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初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试导学案
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这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试导学案,共5页。学案主要包含了学习目标,课前热身,课堂互动等内容,欢迎下载使用。
掌握矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定,理解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的共性、特性和从属关系,能够解决日常生活中与矩形、菱形、正方形有关的实际问题.
【课前热身】
1.如图所示,将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到
△CDA,使四边形ABCD为矩形需添加的一个条件是_______.
2.若菱形的两条对角线长分别为2和3,则此菱形的面积是
_______.
3.在平面中,下列命题为真命题的是 ( )
A.四边相等的四边形是正方形
B.对角线相等的四边形是菱形
C.四个角相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
4.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD一定是 ( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
5.如图,将方形纸片ABCD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在点D'处,若AB=3,AD=4,则ED的长为 ( )
A. B.3 C.1 D.
6.如图,在正方形ABCD中,点G是边BC上的任意一点,DE⊥AG,垂足为点E,延长DE交AB于点F.在线段AG上取点H,使得AG=DE+HG,连接BH.
求证:∠ABH=∠CDE.
【课堂互动】
知识点1 矩形的性质与判定
例 如图,在△ABC中,D是边BC上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)线段BD与CD有何数量关系,为什么?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?请说明理由.
跟踪训练
1.若矩形的两邻边长的差为2,对角线长为4,则矩形的面积为_______.
2.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.
(1)若∠ECF=30°,CF=8,求CE的长;
(2)求证:△ABF≌△DEC;
(3)求证:四边形BCEF是矩形.
知识点2 菱形的性质与判定
例1 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,点P从点
A出发,沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动.同时,
动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运
动,将△PQC沿BC翻折,点P的对应点为点P'.设Q点运动
的时间为ts,若四边形QPCP'为菱形,则t的值为 ( )
A. B.2 C.2 D.3
例2 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于点F,连接DF.
(1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;
(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.
跟踪训练
1.如图,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8,若M,N分别是边BC,CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值是_______.
2.如图,在菱形ABCD中,若∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为点E,连接CP,则∠CPB=_______°.
3.如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC.
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
知识点3 正方形的性质与判定
例1 如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF
绕其顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE=_______.
例2 如图1,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的
一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.
(1)求证:△BCP≌△DCP;
(2)求证:∠DPE=∠ABC;
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(图2),若∠ABC=58°,则∠DPE=_______°.
跟踪训练
1.如图,若正方形ABCD的边长为1,连接AC,BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=_______.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形的两条对角线交于点O,连接OC,若AC=5,OC=6,则另一直角边BC=_______.
3.已知正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC,BD的交点,过点O作OE⊥MN,垂足为点E,过点B作BF⊥MN,垂足为点F.
(1)如图1,当O,B两点均位于直线MN上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明).
(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF,BF,OE之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
参考答案
课前热身
1.答案不唯一 2. 3 3. C 4. A 5. A 6.略
课堂互动
知识点1
例 (1)BD=CD. (2)满足AB=AC
跟踪训练
1.6 2.(1)4 (2)略 (3)略
知识点2
例1 B
例2
跟踪训练
1.5 2. 72
3.(1)
(2)
菱形
知识点3
例1 15°或165°
例2 (1)略 (2)略 (3)58
跟踪训练
1.-1 2.7 3.AF-BF=2OE
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