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福建省三明市列东中学2018届九年级（上）期中数学试卷（解析版）
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这是一份福建省三明市列东中学2018届九年级（上）期中数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年福建省三明市列东中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）
1．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（ ）
A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6
C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%
4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（ ）
A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2
5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（ ）
A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（ ）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）
11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是 ．
12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是 ．
13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为 ．
14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC= cm．
15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是 （填序号）
三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）
17．解下列方程：
（1）x2﹣2x=0
（2）2（x+1）2﹣8=0
（3）x2﹣4x+3=0
（4）（2x+1）2=3（2x+1）
18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为 ；
（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）求证：四边形ADCE是菱形；
（3）若AB=AO，求的值．
21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
（1）求∠EDG的度数．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为6，求线段AG的长．
23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．
（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；
（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．
2017-2018学年福建省三明市列东中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）
1．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、不是整式方程，故错误．
C、方程二次项系数可能为0，故错误；
D、方程含有两个未知数，故错误；
故选A．
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
【考点】命题与定理．
【分析】利用菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；
C、对角线互相平分且相等、垂直的四边形是正方形，故错误，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，
故选B．
3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（ ）
A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6
C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%
【考点】频数与频率．
【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率．
【解答】解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上4次，反面朝上6次，
∴出现正面的频率为=40%；出现反面的频率为60%．
故选：D．
4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（ ）
A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2
【考点】黄金分割．
【分析】根据黄金比是进行解答即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，（AC＞BC），
∴AC=AB，
∴AC：AB=（﹣1）：2．
故选：C．
5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【考点】中点四边形．
【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．
【解答】解：菱形，理由为：
如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵EH=BD，AC=BD，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形，
故选B
6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（ ）
A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．
∴800（1﹣x%）2=512．
故选C．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到∴=，则EC=2AE=8，然后计算AE+EC即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∴EC=2AE=8，
∴AC=AE+EC=4+8=12（cm）．
故选D．
8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（ ）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；
到Q点以后，面积y开始减小；
故当x=9时，点R应运动到Q处．
故选C．
9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，
∴≤k＜，且k≠0．
故选：D．
二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）
11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是 16 ．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得．
【解答】解：两个相似的六边形，一个最短边长是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似六边形的对应边的比相等，设后一个六边形的最大边长为x，
则8：x=1：2，
解得：x=16．
即后一个六边形的最大边长为16．
故答案为16．
12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为 4cm ．
【考点】比例线段．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad=cb，
代入a=3cm，b=2cm，c=6cm，
解得：d=4，
则d=4cm．
故答案为：4cm．
14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC= 6 cm．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD．
【解答】解：∵BD是斜边AC上的中线，
∴AC=2BD=2×3=6cm．
故答案为：6．
15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是 ∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB ．（只要写出一种）
【考点】相似三角形的判定．
【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．
【解答】解：∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是 ①④ （填序号）
【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．
【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．
【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，
∵AE=AB，
∴BE=PE=2AE，
∴∠APE=30°，
∴∠PEF=∠BEF=60°，
∴∠EFB=∠EFP=30°，
∴EF=2BE，PF=PE，
∴①正确，②不正确；
又∵EF⊥BP，
∴EF=2BE=4EQ，
∴③不正确；
又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴④正确；
所以正确的为①④，
故答案为：①④．
三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）
17．解下列方程：
（1）x2﹣2x=0
（2）2（x+1）2﹣8=0
（3）x2﹣4x+3=0
（4）（2x+1）2=3（2x+1）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】（1）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）移项后分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2；
（2）2（x+1）2﹣8=0，
2（x+1+2）（x+1﹣2）=0，
x+1+2=0，x+1﹣2=0，
x1=﹣3，x2=1；
（3）x2﹣4x+3=0，
（x﹣3）（x﹣1）=0，
x﹣3=0，x﹣1=0，
x1=3，x2=1；
（4）（2x+1）2=3（2x+1），
（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，
（2x+1）（2x+1﹣3）=0，
2x+1=0，2x+1﹣3=0，
x1=﹣，x2=1．
18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为 ；
（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，再根据概率公式即可求出答案；
（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出和为7和和为10的概率，即可得出游戏的公平性．
【解答】解：（1）∵三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，
∴从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为：；
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
2
5
5
2
（2，2）（4）
（2，5）（7）
（2，5）（7）
5
（5，2）（7）
（5，5）（10）
（5，5）（10）
5
（5，2）（7）
（5，5）（10）
（5，5）（10）
∵共有9种可能的结果，其中数字和为7的共有4种，数字和为10的共有4种，
∴P（数字和为7）=，P（数字和为10）=，
∴P（数字和为7）=P（数字和为10），
∴游戏对双方公平．
20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）求证：四边形ADCE是菱形；
（3）若AB=AO，求的值．
【考点】四边形综合题；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【分析】（1）先判定四边形ABDE为平行四边形，再判定四边形ADCE为平行四边形，即可得出AD=EC；
（2）根据四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，即可得出平行四边形ADCE为菱形；
（3）先判定OD为△ABC的中位线，得出，再根据AB=AO，得出即可．
【解答】解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE=BD，
∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，
∴AD=CD=BD，
∴AE=CD，
又∵AE∥CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴AD=EC；
（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，
∴平行四边形ADCE为菱形；
（3）∵四边形ADCE为平行四边形，
∴AC与ED互相平分，
∴点O为AC的中点，
∵AD是边BC上的中线，
∴点D为BC边中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴，
∵AB=AO，
∴，
即的值为．
21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．
【解答】解：设每件童装应降价x元，则
（40﹣x）（20+2x）=1200，
解得x1=10，x2=20，
因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，
所以x只取20．
答：每件童装应降价20元．
22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
（1）求∠EDG的度数．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为6，求线段AG的长．
【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；
（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；
②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；
【解答】（1）解：如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，
=（∠ADF+∠FDC），
=×90°，
=45°；
（2）①证明：如图2所示：
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，
∴∠5=∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6，
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，
∴2∠5=2∠DEC，
即∠5=∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，
∵正方形边长为6，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE=×6=3，
∴GE=EF+GF=3+x，
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，
解得：x=2，
即线段AG的长为2．
23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．
（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；
（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；
（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．
【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形
理由：如图1，∵AD：AB=1：1，
∴AD=AB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴∠FAE﹣∠BAE=∠BAD﹣∠BAE，
即∠BAF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴△ABF∽△ADE，
∴．
∵，
∴，
即AF=2AE；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∵△AEG是等边三角形，
∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．
∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，
∴AG=FG．
∵AB=3，AD：AB=k，
∴AD=3k．
在Rt△ADE中由勾股定理，得
DE=k，AE=2k，
∴AG=FG=2k，
∴BG=k．
∵AB=3，
∴GB=3﹣2k，
∴k=3﹣2k，
解得：k=，
∴DE=1．
答：k=，DE=1．
2017-2018学年福建省三明市列东中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）
1．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（ ）
A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6
C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%
4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（ ）
A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2
5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（ ）
A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（ ）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）
11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是 ．
12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是 ．
13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为 ．
14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC= cm．
15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是 （填序号）
三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）
17．解下列方程：
（1）x2﹣2x=0
（2）2（x+1）2﹣8=0
（3）x2﹣4x+3=0
（4）（2x+1）2=3（2x+1）
18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为 ；
（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）求证：四边形ADCE是菱形；
（3）若AB=AO，求的值．
21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
（1）求∠EDG的度数．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为6，求线段AG的长．
23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．
（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；
（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．
2017-2018学年福建省三明市列东中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）
1．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、不是整式方程，故错误．
C、方程二次项系数可能为0，故错误；
D、方程含有两个未知数，故错误；
故选A．
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
【考点】命题与定理．
【分析】利用菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；
C、对角线互相平分且相等、垂直的四边形是正方形，故错误，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，
故选B．
3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（ ）
A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6
C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%
【考点】频数与频率．
【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率．
【解答】解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上4次，反面朝上6次，
∴出现正面的频率为=40%；出现反面的频率为60%．
故选：D．
4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（ ）
A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2
【考点】黄金分割．
【分析】根据黄金比是进行解答即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，（AC＞BC），
∴AC=AB，
∴AC：AB=（﹣1）：2．
故选：C．
5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【考点】中点四边形．
【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．
【解答】解：菱形，理由为：
如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵EH=BD，AC=BD，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形，
故选B
6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（ ）
A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．
∴800（1﹣x%）2=512．
故选C．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到∴=，则EC=2AE=8，然后计算AE+EC即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∴EC=2AE=8，
∴AC=AE+EC=4+8=12（cm）．
故选D．
8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（ ）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；
到Q点以后，面积y开始减小；
故当x=9时，点R应运动到Q处．
故选C．
9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，
∴≤k＜，且k≠0．
故选：D．
二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）
11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是 16 ．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得．
【解答】解：两个相似的六边形，一个最短边长是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似六边形的对应边的比相等，设后一个六边形的最大边长为x，
则8：x=1：2，
解得：x=16．
即后一个六边形的最大边长为16．
故答案为16．
12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为 4cm ．
【考点】比例线段．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad=cb，
代入a=3cm，b=2cm，c=6cm，
解得：d=4，
则d=4cm．
故答案为：4cm．
14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC= 6 cm．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD．
【解答】解：∵BD是斜边AC上的中线，
∴AC=2BD=2×3=6cm．
故答案为：6．
15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是 ∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB ．（只要写出一种）
【考点】相似三角形的判定．
【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．
【解答】解：∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是 ①④ （填序号）
【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．
【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．
【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，
∵AE=AB，
∴BE=PE=2AE，
∴∠APE=30°，
∴∠PEF=∠BEF=60°，
∴∠EFB=∠EFP=30°，
∴EF=2BE，PF=PE，
∴①正确，②不正确；
又∵EF⊥BP，
∴EF=2BE=4EQ，
∴③不正确；
又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴④正确；
所以正确的为①④，
故答案为：①④．
三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）
17．解下列方程：
（1）x2﹣2x=0
（2）2（x+1）2﹣8=0
（3）x2﹣4x+3=0
（4）（2x+1）2=3（2x+1）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】（1）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）移项后分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2；
（2）2（x+1）2﹣8=0，
2（x+1+2）（x+1﹣2）=0，
x+1+2=0，x+1﹣2=0，
x1=﹣3，x2=1；
（3）x2﹣4x+3=0，
（x﹣3）（x﹣1）=0，
x﹣3=0，x﹣1=0，
x1=3，x2=1；
（4）（2x+1）2=3（2x+1），
（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，
（2x+1）（2x+1﹣3）=0，
2x+1=0，2x+1﹣3=0，
x1=﹣，x2=1．
18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为 ；
（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，再根据概率公式即可求出答案；
（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出和为7和和为10的概率，即可得出游戏的公平性．
【解答】解：（1）∵三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，
∴从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为：；
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
2
5
5
2
（2，2）（4）
（2，5）（7）
（2，5）（7）
5
（5，2）（7）
（5，5）（10）
（5，5）（10）
5
（5，2）（7）
（5，5）（10）
（5，5）（10）
∵共有9种可能的结果，其中数字和为7的共有4种，数字和为10的共有4种，
∴P（数字和为7）=，P（数字和为10）=，
∴P（数字和为7）=P（数字和为10），
∴游戏对双方公平．
20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）求证：四边形ADCE是菱形；
（3）若AB=AO，求的值．
【考点】四边形综合题；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【分析】（1）先判定四边形ABDE为平行四边形，再判定四边形ADCE为平行四边形，即可得出AD=EC；
（2）根据四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，即可得出平行四边形ADCE为菱形；
（3）先判定OD为△ABC的中位线，得出，再根据AB=AO，得出即可．
【解答】解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE=BD，
∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，
∴AD=CD=BD，
∴AE=CD，
又∵AE∥CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴AD=EC；
（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，
∴平行四边形ADCE为菱形；
（3）∵四边形ADCE为平行四边形，
∴AC与ED互相平分，
∴点O为AC的中点，
∵AD是边BC上的中线，
∴点D为BC边中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴，
∵AB=AO，
∴，
即的值为．
21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．
【解答】解：设每件童装应降价x元，则
（40﹣x）（20+2x）=1200，
解得x1=10，x2=20，
因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，
所以x只取20．
答：每件童装应降价20元．
22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
（1）求∠EDG的度数．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为6，求线段AG的长．
【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；
（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；
②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；
【解答】（1）解：如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，
=（∠ADF+∠FDC），
=×90°，
=45°；
（2）①证明：如图2所示：
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，
∴∠5=∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6，
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，
∴2∠5=2∠DEC，
即∠5=∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，
∵正方形边长为6，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE=×6=3，
∴GE=EF+GF=3+x，
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，
解得：x=2，
即线段AG的长为2．
23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．
（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；
（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；
（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．
【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形
理由：如图1，∵AD：AB=1：1，
∴AD=AB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴∠FAE﹣∠BAE=∠BAD﹣∠BAE，
即∠BAF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴△ABF∽△ADE，
∴．
∵，
∴，
即AF=2AE；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∵△AEG是等边三角形，
∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．
∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，
∴AG=FG．
∵AB=3，AD：AB=k，
∴AD=3k．
在Rt△ADE中由勾股定理，得
DE=k，AE=2k，
∴AG=FG=2k，
∴BG=k．
∵AB=3，
∴GB=3﹣2k，
∴k=3﹣2k，
解得：k=，
∴DE=1．
答：k=，DE=1．
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