浙江省杭州市富阳市新登中八年级下学期期中数学试卷【解析版】

这是一份浙江省杭州市富阳市新登中八年级下学期期中数学试卷【解析版】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省杭州市富阳市八年级下学期期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是( )
A． B． C． D．

2．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是( )
A．1，3，5 B．1，﹣3，0 C．﹣1，0，5 D．1，3，0

3．三角形的两边长为2和4，第三边长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长是( )
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定

4．一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是( )
A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.2
[来源:Z+xx+k.Com]
5．使代数式有意义的x的取值范围是( )
A．x≠3 B．x＜7且x≠3 C．x≤7且x≠2 D．x≤7且x≠3

6．式子有意义，则点P（a，b）在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为( )
A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜16

8．温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共为40000元．如果平均每月的增长率为x，则由题意可列出方程为( )
A．8000（1+x）2=40000 B．8000+8000（1+x）2=40000
C．8000+8000×2x=40000 D．8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000

9．已知a，b，c满足a+c=b，4a+c=2b，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情况为( )
A．x1=1，x2=2
B．x1=﹣1，x2=﹣2
C．方程的解与a，b的取值有关
D．方程的解与a，b，c的取值有关

10．已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是( )
A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1


二、填空题（每小题4分，共24分）
11．若代数式x2+2x﹣1的值为0，则2x2+4x+1的值为__________．

12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是__________．

13．一组数据1，3，2，5，2，a的众数是a，这组数据的中位数是__________．

14．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标为（0，0）、（4，0）、（2，﹣3），以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第__________象限．

15．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程的两个实数根，则△ABC的周长为__________．

16．已知m是一元二次方程x2﹣9x+1=0的解，则=__________．


三、解答题（本题7小题，共66分）
17．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，在所给网格中按下列要求画出图形：
（1）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为，且点B在格点上；
（2）以上题中所画线段AB为一边，另外两条边长分别是3，2，画一个三角形ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）；
（3）所画的三角形ABC的AB边上高线长为__________（直接写出答案）


18．用适当方法解下列方程：
（1）2（x﹣3）（x+1）=x+1
（2）x2﹣（1+2）x+﹣3=0．

19．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
试项目 测试成绩
甲 乙 丙
教学能力 85 73 73[来源:Zxxk.Com]
科研能力 70 71 65
组织能力 64 72 84
（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5：3：2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

20．有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？


21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

22．银隆百货大楼服装柜在销售中发现：“COCOTREE”牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．
（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？
（2）这次降价活动中，1200元是最高日利润吗？若是，请说明理由；若不是，请试求最高利润值．

23．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．




浙江省杭州市富阳市新登中学2017-2018学年八年级下学期期中数学试卷


一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是( )
A． B． C． D．

考点：二次根式的加减法．
专题：计算题．
分析：根据二次根式的化简及同类二次欧根式的合并分别计算各选项，然后对比选项即可．
解答： 解：A、和不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C、3﹣=3﹣2=，故本选项正确；
D、3和不能合并，故本选项错误．
故选C．
点评：此题考查了二次根式的加减运算，解答本题需要我们掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．

2．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是( )
A．1，3，5 B．1，﹣3，0 C．﹣1，0，5 D．1，3，0

考点：一元二次方程的定义．
分析：一元二次方程的一般式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项；其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．把方程x（x+2）=5x化成一般式，问题可求．
解答： 解：∵x（x+2）=5x，∴x2+2x﹣5x=0，
∴x2﹣3x=0；∴a=1，b=﹣3，c=0．
故选B．
点评：本题要明确a、b、c的含义分别是指一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．说明一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项时首先要把方程化为一般形式．

3．三角形的两边长为2和4，第三边长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长是( )[来源:Z§xx§k.Com]
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定

考点：三角形三边关系；解一元二次方程-因式分解法．
分析：首先解方程x2﹣6x+8=0得：x1=2，x2=4，再根据三角形的三边关系确定第三边长为x=4，再求出三角形的周长即可．
解答： 解：解方程x2﹣6x+8=0，
得：x1=2，x2=4，
∵2+2=4，
∴x=2不合题意舍去，
∴x=4，
∴这个三角形的周长是：2+4+4=10，
故选：B．
点评：此题主要考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，关键是正确确定三角形的第三边的长度．

4．一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是( )
A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.2

考点：方差；中位数；众数．
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．利用方差公式计算方差．
解答： 解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为[（3﹣2）2+3×（2﹣2）2+（1﹣2）2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．
故选B．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、方差和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

5．使代数式有意义的x的取值范围是( )
A．x≠3 B．x＜7且x≠3 C．x≤7且x≠2 D．x≤7且x≠3

考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析：根据分式有意义的条件，被开方数为非负数可得7﹣x≥0，再根据分母≠0，可知2x﹣6≠0，解可得答案．
解答： 解：∵代数式有意义，
∴7﹣x≥0，且2x﹣6≠0，
解得：x≤7且x≠3，
故选：D．
点评：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是保证二次根式中的被开方数是非负数，分母≠0．

6．式子有意义，则点P（a，b）在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；点的坐标．
分析：根据二次根式的被开方数一定是非负数，即可确定a，b的符号，从而确定P所在象限．
解答： 解：根据题意得：a≥0，且﹣ab＞0，则a＞0，b＜0．
∴点P（a，b）在第四象限．
故选D．
点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

7．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为( )
A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜16
[来源:Zxxk.Com]
考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．
分析：根据平行四边形周长公式求得AB、BC的长度，然后由三角形的三边关系来求对角线AC的取值范围．
解答： 解：∵平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，
∴2（AB+BC）=2（BC+BC）=32，
∴BC=10，
∴AB=6，
∴BC﹣AB＜AC＜BC+AB，即4＜AC＜16．
故选D．

点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形三边关系．三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．

8．温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共为40000元．如果平均每月的增长率为x，则由题意可列出方程为( )
A．8000（1+x）2=40000 B．8000+8000（1+x）2=40000
C．8000+8000×2x=40000 D．8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000

考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果平均每月的增长率为x，根据题意即可列出方程．
解答： 解：设平均每月的增长率为x，
则十一月份的营业额为8000（1+x），
十二月份的营业额为8000（1+x）2，
由此列出方程：8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000．
故选：D．
点评：本题主要考查：复利公式：“a（1+x）n=b”的应用，理解公式是解决本题的关键．

9．已知a，b，c满足a+c=b，4a+c=2b，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情况为( )
A．x1=1，x2=2
B．x1=﹣1，x2=﹣2
C．方程的解与a，b的取值有关
D．方程的解与a，b，c的取值有关

考点：一元二次方程的解．
专题：方程思想．
分析：由于a+c=b，4a+c=2b，由此可以得到b=3a，c=2a，代入方程中即可消去a、b、c，接着就可以得到方程的根的情况．
解答： 解：∵a+c=b ①，4a+c=2b ②，
∴②﹣①得：3a=b，
∴c=2a，
分别代入原方程中得
x2+3x+2=0，
∴x1=﹣1，x2=﹣2．
故选B
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题时根据已知条件确定a、b、c之间的关系，然后代入方程即可确定方程根的情况．

10．已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是( )
A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1

考点：换元法解分式方程．
专题：换元法．
分析：利用完全平方公式可把原式变为（x﹣）2+x﹣﹣2=0，用十字相乘法可得x﹣的值．
解答： 解：x2+﹣2+x﹣﹣2=0
∴（x﹣）2+（x﹣）﹣2=0
解得x﹣=﹣2或1．
故选D
点评：本题的关键是把x﹣看成一个整体来计算，即换元法思想．

二、填空题（每小题4分，共24分）
11．若代数式x2+2x﹣1的值为0，则2x2+4x+1的值为3．

考点：代数式求值．
分析：首先根据x2+2x﹣1的值为0，求出2x2+4x﹣2的值是多少；然后用2x2+4x﹣2的值加上3，求出2x2+4x+1的值为多少即可．
解答： 解：∵x2+2x﹣1=0，
∴2（x2+2x﹣1）=0，
即2x2+4x﹣2=0，
∴2x2+4x+1
=（2x2+4x﹣2）+3
=0+3
=3
所以2x2+4x+1的值为3．
故答案为：3．
点评：此题主要考查了代数式的求值问题，采用代入法即可，注意不能跨度太大，而缺少必要的步骤，解答此题的关键是求出2x2+4x﹣2的值是多少．

12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1．

考点：一元二次方程的解．
分析：根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．[来源:学科网ZXXK]
解答： 解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

13．一组数据1，3，2，5，2，a的众数是a，这组数据的中位数是2．

考点：中位数；众数．
分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此可得出a的值，将数据从小到大排列可得出中位数．[来源:Z#xx#k.Com]
解答： 解：1，3，2，5，2，a的众数是a，
∴a=2，
将数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，5，
中位数为：2．
故答案为：2．
点评：本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，属于基础题．

14．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标为（0，0）、（4，0）、（2，﹣3），以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第二象限．

考点：平行四边形的判定；坐标与图形性质．
专题：几何变换．
分析：根据坐标与图形的性质和平行四边形的对边平行且相等可以画出草图，然后解答即可．
解答： 解：A、B、C三点位置如图所示，
要使四边形ABCD为平行四边形，则点D有三种可能，
即分别以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，[来源:学科网ZXXK]
故第四个顶点不可能在第二象限．
故答案为：二．

点评：本题考查了平行四边形的判断和性质，解题的关键是利用已知条件正确画图再数形结合，能起到事半功倍的作用．

15．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程的两个实数根，则△ABC的周长为10．

考点：根的判别式；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
分析：首先判断出方程的根的判别式非负；然后根据△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：（1）△=0时，方程有两个相同的实根，此时b=c；（2）△＞0时，方程有两个不同的实根，方程其中的一个实根是4，据此求出b、c的长度各是多少；最后根据三角形的周长公式的求法，把三条边的长度求和，求出△ABC的周长为多少即可．
解答： 解：方程的根的判别式：
∴△=
=4k2+4k+1﹣16k+8
=4k2﹣12k+9
=4
（1）当k=时，△=0，方程有两个相同的实根，
∴b=c==2，
∵b+c=2+2=4=a，与三角形任意两边的和大于第三边矛盾；
∴b=c=2不满足题意；
（2）当k＞时，△＞0，方程有两个不同的实根，
∵x=4是方程的一个实根，
∴，
∴k=2.5，
∴x2﹣6x+8=0，
解得x=2或x=4，
∴△ABC的周长为：
4+2+4=10．
故答案为：10．
点评：（1）此题主要考查了根的判别式，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要明确：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的含义以及求法的应用，以及一元二次方程的求解方法，要熟练掌握．

16．已知m是一元二次方程x2﹣9x+1=0的解，则=17．

考点：一元二次方程的解．
分析：将x=m代入该方程，得m2﹣9m+1=0，通过变形得到m2﹣7m=2m﹣1，m2+1=9m；然后在方程m2﹣9m+1=0两边同时除以m，得到m+=9，代入即可求得所求代数式的值．
解答： 解：∵m是一元二次方程x2﹣9x+1=0的解，
∴m2﹣9m+1=0，
∴m2﹣7m=2m﹣1，m2+1=9m，
∴=2m﹣1+=2（m+）﹣1，
∵m2﹣9m+1=0，
∴m≠0，在方程两边同时除以m，
得m﹣9+=0，即m+=9，
∴=2（m+）﹣1=2×9﹣1=17．
故答案是：17．
点评：此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．

三、解答题（本题7小题，共66分）
17．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，在所给网格中按下列要求画出图形：
（1）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为，且点B在格点上；
（2）以上题中所画线段AB为一边，另外两条边长分别是3，2，画一个三角形ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）；
（3）所画的三角形ABC的AB边上高线长为（直接写出答案）


考点：勾股定理．
专题：作图题．
分析：（1）根据勾股定理可知使线段AB为直角边为2和1的直角三角形的斜边即可；
（2）作出另外两条边长分别是3，2的三角形ABC即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得到所画的三角形ABC的AB边上高线长．
解答： 解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）三角形ABC的AB边上高线长为：×3×2×2÷
=3×2÷
=．
故答案为：．

点评：本题考查了勾股定理、此题要读懂题目要求，设计画图方案也比较灵活，目的培养学生运算能力，动手能力．

18．用适当方法解下列方程：
（1）2（x﹣3）（x+1）=x+1
（2）x2﹣（1+2）x+﹣3=0．

考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：计算题．
分析：（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：（1）方程移项得：2（x﹣3）（x+1）﹣（x+1）=0，
分解因式得：（x+1）（2x﹣6﹣1）=0，
解得：x1=﹣1，x2=3.5；
（2）分解因式得：（x﹣）（x﹣1+）=0，
解得：x1=，x2=1﹣．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．[来源:学*科*网]

19．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
试项目 测试成绩[来源:Z|xx|k.Com]
甲 乙 丙
教学能力 85 73 73
科研能力 70 71 65
组织能力 64 72 84
（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5：3：2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

考点：加权平均数．
专题：图表型．
分析：（1）运用求平均数公式：即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；
（2）将三人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．
解答： 解：（1）甲的平均成绩为：（85+70+64）÷3=73，
乙的平均成绩为：（73+71+72）÷3=72，
丙的平均成绩为：（73+65+84）÷3=74，
∴丙的平均成绩最好，候选人丙将被录用；

（2）甲的测试成绩为：（85×5+70×3+64×2）÷（5+3+2）=76.3，
乙的测试成绩为：（73×5+71×3+72×2）÷（5+3+2）=72.2，
丙的测试成绩为：（73×5+65×3+84×2）÷（5+3+2）=72.8，
∴甲的综合成绩最好，候选人甲将被录用．
点评：本题是平均数的综合运用题．解题的关键是熟记平均数的概念．
[来源:学科网ZXXK]
20．有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？


考点：矩形的判定与性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；解直角三角形．
专题：计算题．
分析：过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．
解答： 解：
过C作CM∥AB，交AD于M，
∵∠A=120°，∠B=60°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AM∥BC，
∵AB∥CM，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，
∵AD∥BC，∠C=150°，
∴∠D=180°﹣150°=30°，
∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，
∴CM=DM=60cm，
∴AD=60cm+80cm=140cm．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．

21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

考点：一元二次方程的应用．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
解答： 解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．

22．银隆百货大楼服装柜在销售中发现：“COCOTREE”牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．
（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？
（2）这次降价活动中，1200元是最高日利润吗？若是，请说明理由；若不是，请试求最高利润值．

考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．
分析：（1）首先设每件降价x元，则每件实际盈利为（100﹣60﹣x）元，销售量为件，用每件盈利×销售量=每天盈利，列方程求解．为了扩大销售量，x应取较大值．
（2）设每天销售这种童装利润为y，利用（1）中的关系列出函数关系式，利用配方法解决问题．
解答： 解：（1）设每件童装应降价x元，由题意得：
（100﹣60﹣x）=1200，
解得：x1=10，x2=20，
因要减少库存，故取 x=20，
答：每件童装应定价80元．

（2）1200不是最高利润，
y=（100﹣60﹣x）
=﹣2x 2+60x+800
=﹣2（x﹣15）2+1250
故当降价15元，即以85元销售时，最高利润值达1250元．
点评：此题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润，进而列方程与函数关系解决实际问题．

23．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．


考点：一元二次方程的应用．
专题：几何动点问题．
分析：（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面积公式进行解答即可；
（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（3）本题可先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可
解答： 解：（1）经过秒时，AP=cm，BQ=cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=3﹣=cm，
∴△PBQ的面积=BP•BQ•sin∠B=×××=；

（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，
即t=（3﹣t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
3﹣t=t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=，
∴PM=PB•sin∠B=（3﹣t），
∴S△PBQ=BQ•PM=•t•（3﹣t），
∴y=S△ABC﹣S△PBQ=×32×﹣×t×（3﹣t）
=t2﹣t+，
∴y与t的关系式为y=t2﹣t+，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC=S△ABC，
∴t2﹣t+=××32×，
∴t2﹣3t+3=0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．

点评：本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．