2+（1+m）x+6＝0 在x＜0只有1解，且x＝0代入得，
02+（1+m）×0+6＞0，即情况不存在，
∴，
∴m＝2﹣1；
（2）D：y＝x+1，y＝0时x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），在坐标轴中如图所示，
若△ABP∽△ADB，
则∠BAP＝∠DAB，
即∠PBA≠∠DBA，
只有∠PBA＝∠BDA，
即△ABP∽△ADB，
∠PBA＝∠BDA，∠BPA＝∠DBA．，
∴AP＝BA•＝＝＝，
∴P （xA﹣AP，yA﹣AP），
即P（2﹣，3﹣），P（﹣，）．
21．（10分）某山地车行八月份购进甲，乙两种品牌的山地车共45辆，花费39000元．已知甲、乙两种车型的进价分别为800元和950元，且甲、乙两品牌的单利润分别为100元和150元．
（1）求该车行八月份购进甲、乙两种品牌的山地车各多少辆？
（2）由于行情良好，该车行计划九月份再购进甲、乙品牌山地车60辆，在货款为50000元的情况下，如何进货才能使得八月份销售利润最大？
【分析】（1）设该车行八月份购进甲种品牌的山地车x辆，购进乙种品牌的山地车y辆，根据“甲，乙两种品牌的山地车共45辆，花费39000元”列出方程组求解即可；
（2）设该车行计划九月份再购进甲种品牌的山地车a辆，则购进乙种品牌的山地车（60﹣a）辆，根据货款为50000元列出不等式求解，再表示出九月份销售利润，利用一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设该车行八月份购进甲种品牌的山地车x辆，购进乙种品牌的山地车y辆，
根据题意得：，
解得：，
答：该车行八月份购进甲种品牌的山地车25辆，购进乙种品牌的山地车20辆；
（2）设该车行计划九月份再购进甲种品牌的山地车a辆，则购进乙种品牌的山地车（60﹣a）辆，
800a+950（60﹣a）≤50000，
解得：a≥，且a是整数，
设九月份销售利润为W元，
W＝100a+150（60﹣a）＝﹣50a+9000，
∵﹣50＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝47时，W最大，W＝﹣50×47+9000＝6650（元），
60﹣47＝13（辆）
答：该车行计划九月份再购进甲种品牌的山地车47辆，则购进乙种品牌的山地车13辆，销售利润最大．
22．（10分）问题发现
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在BC边上，且BD＝3CD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接DE，BE，则BE+BD的值为　4　．
类比探究
（2）如图2，在（1）的条件下，点P为AB边上的中点，BD＝3CD，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接BE，则BE+BD的值会发生改变吗？请说明你的理由．
拓展延伸
（3）如图3，在钝角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P在边BA的延长线上，BP＝k，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转，旋转角∠EPD＝α，连接DE，则BE+BD＝　2k•sin　．（请用含有k，α的式子表示）

【分析】（1）只要证明△BAE≌△CAD，即可解决问题；
（2）如图2中，作DM∥AC交AB于M，过点P作PN∥BC交MD于N．利用（1）中结论即可解决问题；
（3）如图③中，作PH∥AC交BC的延长线于H，作PM⊥BC于M．只要证明△EPB≌△DPH，可证BD+BE＝BH，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

∵∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝DC，
∴BE+BD＝BD+DC＝BC，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
∴BC＝4，
∴BE+BD＝4，
故答案为：4．
（2）BE+BD的值不会发生改变，理由如下：
作DM∥AC交AB于M，过点P作PN∥BC交MD于N，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵MD∥AC，
∴∠BMD＝∠BAC＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴DM＝BM，
∵PN∥BC，
∴∠MPN＝∠ABC＝45°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝NM，
∴BM﹣PM＝DM﹣NM，
∴PB＝DN，
由（1），知BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3，
∴BM＝BD•cos45°＝3，
∵P为AB边上的中点，
∴AP＝BP＝AB＝2，
∴MN＝PM＝BM﹣BP＝3﹣2＝1，
∴PN＝，
∵∠BPE+∠DPM＝90°，∠PDM+∠DPM＝90°，
∴∠BPE＝∠PDM，
∵PD＝PE，
∴△PBE≌△DNP（SAS），
∴BE＝PN＝，
∴BE+BD＝；
（3）如图3中，作PH∥AC交BC的延长线于H，作PM⊥BC于M．

∵AC∥PH，
∴∠ACB＝∠H，∠BPH＝∠BAC＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠PBH＝∠H，
∴PB＝PH，
∵∠EPD＝∠BPH＝α，
∴∠BPE＝∠HPD，
∵PE＝PD，PB＝PH，
∴△EPB≌△DPH（SAS），
∴BE＝DH，
∴BE+BD＝BD+DH＝BH，
∵PB＝PH，PM⊥BH，
∴BM＝MH，∠BPM＝∠HPM，
∴BM＝MH＝BD•sin．
∴BD+BE＝BH＝2k•sin．
故答案为：2k•sin．
23．（11分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）作直线AC，点E为线段AC上一动点，过点E作DE⊥AC，交抛物线于点D，交y轴于点F，请问在点E的移动过程中DE是否存在最大值，如果有，求出此时点D的坐标，如果没有，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点N是x轴上的一个动点，点M是坐标平面内的一点，是否存在这样的点N，使得以D、F、M、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，求出直线AC的解析式，可得△PED是等腰直角三角形，设出点D的坐标，从而得到点P的坐标，表示出PD的长，根据二次函数的最值即可求解；
（3）分DF为矩形的边，DF为矩形的对角线两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0）、B（1，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，得
，
解得，
所以抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2；
（2）存在，
过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，如图1，

将x＝0代人y＝x2+x﹣2中，得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
将点A（﹣2，0），C（0，﹣2）代人y＝mx+n中，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2．
∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝45°．
∵PD∥CF，DE⊥AC，
∴∠DPE＝∠ACO＝45°，∠PED＝90°，
∴△PED为等腰直角三角形．
∴DE＝PE＝PD．
设点D的坐标为（k，k2+k﹣2），则点P的坐标为（k，﹣k﹣2），
∴PD＝﹣k﹣2﹣（k2+k﹣2）＝﹣k2﹣2k＝﹣（k+1）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当k＝﹣1时，PD有最大值，此时DE的值也最大，
∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）存在这样的点N，使得以D，F，M，N四点组成的四边形是矩形．
①当DF是矩形的边时，有以下两种情况：
（i）当四边形M1N1FD为矩形时，连接DC，如解图2．

由（2）可知D（﹣1，﹣2），C（0，﹣2），∠ACO＝45°，DF⊥AC，
∴∠DFC＝45°．
又∵点D与点C的纵坐标相同，
∴△DFC是等腰直角三角形．
∴FC＝DC＝1．
∴OF＝OC﹣FC＝1．
∴点F的坐标为（0，﹣1）．
∠N1FO＝90°﹣∠DFC＝45°，
∴N1O＝OF＝1．
∴点N的坐标为（﹣1，0）．
（ ii）当四边形M2N2DF为矩形时，过点D作DG⊥x轴交于点G，连接DC，如解图3．

由（ i ）可知∠DFC＝45°，
∴∠N2DG＝45°，
∴△N2DG是等腰直角三角形．
∴GN2＝GD＝2．
又∵OG＝DG＝1，
∴ON2＝GN2+OG＝3．
∴N2的坐标为（﹣3，0）；
②当DF是矩形的对角线时，设点N3的坐标为（x，0），
则有N3F2＝x2+1，N3D2＝（x+1）2+22，DF2＝2．
∴点N3为直角顶点，
∴N3F2+N3D2＝DF2．
∴x2+1+（x+1）2+22＝2，整理得x2+（x+1）2＝﹣3，此方程无解．
∴此种情况不存在．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，0）．