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人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案配套ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案配套ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了新知导入，新知讲解，l⊥α，两条相交直线，课堂小验等内容，欢迎下载使用。
请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？
观察（1）如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面影子BC,旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？（2）随着时间的变化，影子BC的位置在不断的变化，旗杆所在直线AB与其影子B’C’所在直线是否保持垂直？
经观察我们知道AB与BC永远垂直，也就是AB垂直于地面上所有过点B的直线。而不过点B的直线在地面内总是能找到过点B的直线与之平行。因此AB与地面上所有直线均垂直。
一般地，如果一条直线与一个平面α内所有直线均垂直，我们就说l垂直α，记作l⊥α。
定义：①文字叙述：如果直线l与平面α内的 直线都 ，就说直线l与平面α互相垂直，记作 .直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 ．②图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．③符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒ .
思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
答：有一条。经实际观察我们发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
探究线面垂直判定准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
容易发现AD与桌面垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直。
判定定理：①自然语言：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直．②图形语言：如图所示. ③符号语言： ⇒l⊥α.
l⊥a,l⊥b,且a∩b=P
例一：如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明（1）如图，取AB中点E,连接SE,DE，在Rt△ABC中，D,E分别为AC,AB的中点，∴DE//BC且DE⊥AB,∵SA=SB∴△SAB为等腰三角形∴SE⊥AB又SE∩DE=E,∴AB⊥平面SDE∵SD在平面SDE内∴AB⊥SD,在△SAC中∵SA=SC，D为AC中点∴SD⊥AC∵SD⊥AC，SD⊥AB,AC∩AB=A∴SD⊥平面ABC
（2）∵AB=BC,∵AB=BC,D为斜边AC中点∴BD⊥AC,由（1）可知SD⊥平面ABC,而BD在平面ABC内，∴SD⊥BD∵SD⊥BD、BD⊥AC,SD∩AC=D∴BD⊥平面SAC
练习一如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PC,AD//BC，AD⊥CD，且PC=BC=2AD=2CD= ,PA=2证明：PA⊥平面ABCD
证明：∵在底面ABCD中，AD//BC,AD⊥CD,且BC=2AD=2CD= ∴AB=AC=2，BC= ，∴AB⊥AC又∵AB⊥PC,AC∩PC=C,AC在平面PAC内，PC在平面PAC内∴AB⊥平面PAC,又∵PA在平面PAC内，∴AB⊥PA,∴PA=AC=2,PC= ∴PA⊥AB,AB∩AC=A,AB在平面ABCD内，AC在平面ABCD内，∴PA⊥平面ABCD
答：两种说法均不对，第一种反例如图,而图中平面内有无数条直线与a平行，且这些直线均与l垂直，但l在平面α内，l不垂直于α。
思考：两条相交直线可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？如果改为无数条呢？
例二 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面已知：如图，a//b，a⊥α，求证b⊥α
证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.∵直线 a⊥α∴a⊥m,a⊥n∵b//a∴b⊥m,b⊥n又m,n均在平面α内且相交∴b⊥α
线面夹角如图，一条直线与一个平面α，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角（0°≤θ≤90°）
练习二：斜线和平面所成角范围？直线和平面所成角的的范围是多少？
答：（1）（0°，90°）（2）[0°，90°]
例三在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成角
解：如图连接BC1,B1C, BC1与B1C相交于点O,连接A1O.设正方体棱长为a.∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∴A1B1⊥ BC1又BC1⊥B1C,∴ BC1⊥平面A1DCB1∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角在Rt△A1BO中，A1B= ,BO= ,∴BO=1/2A1B∴∠BA1O=30°∴直线A1B和平面A1DCB1所成角为30°
求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
练习三在三棱锥P-ABC中，PB=BC,PA=AC=3,PC=2,若经过AB的平面α将棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，则棱PA与平面α所成角的正弦值为________
解:如图所示，取PC中点为D连接AD,BD,因为过AB的平面α将三棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，所以α即为平面ABD,又因为PA=AC,所以PC⊥AD,又PB=BC,所以 PC⊥BD,且AD∩BD=D,所以PC⊥平面ABD,所以PA与平面α所成角即为∠PAD,因为PC=2,所以PD=1,所以sin∠PAD=
探究线面垂直性质（1）在长方体ABCD-A’B’C’D’中，棱AA’，BB’,CC’，DD’所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有怎样的位置关系？（2）如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a,b一定平行吗？
解（1）平行（2）一定平行证明如下，设b与a不平行，且b∩α=O.显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面，在该平面内过点O作直线b’//a，则直线b与b’是相交于点的两条不同直线，所以直线b与b’可确定平面β，设α∩β=c,则O∈c,∵a⊥α，b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因为b’//a，所以b’//c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b’与c垂直，显然不可能，因此b//a.
由探究我们得到线面垂直的性质定理： 垂直于同一平面的两直线平行根据线面垂直定义知：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于面上任意直线 a⊥α a⊥b
如图所示，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
证明：如图所示，连接AB1,B1C,BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内，∴DD1⊥AC又∵AC⊥BD且BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1∵BD1⊥AC同理可证BD1⊥B1C1，∴BD1⊥平面AB1C,∵EF⊥A1D,A1D//B1C,∴EF⊥B1C又∵EF⊥AC且AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF//BD1
例四如图，直线l平行于α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等。
证明：过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线AA1,BB1,垂足分别是A1,B1∵AA1⊥α，BB1⊥α∴AA1//BB1设直线AA1,BB1确定的平面为β，α∩β=A1B1∵l//α∴l//A1B1所以四边形AA1BB1是矩形∴AA1=BB1由A,B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α距离相等。
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例三我们可以进一步得到，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离。
练习三已知菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为多少？
解:设AC与BD交于点O.在△ABD中，因为∠A=120°，AB=2,可得AO=1.过A作面BCD的垂线，垂足为E,则AE即为所求。由题得，∠AOE=180°-∠AOC=60°。在Rt△AOE中，AE=Asin∠AOE=
例五推导棱台的体积公式其中S’,S分别是棱台的上，下底面面积，h是高
解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥，过点P作棱台下底面的垂线，分别与棱台的上下底面交于点O’，O,则PO垂直于棱台的上底面，从而OO’=h。设截得棱台的棱锥体积为V,去掉的棱锥的体积为V’,高为h’,则PO’=h’,于是所以棱台的体积
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且所以 所以
一、已知l，m，n是三条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是（ ）A 若l⊥m，l⊥n，则m//nB 若m在α内，n在β内，α//β，则m//nC 若m在α内， n也在α内，m∩n=A，l⊥m,l⊥n,则l⊥αD 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β
二、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。
证明：因为这条线与三角形的两边垂直，而这两边相交，所以这条线垂直三角形所在平面，所以这条线垂直另一条边。
三、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，中，点E是棱DD1的中点，点F在棱BB1上，且满足B1F=2BF求证：EF⊥A1C1
证明：连接BD，B1D1，正方形A1B1C1D1，A1C1⊥B1D1 ,又正方体中BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BB1DD1，∵EF在平面BB1DD1，∴A1C1⊥EF
请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？
观察（1）如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面影子BC,旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？（2）随着时间的变化，影子BC的位置在不断的变化，旗杆所在直线AB与其影子B’C’所在直线是否保持垂直？
经观察我们知道AB与BC永远垂直，也就是AB垂直于地面上所有过点B的直线。而不过点B的直线在地面内总是能找到过点B的直线与之平行。因此AB与地面上所有直线均垂直。
一般地，如果一条直线与一个平面α内所有直线均垂直，我们就说l垂直α，记作l⊥α。
定义：①文字叙述：如果直线l与平面α内的 直线都 ，就说直线l与平面α互相垂直，记作 .直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 ．②图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．③符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒ .
思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
答：有一条。经实际观察我们发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
探究线面垂直判定准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
容易发现AD与桌面垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直。
判定定理：①自然语言：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直．②图形语言：如图所示. ③符号语言： ⇒l⊥α.
l⊥a,l⊥b,且a∩b=P
例一：如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明（1）如图，取AB中点E,连接SE,DE，在Rt△ABC中，D,E分别为AC,AB的中点，∴DE//BC且DE⊥AB,∵SA=SB∴△SAB为等腰三角形∴SE⊥AB又SE∩DE=E,∴AB⊥平面SDE∵SD在平面SDE内∴AB⊥SD,在△SAC中∵SA=SC，D为AC中点∴SD⊥AC∵SD⊥AC，SD⊥AB,AC∩AB=A∴SD⊥平面ABC
（2）∵AB=BC,∵AB=BC,D为斜边AC中点∴BD⊥AC,由（1）可知SD⊥平面ABC,而BD在平面ABC内，∴SD⊥BD∵SD⊥BD、BD⊥AC,SD∩AC=D∴BD⊥平面SAC
练习一如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PC,AD//BC，AD⊥CD，且PC=BC=2AD=2CD= ,PA=2证明：PA⊥平面ABCD
证明：∵在底面ABCD中，AD//BC,AD⊥CD,且BC=2AD=2CD= ∴AB=AC=2，BC= ，∴AB⊥AC又∵AB⊥PC,AC∩PC=C,AC在平面PAC内，PC在平面PAC内∴AB⊥平面PAC,又∵PA在平面PAC内，∴AB⊥PA,∴PA=AC=2,PC= ∴PA⊥AB,AB∩AC=A,AB在平面ABCD内，AC在平面ABCD内，∴PA⊥平面ABCD
答：两种说法均不对，第一种反例如图,而图中平面内有无数条直线与a平行，且这些直线均与l垂直，但l在平面α内，l不垂直于α。
思考：两条相交直线可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？如果改为无数条呢？
例二 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面已知：如图，a//b，a⊥α，求证b⊥α
证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.∵直线 a⊥α∴a⊥m,a⊥n∵b//a∴b⊥m,b⊥n又m,n均在平面α内且相交∴b⊥α
线面夹角如图，一条直线与一个平面α，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角（0°≤θ≤90°）
练习二：斜线和平面所成角范围？直线和平面所成角的的范围是多少？
答：（1）（0°，90°）（2）[0°，90°]
例三在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成角
解：如图连接BC1,B1C, BC1与B1C相交于点O,连接A1O.设正方体棱长为a.∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∴A1B1⊥ BC1又BC1⊥B1C,∴ BC1⊥平面A1DCB1∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角在Rt△A1BO中，A1B= ,BO= ,∴BO=1/2A1B∴∠BA1O=30°∴直线A1B和平面A1DCB1所成角为30°
求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
练习三在三棱锥P-ABC中，PB=BC,PA=AC=3,PC=2,若经过AB的平面α将棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，则棱PA与平面α所成角的正弦值为________
解:如图所示，取PC中点为D连接AD,BD,因为过AB的平面α将三棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，所以α即为平面ABD,又因为PA=AC,所以PC⊥AD,又PB=BC,所以 PC⊥BD,且AD∩BD=D,所以PC⊥平面ABD,所以PA与平面α所成角即为∠PAD,因为PC=2,所以PD=1,所以sin∠PAD=
探究线面垂直性质（1）在长方体ABCD-A’B’C’D’中，棱AA’，BB’,CC’，DD’所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有怎样的位置关系？（2）如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a,b一定平行吗？
解（1）平行（2）一定平行证明如下，设b与a不平行，且b∩α=O.显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面，在该平面内过点O作直线b’//a，则直线b与b’是相交于点的两条不同直线，所以直线b与b’可确定平面β，设α∩β=c,则O∈c,∵a⊥α，b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因为b’//a，所以b’//c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b’与c垂直，显然不可能，因此b//a.
由探究我们得到线面垂直的性质定理： 垂直于同一平面的两直线平行根据线面垂直定义知：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于面上任意直线 a⊥α a⊥b
如图所示，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
证明：如图所示，连接AB1,B1C,BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内，∴DD1⊥AC又∵AC⊥BD且BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1∵BD1⊥AC同理可证BD1⊥B1C1，∴BD1⊥平面AB1C,∵EF⊥A1D,A1D//B1C,∴EF⊥B1C又∵EF⊥AC且AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF//BD1
例四如图，直线l平行于α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等。
证明：过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线AA1,BB1,垂足分别是A1,B1∵AA1⊥α，BB1⊥α∴AA1//BB1设直线AA1,BB1确定的平面为β，α∩β=A1B1∵l//α∴l//A1B1所以四边形AA1BB1是矩形∴AA1=BB1由A,B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α距离相等。
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例三我们可以进一步得到，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离。
练习三已知菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为多少？
解:设AC与BD交于点O.在△ABD中，因为∠A=120°，AB=2,可得AO=1.过A作面BCD的垂线，垂足为E,则AE即为所求。由题得，∠AOE=180°-∠AOC=60°。在Rt△AOE中，AE=Asin∠AOE=
例五推导棱台的体积公式其中S’,S分别是棱台的上，下底面面积，h是高
解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥，过点P作棱台下底面的垂线，分别与棱台的上下底面交于点O’，O,则PO垂直于棱台的上底面，从而OO’=h。设截得棱台的棱锥体积为V,去掉的棱锥的体积为V’,高为h’,则PO’=h’,于是所以棱台的体积
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且所以 所以
一、已知l，m，n是三条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是（ ）A 若l⊥m，l⊥n，则m//nB 若m在α内，n在β内，α//β，则m//nC 若m在α内， n也在α内，m∩n=A，l⊥m,l⊥n,则l⊥αD 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β
二、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。
证明：因为这条线与三角形的两边垂直，而这两边相交，所以这条线垂直三角形所在平面，所以这条线垂直另一条边。
三、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，中，点E是棱DD1的中点，点F在棱BB1上，且满足B1F=2BF求证：EF⊥A1C1
证明：连接BD，B1D1，正方形A1B1C1D1，A1C1⊥B1D1 ,又正方体中BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BB1DD1，∵EF在平面BB1DD1，∴A1C1⊥EF
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