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物理选修3-5第十六章 动量守恒定律3 动量守恒定律（二） 动量守恒定律练习题
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这是一份物理选修3-5第十六章 动量守恒定律3 动量守恒定律（二） 动量守恒定律练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(多选题)
1．在利用气垫导轨探究碰撞中的不变量实验中，下列哪些因素可导致实验误差eq \x(导学号 96140004)( )
A．导轨安放不水平 B．滑块上挡光板倾斜
C．两滑块质量不相等 D．两滑块碰后连在一起
答案：AB
解析：选项A中，导轨不水平将导致滑块速度受重力分力影响，从而产生实验误差；选项B中，挡板倾斜会导致挡光板宽度不等于挡光阶段滑块通过的位移；实验中并不要求两滑块的质量相等；两滑块碰后连在一起只意味着碰撞过程能量损失最大，并不影响碰撞中的守恒量。综上所述，答案为A、B。
2．某同学利用如图所示的装置探究碰撞过程中的不变量，下列说法正确的是eq \x(导学号 96140005)( )
A．悬挂两球的细绳长度要适当，可以不等长
B．由静止释放小球以便较准确地计算小球碰前的速度
C．两小球必须都是刚性球，且质量相同
D．两小球碰后可以粘合在一起共同运动
答案：BD
解析：两绳等长，能保证两球正碰以减小实验误差，A项错误；计算碰撞前速度时用到了mgh＝eq \f(1,2)mv2－0，即初速度为0，B项正确；本实验中对小球的性能无要求，C项错误；两球正碰后，运动情况有多种可能，D项正确。
3．若用打点计时器做探究碰撞中的不变量的实验，下列操作正确的是eq \x(导学号 96140006)( )
A．相互作用的两车上，一个装上撞针，一个装上橡皮泥是为了改变两车的质量
B．相互作用的两车上，一个装上撞针，一个装上橡皮泥是为了碰撞后粘在—起
C．先接通打点计时器的电源，再释放拖动纸带的小车
D．先释放拖动纸带的小车，再接通打点计时器的电源
答案：BC
解析：相互作用的两车上，一个装上撞针，一个装上橡皮泥，是为了碰撞后两车能粘在一起共同运动，这种情况能得到能量损失很大的碰撞；应当先接通打点计时器的电源，再释放拖动纸带的小车，否则因运动距离较短，小车释放以后再打开电源不容易得到实验数据。故A、D错，B、C正确。
二、非选择题
4．如图甲所示，在水平光滑轨道上停着甲、乙两辆实验小车，甲车上系有一穿过打点计时器的纸带，当甲车获得水平向右的速度时，随即启动打点计时器，甲车运动一段距离后，与静止的乙车发生正碰并粘在一起运动，纸带记录下碰撞前甲车和碰撞后两车的运动情况，如图乙所示，电源频率为50Hz，则碰撞前甲车速度大小为________m/s，碰撞后的共同速度大小为________m/s。eq \x(导学号 96140007)
答案：0.6 0.4
解析：碰撞前Δx＝1.2cm，碰撞后Δx′＝0.8cm，T＝0.02s，由v＝eq \f(x,t)得碰前v甲＝eq \f(Δx,Δt)＝0.6m/s；碰后v＝eq \f(Δx′,Δt)＝0.4m/s。
5．(陕西西安一中2015～2016学年高二下学期期末)如图为实验室常用的气垫导轨探究碰撞过程中的不变量的装置。两带有等宽遮光条的滑块A和B，质量分别为mA、mB，在A、B间用细线水平压住一轻弹簧，将其置于气垫导轨上，调节导轨使其能实现自由静止，这是表明______________，烧断细线，滑块A、B被弹簧弹开，光电门C、D记录下两遮光条通过的时间分别为tA和tB，若有关系式______________，则说明该实验碰撞前后质量与速度的乘积守恒。eq \x(导学号 96140008)
答案：气垫导轨水平；eq \f(mA,tA)－eq \f(mB,tB)＝0
解析：两滑块自由静止，处于平衡状态，所受合力为零，此时气垫导轨是水平的；
设遮光条的宽度为d，两滑块的速度为：vA＝eq \f(d,tA)，vB＝eq \f(d,tB)①
如果mv守恒，满足：mAvA－mBvB＝0②
由①②解得：eq \f(mA,tA)－eq \f(mB,tB)＝0
6．某同学利用如图所示的装置探究碰撞中的不变量。图中两摆摆长相同，悬挂于同一高度，A、B两摆球均很小，质量之比为12。当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。向左上方拉动B球使其摆线伸直并与竖直方向成45°角，然后将其由静止释放，结果观察到两摆球粘在一起摆动，且最大摆角为30°。此实验能否成功说明碰撞前后质量与速度的乘积是不变量？eq \x(导学号 96140009)
答案：能
解析：设摆球A、B的质量分别为mA、mB，摆长为l，B球相对于A球的高度为h1，碰撞前B球的速度为vB。在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得
h1＝l(1－cs45°)
eq \f(1,2)mBveq \\al(2,B)＝mBgh1
碰撞前速度vB＝eq \r(2gl1－cs45°)
所以碰撞前质量与速度乘积为
mBvB＝mBeq \r(2gl1－cs45°)
同理可得碰撞后共同速度
vAB＝eq \r(2gl1－cs30°)
碰撞后质量与速度乘积为
(mA＋mB)vAB＝(mA＋mB)eq \r(2gl1－cs30°)
所以eq \f(mA＋mBvAB,mBvB)＝eq \f(mA＋mB,mB)eq \r(\f(1－cs30°,1－cs45°))
代入已知条件得eq \f(mA＋mBvAB,mBvB)≈1.0
所以mBvB＝(mA＋mB)vAB
所以，此实验成功地说明了碰撞前后质量与速度的乘积是不变量。
能力提升
1．在“探究碰撞中的不变量”的实验中，也可以探索mv2这个量(对应于动能)的变化情况。eq \x(导学号 96140010)
(1)若采用弓形弹片滑块的方案如图甲所示，弹开后的mv2的总量________(填“大于”“小于”或“等于”)弹开前mv2的总量，这是因为________________________。
(2)若采用图乙所示的方案，碰撞前mv2的总量______(填“大于”“小于”或“等于”)碰后mv2的总量，说明碰撞中机械能________。(填“守恒”或“不守恒”)。
(3)若采用图丙所示的方案，碰撞前mv2的总量______(填“大于”“小于”或“等于”)碰后mv2的总量，说明碰撞中存在________损失。
答案：(1)大于 弹片的弹性势能转化为两滑块动能，滑块动能增加 (2)等于 守恒 (3)大于 机械能
解析：(1)弹开前，两滑块静止，动能为零；弹开后，弹片的弹性势能转变为滑块的动能，故弹开后mv2增大。
(2)取两滑块及弹簧为系统，整个系统作用前后机械能守恒，故碰撞前后mv2不变。
(3)两滑块的碰撞过程中，撞针刺入橡皮泥需克服摩擦阻力做功，该过程中机械能有损失，故碰撞前mv2大于碰撞后mv2。
2．某同学把两块大小不同的木块用细线连接，中间夹一被压缩了的轻弹簧，如图所示，将这一系统置于光滑的水平桌面上，烧断细线，观察物体的运动情况，进行必要的测量，探究物体间相互作用时的守恒量。eq \x(导学号 96140011)
(1)该同学还必须有的器材是__________________；
(2)需直接测量的数据是____________________；
(3)若mv为所探究的守恒量，需要验算的表达式如何表示？___________________ _____________________________________________________。
答案：(1)刻度尺 天平 (2)两木块的质量m1、m2和两木块落地点分别到桌子两侧边的水平距离x1、x2
(3)m1x1＝m2x2
解析：木块离开桌面后做平抛运动，取右边木块的初速度方向为正方向，设两木块质量和平抛初速度分别为：m1、m2，v1、v2，平抛运动的水平位移分别为x1、x2，平抛运动的时间为t。需要验证的方程：0＝m1v1－m2v2，其中：v1＝eq \f(x1,t)，v2＝eq \f(x2,t)，代入得到m1x1＝m2x2，故需要测量两木块的质量m1和m2，两木块落地点到桌面边缘的水平距离x1、x2，需要的器材为刻度尺、天平。
3．(江西九江一中2015～2016学年高二下学期期中)某同学用图甲所示装置通过半径相同的A、B两球的碰撞来寻找守恒量，图中PQ是斜槽，QR为水平槽，实验时先使A球从斜槽上某一固定位置G由静止开始滚下，落到位于水平地面的记录纸上，留下痕迹，重复上述操作10次，得到10个落点痕迹，再把B球放在水平槽上靠近槽末端的地方，让A球仍从位置G由静止开始滚下，和B球碰撞后，A、B球分别在记录纸上留下各自的落点痕迹， 重复这种操作10次，图中O是水平槽末端口在记录纸上的垂直投影点，P′为未放被碰小球B时A球的平均落点，M为与B球碰后A球的平均落点，N为被碰球B的平均落点，若B球落点痕迹如图乙所示，其中米尺水平放置，且平行于OP′，米尺的零点与O点对齐。eq \x(导学号 96140012)
(1) 碰撞后B球的水平射程应为________cm。
(2)若mv为守恒量，在以下选项中，哪些是本次实验必须进行的测量( )
A．水平槽上未放B球时，测量A球落点位置到O点的距离
B．A球与B球碰撞后，测量A球落点位置到O点的距离
C．测量A球或B球的直径
D．测量A球和B球的质量
E．测量G点相对于水平槽面的高度
(3)实验中，对入射小球在斜槽上释放点的高低对实验影响的说法中正确的是________。
A．释放点越低，小球受阻力越小，入射小球速度越小，误差越小
B．释放点越低，两球碰后水平位移越小，水平位移测量的相对误差越小，两球速度的测量越准确
C．释放点越高，两球相碰时，相互作用的内力越大，阻力的影响相对越小，误差越小
D．释放点越高，入射小球对被碰小球的作用力越大，轨道对被碰小球的阻力越小
答案：(1)64.7cm(64.6～64.8cm均可) (2)ABD (3)C
解析：(1)将10个点圈在圆内的最小圆的圆心作为平均落点，可由刻度尺测得碰撞后B球的水平射程为64.7cm，因最后一位数字为估计值，允许误差±0.1cm，因此64.6cm和64.8cm也是正确的。
(2)从同一 高度做平抛运动飞行的时间t相同，而水平方向为匀速运动，故水平位移s＝vt，所以只要测出小球飞行的水平位移，就可以用水平位移代替平抛初速度，亦即碰撞前后的速度，证明mA·OP′与mA·OM＋mBON是否相等，即可以说明两个物体碰撞前后各自的质量与其速度的乘积之和是否相等，故必须测量的是两球的质量和水平射程，即选项A、B、D是必须进行的测量。
(3)入射球的释放点越高，入射球碰撞前的速度越大，相撞时作用力越大，阻力的影响相对越小，也有利于减小测量水平位移时的相对误差，从而使实验的误差减小，故A、B、D错误，C正确。
4．用天平、气垫导轨(带光电计时器和两个滑块)探究物体间发生相互作用时的不变量，本实验可用自动照相机代替打点计时器(闪光频率为10Hz)，步骤方法如下：eq \x(导学号 96140013)
(1)用天平称出两滑块的质量。mA＝0.10kg，mB＝0.20kg，放在水平的气垫导轨上(导轨上标尺的最小分度为1cm，滑块可看做质点)；
(2)碰撞前后连续三次闪光拍照得图中a、b、c所示的照片；
请你根据图示数据探究物体间发生相互作用时的不变量。
答案：mAvA＋mBvB＝mAv′A＋mBv′B，即碰撞前后mv之和保持不变。
解析：由题图a、b可确定A的速度为
vA＝eq \f(7.0－1.0×10－2,0.1)m/s＝0.6m/s
则mAvA＝0.1×0.6kg·m/s＝0.06kg·m/s
从题图b、c看出滑块A与B靠近到发生碰撞需
t2＝eq \f(1.5×10－2,0.6)s＝2.5×10－2s
所以A与B碰后回到7.0cm位置，历时
Δt＝(0.1－2.5×10－2)s＝7.5×10－2s
因此，求出v′A＝eq \f(7.0－8.5×10－2,7.5×10－2)m/s＝－0.2m/s
v′B＝eq \f(11.5－8.5×10－2,7.5×10－2)m/s＝0.4m/s
所以碰撞后：mAvA′＋mBv′B＝6×10－2 kg·m/s
由以上计算可得：mAvA＋mBvB＝mAv′A＋mBv′B。
一、选择题(多选题)
1．在利用气垫导轨探究碰撞中的不变量实验中，下列哪些因素可导致实验误差eq \x(导学号 96140004)( )
A．导轨安放不水平 B．滑块上挡光板倾斜
C．两滑块质量不相等 D．两滑块碰后连在一起
答案：AB
解析：选项A中，导轨不水平将导致滑块速度受重力分力影响，从而产生实验误差；选项B中，挡板倾斜会导致挡光板宽度不等于挡光阶段滑块通过的位移；实验中并不要求两滑块的质量相等；两滑块碰后连在一起只意味着碰撞过程能量损失最大，并不影响碰撞中的守恒量。综上所述，答案为A、B。
2．某同学利用如图所示的装置探究碰撞过程中的不变量，下列说法正确的是eq \x(导学号 96140005)( )
A．悬挂两球的细绳长度要适当，可以不等长
B．由静止释放小球以便较准确地计算小球碰前的速度
C．两小球必须都是刚性球，且质量相同
D．两小球碰后可以粘合在一起共同运动
答案：BD
解析：两绳等长，能保证两球正碰以减小实验误差，A项错误；计算碰撞前速度时用到了mgh＝eq \f(1,2)mv2－0，即初速度为0，B项正确；本实验中对小球的性能无要求，C项错误；两球正碰后，运动情况有多种可能，D项正确。
3．若用打点计时器做探究碰撞中的不变量的实验，下列操作正确的是eq \x(导学号 96140006)( )
A．相互作用的两车上，一个装上撞针，一个装上橡皮泥是为了改变两车的质量
B．相互作用的两车上，一个装上撞针，一个装上橡皮泥是为了碰撞后粘在—起
C．先接通打点计时器的电源，再释放拖动纸带的小车
D．先释放拖动纸带的小车，再接通打点计时器的电源
答案：BC
解析：相互作用的两车上，一个装上撞针，一个装上橡皮泥，是为了碰撞后两车能粘在一起共同运动，这种情况能得到能量损失很大的碰撞；应当先接通打点计时器的电源，再释放拖动纸带的小车，否则因运动距离较短，小车释放以后再打开电源不容易得到实验数据。故A、D错，B、C正确。
二、非选择题
4．如图甲所示，在水平光滑轨道上停着甲、乙两辆实验小车，甲车上系有一穿过打点计时器的纸带，当甲车获得水平向右的速度时，随即启动打点计时器，甲车运动一段距离后，与静止的乙车发生正碰并粘在一起运动，纸带记录下碰撞前甲车和碰撞后两车的运动情况，如图乙所示，电源频率为50Hz，则碰撞前甲车速度大小为________m/s，碰撞后的共同速度大小为________m/s。eq \x(导学号 96140007)
答案：0.6 0.4
解析：碰撞前Δx＝1.2cm，碰撞后Δx′＝0.8cm，T＝0.02s，由v＝eq \f(x,t)得碰前v甲＝eq \f(Δx,Δt)＝0.6m/s；碰后v＝eq \f(Δx′,Δt)＝0.4m/s。
5．(陕西西安一中2015～2016学年高二下学期期末)如图为实验室常用的气垫导轨探究碰撞过程中的不变量的装置。两带有等宽遮光条的滑块A和B，质量分别为mA、mB，在A、B间用细线水平压住一轻弹簧，将其置于气垫导轨上，调节导轨使其能实现自由静止，这是表明______________，烧断细线，滑块A、B被弹簧弹开，光电门C、D记录下两遮光条通过的时间分别为tA和tB，若有关系式______________，则说明该实验碰撞前后质量与速度的乘积守恒。eq \x(导学号 96140008)
答案：气垫导轨水平；eq \f(mA,tA)－eq \f(mB,tB)＝0
解析：两滑块自由静止，处于平衡状态，所受合力为零，此时气垫导轨是水平的；
设遮光条的宽度为d，两滑块的速度为：vA＝eq \f(d,tA)，vB＝eq \f(d,tB)①
如果mv守恒，满足：mAvA－mBvB＝0②
由①②解得：eq \f(mA,tA)－eq \f(mB,tB)＝0
6．某同学利用如图所示的装置探究碰撞中的不变量。图中两摆摆长相同，悬挂于同一高度，A、B两摆球均很小，质量之比为12。当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。向左上方拉动B球使其摆线伸直并与竖直方向成45°角，然后将其由静止释放，结果观察到两摆球粘在一起摆动，且最大摆角为30°。此实验能否成功说明碰撞前后质量与速度的乘积是不变量？eq \x(导学号 96140009)
答案：能
解析：设摆球A、B的质量分别为mA、mB，摆长为l，B球相对于A球的高度为h1，碰撞前B球的速度为vB。在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得
h1＝l(1－cs45°)
eq \f(1,2)mBveq \\al(2,B)＝mBgh1
碰撞前速度vB＝eq \r(2gl1－cs45°)
所以碰撞前质量与速度乘积为
mBvB＝mBeq \r(2gl1－cs45°)
同理可得碰撞后共同速度
vAB＝eq \r(2gl1－cs30°)
碰撞后质量与速度乘积为
(mA＋mB)vAB＝(mA＋mB)eq \r(2gl1－cs30°)
所以eq \f(mA＋mBvAB,mBvB)＝eq \f(mA＋mB,mB)eq \r(\f(1－cs30°,1－cs45°))
代入已知条件得eq \f(mA＋mBvAB,mBvB)≈1.0
所以mBvB＝(mA＋mB)vAB
所以，此实验成功地说明了碰撞前后质量与速度的乘积是不变量。
能力提升
1．在“探究碰撞中的不变量”的实验中，也可以探索mv2这个量(对应于动能)的变化情况。eq \x(导学号 96140010)
(1)若采用弓形弹片滑块的方案如图甲所示，弹开后的mv2的总量________(填“大于”“小于”或“等于”)弹开前mv2的总量，这是因为________________________。
(2)若采用图乙所示的方案，碰撞前mv2的总量______(填“大于”“小于”或“等于”)碰后mv2的总量，说明碰撞中机械能________。(填“守恒”或“不守恒”)。
(3)若采用图丙所示的方案，碰撞前mv2的总量______(填“大于”“小于”或“等于”)碰后mv2的总量，说明碰撞中存在________损失。
答案：(1)大于 弹片的弹性势能转化为两滑块动能，滑块动能增加 (2)等于 守恒 (3)大于 机械能
解析：(1)弹开前，两滑块静止，动能为零；弹开后，弹片的弹性势能转变为滑块的动能，故弹开后mv2增大。
(2)取两滑块及弹簧为系统，整个系统作用前后机械能守恒，故碰撞前后mv2不变。
(3)两滑块的碰撞过程中，撞针刺入橡皮泥需克服摩擦阻力做功，该过程中机械能有损失，故碰撞前mv2大于碰撞后mv2。
2．某同学把两块大小不同的木块用细线连接，中间夹一被压缩了的轻弹簧，如图所示，将这一系统置于光滑的水平桌面上，烧断细线，观察物体的运动情况，进行必要的测量，探究物体间相互作用时的守恒量。eq \x(导学号 96140011)
(1)该同学还必须有的器材是__________________；
(2)需直接测量的数据是____________________；
(3)若mv为所探究的守恒量，需要验算的表达式如何表示？___________________ _____________________________________________________。
答案：(1)刻度尺 天平 (2)两木块的质量m1、m2和两木块落地点分别到桌子两侧边的水平距离x1、x2
(3)m1x1＝m2x2
解析：木块离开桌面后做平抛运动，取右边木块的初速度方向为正方向，设两木块质量和平抛初速度分别为：m1、m2，v1、v2，平抛运动的水平位移分别为x1、x2，平抛运动的时间为t。需要验证的方程：0＝m1v1－m2v2，其中：v1＝eq \f(x1,t)，v2＝eq \f(x2,t)，代入得到m1x1＝m2x2，故需要测量两木块的质量m1和m2，两木块落地点到桌面边缘的水平距离x1、x2，需要的器材为刻度尺、天平。
3．(江西九江一中2015～2016学年高二下学期期中)某同学用图甲所示装置通过半径相同的A、B两球的碰撞来寻找守恒量，图中PQ是斜槽，QR为水平槽，实验时先使A球从斜槽上某一固定位置G由静止开始滚下，落到位于水平地面的记录纸上，留下痕迹，重复上述操作10次，得到10个落点痕迹，再把B球放在水平槽上靠近槽末端的地方，让A球仍从位置G由静止开始滚下，和B球碰撞后，A、B球分别在记录纸上留下各自的落点痕迹， 重复这种操作10次，图中O是水平槽末端口在记录纸上的垂直投影点，P′为未放被碰小球B时A球的平均落点，M为与B球碰后A球的平均落点，N为被碰球B的平均落点，若B球落点痕迹如图乙所示，其中米尺水平放置，且平行于OP′，米尺的零点与O点对齐。eq \x(导学号 96140012)
(1) 碰撞后B球的水平射程应为________cm。
(2)若mv为守恒量，在以下选项中，哪些是本次实验必须进行的测量( )
A．水平槽上未放B球时，测量A球落点位置到O点的距离
B．A球与B球碰撞后，测量A球落点位置到O点的距离
C．测量A球或B球的直径
D．测量A球和B球的质量
E．测量G点相对于水平槽面的高度
(3)实验中，对入射小球在斜槽上释放点的高低对实验影响的说法中正确的是________。
A．释放点越低，小球受阻力越小，入射小球速度越小，误差越小
B．释放点越低，两球碰后水平位移越小，水平位移测量的相对误差越小，两球速度的测量越准确
C．释放点越高，两球相碰时，相互作用的内力越大，阻力的影响相对越小，误差越小
D．释放点越高，入射小球对被碰小球的作用力越大，轨道对被碰小球的阻力越小
答案：(1)64.7cm(64.6～64.8cm均可) (2)ABD (3)C
解析：(1)将10个点圈在圆内的最小圆的圆心作为平均落点，可由刻度尺测得碰撞后B球的水平射程为64.7cm，因最后一位数字为估计值，允许误差±0.1cm，因此64.6cm和64.8cm也是正确的。
(2)从同一 高度做平抛运动飞行的时间t相同，而水平方向为匀速运动，故水平位移s＝vt，所以只要测出小球飞行的水平位移，就可以用水平位移代替平抛初速度，亦即碰撞前后的速度，证明mA·OP′与mA·OM＋mBON是否相等，即可以说明两个物体碰撞前后各自的质量与其速度的乘积之和是否相等，故必须测量的是两球的质量和水平射程，即选项A、B、D是必须进行的测量。
(3)入射球的释放点越高，入射球碰撞前的速度越大，相撞时作用力越大，阻力的影响相对越小，也有利于减小测量水平位移时的相对误差，从而使实验的误差减小，故A、B、D错误，C正确。
4．用天平、气垫导轨(带光电计时器和两个滑块)探究物体间发生相互作用时的不变量，本实验可用自动照相机代替打点计时器(闪光频率为10Hz)，步骤方法如下：eq \x(导学号 96140013)
(1)用天平称出两滑块的质量。mA＝0.10kg，mB＝0.20kg，放在水平的气垫导轨上(导轨上标尺的最小分度为1cm，滑块可看做质点)；
(2)碰撞前后连续三次闪光拍照得图中a、b、c所示的照片；
请你根据图示数据探究物体间发生相互作用时的不变量。
答案：mAvA＋mBvB＝mAv′A＋mBv′B，即碰撞前后mv之和保持不变。
解析：由题图a、b可确定A的速度为
vA＝eq \f(7.0－1.0×10－2,0.1)m/s＝0.6m/s
则mAvA＝0.1×0.6kg·m/s＝0.06kg·m/s
从题图b、c看出滑块A与B靠近到发生碰撞需
t2＝eq \f(1.5×10－2,0.6)s＝2.5×10－2s
所以A与B碰后回到7.0cm位置，历时
Δt＝(0.1－2.5×10－2)s＝7.5×10－2s
因此，求出v′A＝eq \f(7.0－8.5×10－2,7.5×10－2)m/s＝－0.2m/s
v′B＝eq \f(11.5－8.5×10－2,7.5×10－2)m/s＝0.4m/s
所以碰撞后：mAvA′＋mBv′B＝6×10－2 kg·m/s
由以上计算可得：mAvA＋mBvB＝mAv′A＋mBv′B。
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