高考物理一轮复习 第1章 第3节　运动图象、追及和相遇问题

第3节　运动图象、追及和相遇问题

知识点1　直线运动的图象

1．x ­t图象

(1)物理意义

反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律．

(2)两种特殊的x ­t图象

①若x ­t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动．

②若x ­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态．

(3)x ­t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义

2．v­t图象

(1)物理意义

反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．

(2)两种特殊的v ­t图象

①若v ­t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动．

②若v ­t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动.

(3)v ­t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义

知识点2　追及和相遇问题

1．追及问题的两类情况

(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．

(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近．

2．相遇问题的两类情况

(1)同向运动的两物体追及即相遇．

(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．

1．正误判断

(1)无论是x ­t图象还是v ­t图象都只能描述直线运动．(√)

(2)x ­t图象和v ­t图象表示物体运动的轨迹．(×)

(3)x ­t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．(×)

(4)两条v ­t图象的交点表示两个物体相遇．(×)

(5)两条x ­t图象的交点表示两个物体相遇．(√)

(6)两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐减小．(×)

(7)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小匀速运动的汽车相撞．(×)

2. [x ­t图象]如图1­3­1所示是一物体的x ­t图象，则该物体在6 s内的路程是(　　)

图1­3­1

A．0 m　　　 B．2 m

C．4 m D．12 m

D　[由x ­t图象可知：前2 s内，物体先沿正方向运动2 m，后又回到原点，所以前2 s内的路程是4 m；2～6 s内，物体先向反方向运动4 m，后又返回出发点，此过程中，物体的路程为8 m，所以物体在6 s内的路程为12 m，故选项D正确．]

3．[速度图象的理解]质点做直线运动的速度－时间图象如图1­3­2所示，该质点(　　)

【导学号：92492031】

图1­3­2

A．在第1秒末速度方向发生了改变

B．在第2秒末加速度方向发生了改变

C．在第2秒内发生的位移为零

D．第3秒末和第5秒末的位置相同

D　[在第1秒末质点的加速度方向发生改变，速度方向未改变，A错误．在第2秒末质点的速度方向发生改变，加速度方向未改变，B错误．在第2秒内质点一直沿正方向运动，位移不为零，C错误．从第3秒末到第5秒末质点的位移为零，故两时刻质点的位置相同，D正确．]

4．[追及相遇问题]两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为v0.若前车突然以恒定的加速度a刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a开始刹车．已知前车在刹车过程中所行驶的路程为x，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为(　　)

【导学号：92492032】

A．x B．x

C．2x D．x

B　[由v＝2ax，v＝2·2ax2可得后车刹车过程中所行驶的路程为x2＝；前车刹车过程中，后车匀速行驶的距离x′2＝v0t＝v0·＝＝2x；故要两车不发生碰撞，匀速行驶时的最小距离为Δx＝x2＋x′2－x＝＋2x－x＝x，B正确．]

两种图象的比较

[题组通关]

1．某同学以校门口为原点，以向东为正方向建立坐标，记录了甲、乙两位同学的位移—时间(x ­t)图线，如图1­3­3所示，下列说法中正确的是(　　)

【导学号：92492033】

图1­3­3

A．在t1时刻，甲的瞬时速度为零，乙的速度不为零

B．在t2时刻，甲、乙速度可能相同

C．在t2时刻，甲、乙两同学相遇

D．在t3时刻，乙的速度为零，加速度不为零

C　[因为x ­t图线的斜率等于物体的速度，所以在t1时刻，甲的瞬时速度不为零，乙的速度为零，选项A错误；在t2时刻，甲、乙速度方向不相同，所以速度不可能相同，选项B错误；在t2时刻，甲、乙两同学位移相同，所以两同学相遇，选项C正确；在t3时刻，乙的位移为零、速度不为零，加速度无法判断，选项D错误．]

2．(2017·海口模拟)一质点从原点出发做直线运动的v ­t图象如图1­3­4所示．下列说法正确的是(　　)

图1­3­4

A．质点6 s时刻到原点的距离为10 m

B．在0～2 s和4～6 s，质点的加速度相同

C．在2～4 s，质点的速度和加速度大小都减小

D．在2～4 s，质点的速度和加速度方向相同

C　[质点在0～2 s内的位移大小等于4～6 s内的位移大小，方向相反，则质点在0～6 s内的位移等于2～4 s内的位移，其大小小于10 m，A错误；在0～2 s和4～6 s，质点的加速度方向相反，B错误；在2～4 s，质点做减速运动，速度减小，图线越来越平缓，则加速度减小，C正确；在2～4 s，质点的速度为正，加速度为负，二者方向相反，D错误．]

关于运动图象的三点提醒

1．x ­t图象、v ­t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．

2．x ­t图象、v ­t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．

3．无论是x ­t图象还是v ­t图象，所描述的运动都是直线运动．

1.读图

2．作图和用图

依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．

[多维探究]

●考向1　图象的分析判断

1．(2017·高密模拟)设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为s.现有四个不同物体的运动图象如下列选项所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是(　　)

【导学号：92492034】

C　[对A项，由位移—时间图象可知，位移随时间先增大后减小，1 s后反向运动，故A错误；对B项，由速度—时间图象可知，物体2 s内沿正方向运动，2～4 s沿负方向运动，方向改变，故B错误；对C项，由图象可知物体在第1 s内做匀加速运动，第2 s内做匀减速运动，2 s末速度减为0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，故C正确；对D项，由图象可知物体在第1 s内做匀加速运动，1～3 s内做匀减速运动，2 s末速度减为0，第3 s内沿负方向运动，不是单向直线运动，故D错误．]

2．(2016·江苏高考)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是(　　)

【导学号：92492035】

A　[由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为E，小球离地面高度为x时速度为v，则有mgx＋mv2＝E，可变形为x＝－＋，由此方程可知图线为开口向左、顶点在(，0)的抛物线，故选项A正确．]

●考向2　图象间的转换

3．(2017·武汉模拟)一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图1­3­5所示，取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v­t图象正确的是(　　)

【导学号：92492036】

图1­3­5

C　[在0～1 s内，a1＝1 m/s2，物体从静止开始做正向匀加速运动，速度图象是一条直线，1 s末速度v1＝a1t＝1 m/s，在1～2 s内，a2＝－1 m/s2，物体将仍沿正方向运动，但要减速，2 s末时速度v2＝v1＋a2t＝0,2～3 s内重复0～1 s内运动情况，3～4 s内重复1～2 s内运动情况，则C正确．]

图象转换问题的“三个”关键点

1．注意合理划分运动阶段，分阶段进行图象转换．

2．注意相邻运动阶段的衔接，尤其是运动参量的衔接．

3．注意图象转换前后核心物理量间的定量关系，这是图象转换的依据．

1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系

(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．

(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．

2．追及相遇问题常见的三种情况

假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，则：

(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.

(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB.

(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB.

3．解答追及相遇问题的三种常用方法

(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景．

(2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，无解，说明追不上或不能相遇．

(3)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题．

[母题]　甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16 m/s，加速度大小a甲＝2 m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4 m/s，加速度大小a乙＝1 m/s2，做匀加速直线运动，求：

(1)两车再次相遇前二者间的最大距离；

(2)两车再次相遇所需的时间．

【自主思考】　(1)两车间距最大时应满足什么条件？

提示：甲、乙两车速度相等．

(2)两车相遇时应满足什么条件？

提示：甲、乙两车的位移相等．

【解析】　解法一　用物理分析法求解

(1)甲、乙两车同时同地同向出发，甲的初速度大于乙的初速度，但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，则二者相距最远时的特征条件是：速度相等，即v甲t＝v乙t

v甲t＝v甲－a甲t1；v乙t＝v乙＋a乙t1

得：t1＝＝4 s

相距最远Δx＝x甲－x乙

＝－＝(v甲－v乙)t1－(a甲＋a乙)t＝24 m.

(2)再次相遇的特征是：二者的位移相等，即

v甲t2－a甲t＝v乙t2＋a乙t

代入数值化简得

12t2－t＝0

解得：t2＝8 s，t′2＝0(即出发时刻，舍去)．

解法二　用数学极值法求解

(1)两车间的距离Δx＝x甲－x乙

＝－

＝(v甲－v乙)t－(a甲＋a乙)t2＝12t－t2

＝－[(t－4)2－16]

显然，t＝4 s时两者距离最大，有Δxm＝24 m.

(2)当Δx＝12t－t2＝0时再次相遇

解得：t2＝8 s，t′2＝0(舍去)．

【答案】　(1)24 m　(2)8 s

[母题迁移]

●迁移1　追者匀速，被追者匀加速

1．(2017·成都高新区摸底)一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则 (　　)

【导学号：92492037】

A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m

B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m

C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m

D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远

B　[在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近．汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，选项A、C错误，B正确．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误．]

●迁移2　追者匀减速，被追者匀速

2．(2017·济宁模拟)A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？

【导学号：92492038】

【解析】　设B车刹车过程的加速度大小为aB，

由v2－v＝2ax

可得：02－302＝2(－aB)×180

解得：aB＝2.5 m/s2

设经过时间t两车相撞，则有：vBt－aBt2＝x0＋vAt，

即30t－×2.5t2＝85＋10t

整理得t2－16t＋68＝0

由Δ＝162－4×68＜0可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时

vA＝vB－aBt1，t1＝8 s

此过程中xB＝vBt1－aBt＝160 m

xA＝vAt1＝80 m，

两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5 m.

【答案】　不会相撞　5 m

●迁移3　追者匀速，被追者匀减速

3．如图1­3­6所示，A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历时间是(　　)

图1­3­6

A．7 s　　　 B．8 s

C．9 s D．10 s

B　[由题意知，t＝5 s时，物体B的速度减为零，位移大小xB＝at2＝25 m，此时A的位移xA＝vAt＝20 m，A、B两物体相距Δs＝s＋xB－xA＝7 m＋25 m－20 m＝12 m，再经过Δt＝＝3 s，A追上B，所以A追上B所经历时间是5 s＋3 s＝8 s，选项B正确．]

●迁移4　追者匀加速，被追者匀减速

4．甲、乙两车相距40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16 m/s，加速度a1＝2 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4 m/s，加速度a2＝1 m/s2，与甲同向做匀加速直线运动．求：

(1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离．

(2)乙车追上甲车经历的时间.

【导学号：92492039】

【解析】　(1)甲、乙两车速度相等时距离最大，设时间为t1时，两车的速度相等，则：

v1－a1t1＝v2＋a2t1

即16－2t1＝4＋t1，解得：t1＝4 s

对甲车：x1＝v1t1－a1t＝48 m

对乙车：x2＝v2t1＋a2t＝24 m

故甲、乙两车相遇前相距的最大距离：

xmax＝x0＋x1－x2＝64.5 m.

(2)甲车运动的时间t2＝＝8 s

在甲车运动时间内，甲车位移：

x1′＝t2＝64 m

乙车位移：x2′＝v2t2＋a2t＝64 m

故甲车停止时，甲、乙两车仍相距x＝40.5 m，甲车停止时，乙车的速度：v2′＝v2＋a2t2＝12 m/s，故x＝v2′t3＋a2t

即40.5＝12t3＋t，解得：t3＝3 s

乙车追上甲车的时间：t＝t2＋t3＝11 s.

【答案】　(1)64.5 m　(2)11 s

求解追及问题的两点技巧

1．紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．

2．审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．