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山东省青岛市平度市八年级（下）期中数学试卷解析
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这是一份山东省青岛市平度市八年级（下）期中数学试卷解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省青岛市平度市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=5cm，最长边AB的长是（ ）
A． 7cm B． 8cm C． 9cm D． 10cm
2．下列图中的“笑脸”，由下图按逆时针方向旋转90°得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集是（ ）
A． x＜﹣2 B． x＜﹣1 C． x＜0 D． x＞2
4．当a＞b时，下列不等式中正确的是（ ）
A． 2a＜2b B． 2a+1＜2b+1 C． a﹣3＜b﹣3 D． ﹣a＜﹣b
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A． b2=c2﹣a2 B． a：b：c=3：4：5
C． ∠C=∠A﹣∠B D． ∠A：∠B：∠C=12：13：15
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A． 有一个内角大于60° B． 有一个内角小于60°
C． 每一个内角都大于60° D． 每一个内角都小于60°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=n，则△ABD的面积是（ ）
A． mn B． C． 2mn D．
8．已知△ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（ ）
A． cm B． cm C． 2ncm D． cm
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．已知等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则此等腰三角形的周长为 ．
10．等腰三角形的底角为15°，腰长为16，则腰上的高为 ．
11．已知点A（﹣1，2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是 ．
12．如果不等式无解，那么m的取值范围是 ．
13．如图，△ABC中，已知BC=12，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为28，则AC的长为 ．
14．观察图象，当x 时，y＞3？
三、作图题（共8分）
15．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知线段 a，h，求作以a为底、h为高的等腰三角形．
四、解答题（共70分）
16．（10分）（2015春•平度市期中）计算：
（1）解不等式，并把解集表示在数轴上；
（2）解不等式组．
17．已知，如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求证：AB=AC．
18．（10分）（2015春•平度市期中）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住5人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，问住宿人数是多少？
19．（12分）（2015春•平度市期中）在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的角平分线，在AB上截取AE=AC，连接DE．
（1）如图①，当∠C=90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？请给出证明．
（2）如图②，当∠C≠90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？不需要证明，直接写出你的猜想．
20．（10分）（2010春•沙坪坝区校级期末）已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．
（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．
（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．
2017-2018学年山东省青岛市平度市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=5cm，最长边AB的长是（ ）
A． 7cm B． 8cm C． 9cm D． 10cm
考点： 含30度角的直角三角形．
分析： 根据比例设∠A=k、∠B=2k、∠C=3k，然后利用三角形的内角和定理求出三个角的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解答： 解：设∠A=k、∠B=2k、∠C=3k，
则k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
所以，三角形的三个角分别为30°、60°、90°，
∵最小边BC=5cm，
∴最长边AB=2BC=2×5=10cm．
故选D．
点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
2．下列图中的“笑脸”，由下图按逆时针方向旋转90°得到的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 生活中的旋转现象．
分析： 根据旋转的性质，找出图中眼、嘴的关键处按逆时针方向旋转90度后的形状即可选择答案．
解答： 解：根据旋转的性质，图片按逆时针方向旋转90度，即正立状态转为逆时针的横向状态，从而可确定为A图．
故选A．
点评： 本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
3．不等式的解集是（ ）
A． x＜﹣2 B． x＜﹣1 C． x＜0 D． x＞2
考点： 解一元一次不等式．
专题： 计算题．
分析： 利用不等式的基本性质，将两边不等式同时乘以2，再移项、合并同类项，不等号的方向不变．
解答： 解：原不等式的两边同时乘以2，得
3x+2＜2x，
不等式的两边同时减去2x，得
x+2＜0，
不等式的两边同时减去2，得
x＜﹣2．
故选A．
点评： 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
4．当a＞b时，下列不等式中正确的是（ ）
A． 2a＜2b B． 2a+1＜2b+1 C． a﹣3＜b﹣3 D． ﹣a＜﹣b
考点： 不等式的性质．
分析： 根据不等式的性质进行解答．
解答： 解：A、在不等式a＞b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＞2b，故本选项错误；
B、在不等式a＞b的两边同时乘以2，再加1，不等式仍成立，即2a+1＞2b+1，故本选项错误；
C、在不等式a＞b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a﹣3＞b﹣3，故本选项错误；
D、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣1，不等号的方向改变，即﹣a＜﹣b，故本选项错误；
故选：D．
点评： 本题考查了不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A． b2=c2﹣a2 B． a：b：c=3：4：5
C． ∠C=∠A﹣∠B D． ∠A：∠B：∠C=12：13：15
考点： 勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
分析： 掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
解答： 解：A、由b2=c2﹣a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．
故选D．
点评： 本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理．
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A． 有一个内角大于60° B． 有一个内角小于60°
C． 每一个内角都大于60° D． 每一个内角都小于60°
考点： 反证法．
分析： 熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
解答： 解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：C．
点评： 本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=n，则△ABD的面积是（ ）
A． mn B． C． 2mn D．
考点： 角平分线的性质．
分析： 由已知条件，根据角平分线的性质，边AB上的高等于CD的长n，再由三角形的面积公式求得△ABD的面积．
解答： 解：∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴点D到AB的距离为CD的长，
∴S△ABD=mn．
故选B．
点评： 本题考查了角平分线的性质和三角形面积的计算．本题比较简单，直接应用角平分线的性质进行解题，属于基础题．
8．已知△ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（ ）
A． cm B． cm C． 2ncm D． cm
考点： 等腰直角三角形．
专题： 规律型．
分析： 根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的 倍，可以发现n个△，直角边是第（n﹣1）个△的斜边长，即可求出斜边长．
解答： 解：等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的 倍
第二个△（也就是△ACD）的斜边长：1×=；
第三个△，直角边是第一个△的斜边长，所以它的斜边长：×=；
…
第n个△，直角边是第（n﹣1）个△的斜边长，其斜边长为：．
故选B．
点评： 此题主要考查学生对等腰直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的 倍，从中发现规律．此题有一定的拔高难度，属于中档题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．已知等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则此等腰三角形的周长为 16cm或17cm． ．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 压轴题；分类讨论．
分析： 分为两种情况：①当腰时5cm，底边时6cm时，②当腰时6cm，底边时5cm时，求出即可．
解答： 解：①当腰时5cm，底边时6cm时，三边长是5cm、5cm、6cm，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是5cm+5cm+6cm=16cm；
②当腰时6cm，底边时5cm时，三边长是6cm、6cm、5cm，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是6cm+6cm+5cm=17cm；
故答案为：16cm或17cm．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分为两种情况讨论．
10．等腰三角形的底角为15°，腰长为16，则腰上的高为 8 ．
考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
分析： 作出图形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=AB．
解答： 解：如图，∵等腰三角形的底角为15°，
∴∠BAD=15°×2=30°，
∴BD=AB=×16=8．
故答案为：8．
点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
11．已知点A（﹣1，2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是 （﹣3，5） ．
考点： 坐标与图形变化-平移．
分析： 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
解答： 解：原来点的横坐标是﹣1，纵坐标是2，向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是﹣1﹣2=﹣3，纵坐标为2+3=5，即为（﹣3，5）．
故答案是（﹣3，5）．
点评： 本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
12．如果不等式无解，那么m的取值范围是 m≥7 ．
考点： 不等式的解集．
分析： 根据大大小小无处找，可得答案．
解答： 解：由不等式无解，得m≥7．
故答案为：m≥7．
点评： 本题考查了不等式的解集，确定不等式组解集的方法：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找．
13．如图，△ABC中，已知BC=12，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为28，则AC的长为 16 ．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，故AC=BE+CE，再根据BC=12，△BCE的周长为28即可得出结论．
解答： 解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE，AC=BE+CE，
∵BC=12，△BCE的周长为28，
∴BC+（BE+CE）=28，即BE+CE=28﹣12=16，
∴AC=16．
故答案为：16．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
14．观察图象，当x ＞4 时，y＞3？
考点： 一次函数与一元一次不等式．
分析： 观察图象，可知直线经过点B（4，3），又因为直线从左往右逐渐上升，即y随x的增大而增大，从而得出x＞4时，y＞3．
解答： 解：∵直线经过点B（4，3），
又∵直线从左往右逐渐上升，即y随x的增大而增大，
∴x＞4时，y＞3．
故答案为：＞4．
点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三、作图题（共8分）
15．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知线段 a，h，求作以a为底、h为高的等腰三角形．
考点： 作图—复杂作图．
分析： 首先作BC=a，进而作出线段BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上截取h，进而得出答案．
解答： 解：如图所示：△ABC即为所求．
点评： 此题主要考查了复杂作图，作出线段BC的垂直平分线是解题关键．
四、解答题（共70分）
16．（10分）（2015春•平度市期中）计算：
（1）解不等式，并把解集表示在数轴上；
（2）解不等式组．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
分析： （1）去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的方法解不等式，然后把解集表示在数轴上．
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答： 解：（1）将原不等式去分母得，
x﹣1≤3（5﹣x）
去括号得：x﹣1≤15﹣3x
移项得：x+3x≤15+1
合并同类项得：4x≤16
系数化为1得：x≤4
这个不等式的解集在数轴上表示：
（2），
由①得，x＜4；
由②得x≥﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式（组），熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．已知，如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求证：AB=AC．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先运用HL定理证明△BDE≌△CDF，进而得到∠B=∠C，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题．
解答： 证明：如图，
∵D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，△BDE、△CDF均为直角三角形；
在△BDE、△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
点评： 该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．
18．（10分）（2015春•平度市期中）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住5人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，问住宿人数是多少？
考点： 一元一次不等式组的应用．
分析： 假设宿舍共有x间，则住宿生人数是5x+19人，若每间住8人，则有一间不空也不满，说明住宿生若住满（x﹣1）间，还剩的人数大于或等于1人且小于8人，所以可列式1≤5x+19﹣8（x﹣1）＜8，解出x的范围讨论．
解答： 解：设有宿舍x间．住宿生人数5x+19人．
由题意得，1≤5x+19﹣8（x﹣1）＜8，
即1≤﹣3x+27＜8，
解得：6＜x≤8．
因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是7间或8间，
当宿舍是7间时，住宿人数为5×7+19=54；
当宿舍是8间时，住宿人数为5×8+19=59．
答：住宿人数是54或59人．
点评： 本题考查一元一次不等式的应用，对题目逐字分析，找出隐含（数学中的客观事实，但在题目中不存在）或题目中存在的条件．列出不等式关系，求解．
19．（12分）（2015春•平度市期中）在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的角平分线，在AB上截取AE=AC，连接DE．
（1）如图①，当∠C=90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？请给出证明．
（2）如图②，当∠C≠90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？不需要证明，直接写出你的猜想．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
分析： （1）由角平分线的性质证明△ADE≌△ADC就可以得出DE=CD，进而证明BE=DE就可以得出结论；
（2）由角平分线的性质证明△ADE≌△ADC就可以得出DE=CD，进而由外角与内角的关系可以得出BE=DE就可以得出结论．
解答： 解：（1）AB=AC+CD．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
在△ACD和△BAC中，
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=ED，∠ACD=∠AED．
∵∠ACD=90°=2∠B，
∴∠AED=90°=2∠B，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=45°，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=ED，
∴BE=CD．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
（2）AB=AC+CD．
理由：：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
在△ACD和△BAC中，
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=ED，∠ACD=∠AED．
∵∠ACD=2∠B，
∴∠AED=2∠B．
∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴2∠B=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE
∴BE=ED，
∴BE=CD．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
点评： 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
20．（10分）（2010春•沙坪坝区校级期末）已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．
（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．
（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： （1）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△EBD≌△FCD，推出ED=DF，得出等边三角形，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得出答案；
（2）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得出答案．
解答： （1）证明：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°，
在△EBD和△FCD中
，
∴△EBD≌△FCD（SAS），
∴ED=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∵△EBD≌△FCD，
∴∠EDB=∠FDC，
∵在△NBD和△FCD中
，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠EDB=∠FDC，
∴∠EDB=∠BDN=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中
，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即△EDF是等边三角形，BE+CF=EF．
（2）解：BE+CF=EF还成立，理由是：
延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD和△FCD中
，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中
，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．
点评： 本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，但是证明过程类似．
山东省青岛市平度市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=5cm，最长边AB的长是（ ）
A． 7cm B． 8cm C． 9cm D． 10cm
2．下列图中的“笑脸”，由下图按逆时针方向旋转90°得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集是（ ）
A． x＜﹣2 B． x＜﹣1 C． x＜0 D． x＞2
4．当a＞b时，下列不等式中正确的是（ ）
A． 2a＜2b B． 2a+1＜2b+1 C． a﹣3＜b﹣3 D． ﹣a＜﹣b
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A． b2=c2﹣a2 B． a：b：c=3：4：5
C． ∠C=∠A﹣∠B D． ∠A：∠B：∠C=12：13：15
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A． 有一个内角大于60° B． 有一个内角小于60°
C． 每一个内角都大于60° D． 每一个内角都小于60°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=n，则△ABD的面积是（ ）
A． mn B． C． 2mn D．
8．已知△ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（ ）
A． cm B． cm C． 2ncm D． cm
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．已知等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则此等腰三角形的周长为 ．
10．等腰三角形的底角为15°，腰长为16，则腰上的高为 ．
11．已知点A（﹣1，2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是 ．
12．如果不等式无解，那么m的取值范围是 ．
13．如图，△ABC中，已知BC=12，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为28，则AC的长为 ．
14．观察图象，当x 时，y＞3？
三、作图题（共8分）
15．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知线段 a，h，求作以a为底、h为高的等腰三角形．
四、解答题（共70分）
16．（10分）（2015春•平度市期中）计算：
（1）解不等式，并把解集表示在数轴上；
（2）解不等式组．
17．已知，如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求证：AB=AC．
18．（10分）（2015春•平度市期中）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住5人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，问住宿人数是多少？
19．（12分）（2015春•平度市期中）在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的角平分线，在AB上截取AE=AC，连接DE．
（1）如图①，当∠C=90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？请给出证明．
（2）如图②，当∠C≠90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？不需要证明，直接写出你的猜想．
20．（10分）（2010春•沙坪坝区校级期末）已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．
（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．
（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．
2017-2018学年山东省青岛市平度市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=5cm，最长边AB的长是（ ）
A． 7cm B． 8cm C． 9cm D． 10cm
考点： 含30度角的直角三角形．
分析： 根据比例设∠A=k、∠B=2k、∠C=3k，然后利用三角形的内角和定理求出三个角的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解答： 解：设∠A=k、∠B=2k、∠C=3k，
则k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
所以，三角形的三个角分别为30°、60°、90°，
∵最小边BC=5cm，
∴最长边AB=2BC=2×5=10cm．
故选D．
点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
2．下列图中的“笑脸”，由下图按逆时针方向旋转90°得到的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 生活中的旋转现象．
分析： 根据旋转的性质，找出图中眼、嘴的关键处按逆时针方向旋转90度后的形状即可选择答案．
解答： 解：根据旋转的性质，图片按逆时针方向旋转90度，即正立状态转为逆时针的横向状态，从而可确定为A图．
故选A．
点评： 本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
3．不等式的解集是（ ）
A． x＜﹣2 B． x＜﹣1 C． x＜0 D． x＞2
考点： 解一元一次不等式．
专题： 计算题．
分析： 利用不等式的基本性质，将两边不等式同时乘以2，再移项、合并同类项，不等号的方向不变．
解答： 解：原不等式的两边同时乘以2，得
3x+2＜2x，
不等式的两边同时减去2x，得
x+2＜0，
不等式的两边同时减去2，得
x＜﹣2．
故选A．
点评： 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
4．当a＞b时，下列不等式中正确的是（ ）
A． 2a＜2b B． 2a+1＜2b+1 C． a﹣3＜b﹣3 D． ﹣a＜﹣b
考点： 不等式的性质．
分析： 根据不等式的性质进行解答．
解答： 解：A、在不等式a＞b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＞2b，故本选项错误；
B、在不等式a＞b的两边同时乘以2，再加1，不等式仍成立，即2a+1＞2b+1，故本选项错误；
C、在不等式a＞b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a﹣3＞b﹣3，故本选项错误；
D、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣1，不等号的方向改变，即﹣a＜﹣b，故本选项错误；
故选：D．
点评： 本题考查了不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A． b2=c2﹣a2 B． a：b：c=3：4：5
C． ∠C=∠A﹣∠B D． ∠A：∠B：∠C=12：13：15
考点： 勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
分析： 掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
解答： 解：A、由b2=c2﹣a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．
故选D．
点评： 本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理．
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A． 有一个内角大于60° B． 有一个内角小于60°
C． 每一个内角都大于60° D． 每一个内角都小于60°
考点： 反证法．
分析： 熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
解答： 解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：C．
点评： 本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=n，则△ABD的面积是（ ）
A． mn B． C． 2mn D．
考点： 角平分线的性质．
分析： 由已知条件，根据角平分线的性质，边AB上的高等于CD的长n，再由三角形的面积公式求得△ABD的面积．
解答： 解：∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴点D到AB的距离为CD的长，
∴S△ABD=mn．
故选B．
点评： 本题考查了角平分线的性质和三角形面积的计算．本题比较简单，直接应用角平分线的性质进行解题，属于基础题．
8．已知△ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（ ）
A． cm B． cm C． 2ncm D． cm
考点： 等腰直角三角形．
专题： 规律型．
分析： 根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的 倍，可以发现n个△，直角边是第（n﹣1）个△的斜边长，即可求出斜边长．
解答： 解：等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的 倍
第二个△（也就是△ACD）的斜边长：1×=；
第三个△，直角边是第一个△的斜边长，所以它的斜边长：×=；
…
第n个△，直角边是第（n﹣1）个△的斜边长，其斜边长为：．
故选B．
点评： 此题主要考查学生对等腰直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的 倍，从中发现规律．此题有一定的拔高难度，属于中档题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．已知等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则此等腰三角形的周长为 16cm或17cm． ．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 压轴题；分类讨论．
分析： 分为两种情况：①当腰时5cm，底边时6cm时，②当腰时6cm，底边时5cm时，求出即可．
解答： 解：①当腰时5cm，底边时6cm时，三边长是5cm、5cm、6cm，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是5cm+5cm+6cm=16cm；
②当腰时6cm，底边时5cm时，三边长是6cm、6cm、5cm，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是6cm+6cm+5cm=17cm；
故答案为：16cm或17cm．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分为两种情况讨论．
10．等腰三角形的底角为15°，腰长为16，则腰上的高为 8 ．
考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
分析： 作出图形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=AB．
解答： 解：如图，∵等腰三角形的底角为15°，
∴∠BAD=15°×2=30°，
∴BD=AB=×16=8．
故答案为：8．
点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
11．已知点A（﹣1，2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是 （﹣3，5） ．
考点： 坐标与图形变化-平移．
分析： 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
解答： 解：原来点的横坐标是﹣1，纵坐标是2，向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是﹣1﹣2=﹣3，纵坐标为2+3=5，即为（﹣3，5）．
故答案是（﹣3，5）．
点评： 本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
12．如果不等式无解，那么m的取值范围是 m≥7 ．
考点： 不等式的解集．
分析： 根据大大小小无处找，可得答案．
解答： 解：由不等式无解，得m≥7．
故答案为：m≥7．
点评： 本题考查了不等式的解集，确定不等式组解集的方法：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找．
13．如图，△ABC中，已知BC=12，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为28，则AC的长为 16 ．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，故AC=BE+CE，再根据BC=12，△BCE的周长为28即可得出结论．
解答： 解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE，AC=BE+CE，
∵BC=12，△BCE的周长为28，
∴BC+（BE+CE）=28，即BE+CE=28﹣12=16，
∴AC=16．
故答案为：16．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
14．观察图象，当x ＞4 时，y＞3？
考点： 一次函数与一元一次不等式．
分析： 观察图象，可知直线经过点B（4，3），又因为直线从左往右逐渐上升，即y随x的增大而增大，从而得出x＞4时，y＞3．
解答： 解：∵直线经过点B（4，3），
又∵直线从左往右逐渐上升，即y随x的增大而增大，
∴x＞4时，y＞3．
故答案为：＞4．
点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三、作图题（共8分）
15．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知线段 a，h，求作以a为底、h为高的等腰三角形．
考点： 作图—复杂作图．
分析： 首先作BC=a，进而作出线段BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上截取h，进而得出答案．
解答： 解：如图所示：△ABC即为所求．
点评： 此题主要考查了复杂作图，作出线段BC的垂直平分线是解题关键．
四、解答题（共70分）
16．（10分）（2015春•平度市期中）计算：
（1）解不等式，并把解集表示在数轴上；
（2）解不等式组．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
分析： （1）去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的方法解不等式，然后把解集表示在数轴上．
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答： 解：（1）将原不等式去分母得，
x﹣1≤3（5﹣x）
去括号得：x﹣1≤15﹣3x
移项得：x+3x≤15+1
合并同类项得：4x≤16
系数化为1得：x≤4
这个不等式的解集在数轴上表示：
（2），
由①得，x＜4；
由②得x≥﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式（组），熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．已知，如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求证：AB=AC．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先运用HL定理证明△BDE≌△CDF，进而得到∠B=∠C，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题．
解答： 证明：如图，
∵D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，△BDE、△CDF均为直角三角形；
在△BDE、△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
点评： 该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．
18．（10分）（2015春•平度市期中）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住5人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，问住宿人数是多少？
考点： 一元一次不等式组的应用．
分析： 假设宿舍共有x间，则住宿生人数是5x+19人，若每间住8人，则有一间不空也不满，说明住宿生若住满（x﹣1）间，还剩的人数大于或等于1人且小于8人，所以可列式1≤5x+19﹣8（x﹣1）＜8，解出x的范围讨论．
解答： 解：设有宿舍x间．住宿生人数5x+19人．
由题意得，1≤5x+19﹣8（x﹣1）＜8，
即1≤﹣3x+27＜8，
解得：6＜x≤8．
因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是7间或8间，
当宿舍是7间时，住宿人数为5×7+19=54；
当宿舍是8间时，住宿人数为5×8+19=59．
答：住宿人数是54或59人．
点评： 本题考查一元一次不等式的应用，对题目逐字分析，找出隐含（数学中的客观事实，但在题目中不存在）或题目中存在的条件．列出不等式关系，求解．
19．（12分）（2015春•平度市期中）在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的角平分线，在AB上截取AE=AC，连接DE．
（1）如图①，当∠C=90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？请给出证明．
（2）如图②，当∠C≠90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？不需要证明，直接写出你的猜想．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
分析： （1）由角平分线的性质证明△ADE≌△ADC就可以得出DE=CD，进而证明BE=DE就可以得出结论；
（2）由角平分线的性质证明△ADE≌△ADC就可以得出DE=CD，进而由外角与内角的关系可以得出BE=DE就可以得出结论．
解答： 解：（1）AB=AC+CD．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
在△ACD和△BAC中，
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=ED，∠ACD=∠AED．
∵∠ACD=90°=2∠B，
∴∠AED=90°=2∠B，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=45°，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=ED，
∴BE=CD．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
（2）AB=AC+CD．
理由：：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
在△ACD和△BAC中，
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=ED，∠ACD=∠AED．
∵∠ACD=2∠B，
∴∠AED=2∠B．
∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴2∠B=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE
∴BE=ED，
∴BE=CD．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
点评： 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
20．（10分）（2010春•沙坪坝区校级期末）已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．
（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．
（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： （1）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△EBD≌△FCD，推出ED=DF，得出等边三角形，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得出答案；
（2）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得出答案．
解答： （1）证明：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°，
在△EBD和△FCD中
，
∴△EBD≌△FCD（SAS），
∴ED=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∵△EBD≌△FCD，
∴∠EDB=∠FDC，
∵在△NBD和△FCD中
，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠EDB=∠FDC，
∴∠EDB=∠BDN=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中
，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即△EDF是等边三角形，BE+CF=EF．
（2）解：BE+CF=EF还成立，理由是：
延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD和△FCD中
，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中
，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．
点评： 本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，但是证明过程类似．
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