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2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第8讲 分式方程
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这是一份2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第8讲 分式方程，共29页。试卷主要包含了分式方程，解分式方程的一般步骤，分式方程的应用，关于的方程等内容，欢迎下载使用。
知识回顾
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设 ，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解 方程，求出辅助未知数的值；③ 把 代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .
基础检测
1．（2017哈尔滨）方程=的解为（ ）
A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5
2．（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3
4．（2017乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5 B．﹣=5
C． +5= D．﹣=5
5．（2017青海西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ）
A． +=1 B． += C． += D． +=1
6．（2017•新疆）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
7. （2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
考点解析
题型一 分式方程的解法
【例题】（2017黑龙江佳木斯）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≥1C．a≥1且a≠9D．a≤1
【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．
【分析】根据分式方程的解法即可求出a的取值范围；
【解答】解：3（3x﹣a）=x﹣3，
9x﹣3a=x﹣3，
8x=3a﹣3
∴x=，
由于该分式方程有解，
令x=代入x﹣3≠0，
∴a≠9，
∵该方程的解是非负数解，
∴≥0，
∴a≥1，
∴a的范围为：a≥1且a≠9，
故选（C）
【变式】
1．（2017•黑龙江）若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a＞1C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4
【考点】B2：分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
解得：x=2a-23，
由题意得：2a-23≥0且2a-23≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
2.解方程：．
【答案】．
【解析】方程两边同乘以，得，
解得．
经检验，是原方程的根．
∴原方程的解为．
题型二 分式方程的增根
【例题】（2017毕节）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【考点】B5：分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），
得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）=0，
解得x=1，
当x=1时，7=2m﹣1，
解得m=4，
所以m的值为4．
故选C．
【变式】
（2017山东聊城）如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【考点】B5：分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
【解答】解：﹣=1，
去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：
m+2x=x﹣2，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当x=2时，m+4=2﹣2，
m=﹣4，
故选D．
题型三 分式方程的应用
【例题】（2017山东泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（ ）
A．﹣10=B． +10=
C．﹣10=D． +10=
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．
【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
+10=．
故选：B．
２．（2016·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
【考点】分式方程的应用．
【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．
【解答】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，
根据题意，得： =2×，
解得：x=3.2，
经检验：x=3.2是原分式方程的解，且符合题意，
答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键．
【变式】
1．（2016•南充）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A． =B． =
C． =D． =
【分析】直接利用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：
=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
2.（2015·辽宁大连）甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？
【答案】24和21个
【解析】
试题分析：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，根据等量关系：甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，列出方程即可得解；
试题解析：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，由题意得：
解得x=21，经检验x=21是方程的解，x+3=24.
答：甲乙两人每小时各做24和21个零件.
【点评】列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．
【典例解析】
【例题1】．（2017山东滨州）分式方程﹣1=的解为（ ）
A．x=1B．x=﹣1C．无解D．x=﹣2
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，
整理得：2x﹣x+2=3
解得：x=1，
检验：把x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，
所以分式方程的无解．
故选C．
【例题2】（2017山东泰安）分式与的和为4，则x的值为 3 ．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】首先根据分式与的和为4，可得： +=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：∵分式与的和为4，
∴+=4，
去分母，可得：7﹣x=4x﹣8
解得：x=3
经检验x=3是原方程的解，
∴x的值为3．
故答案为：3．
【例题3】（2017•温州）甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程： QUOTE 160x= QUOTE 200x+5 ．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间= QUOTE 铺设任务铺设速度和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．
【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得： QUOTE 160x= QUOTE 200x+5．
故答案是： QUOTE 160x= QUOTE 200x+5．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
【例题4】（2017贵州安顺）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．
【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，
=
x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
中考热点
【中考热点】
考点1．（2017•宜昌）分式方程=1的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x=C．x=1 D．x=2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
则分式方程的解为x=﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，还有注意不要忘了检验．
考点2．（2016•重庆）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．
【分析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．
【解答】解：解得，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
解方程﹣=﹣1得x=，
∵x=为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，
故选B．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
考点3．（2016•内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A． =B． =C． =D． =
【分析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
【解答】解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
=，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
考点4. （2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．
（1）求这种笔和本子的单价；
（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．
【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．
【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：
=，
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解，
则x﹣4=6．
答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，
由题意得：10m+6n=100，
整理得：m=10﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；
∴有三种方案：
①购买这种笔7支，购买本子5本；
②购买这种笔4支，购买本子10本；
③购买这种笔1支，购买本子15本．
达标测试
一、选择题
1. （2017•新疆）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
2．（2017湖南岳阳）解分式方程﹣=1，可知方程的解为（ ）
A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解
3. （2016·黑龙江龙东·3分）关于x的分式方程=3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
4．分式方程的解为：（ ）
A、1 B、2 C、 D、0
5. （2016·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣= D．﹣=
6．（2016·四川内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
7．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
8. （2016·山东潍坊·3分）若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣
9．关于的方程：的解是，，解是， ， 则的解是 （ ）
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题
10. （2017.江苏宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 ．
11．（2017湖北荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为 ．
12. （2017四川南充）如果=1，那么m= ．
13．若关于x的方程 无解，则m=________.
14．（2016·四川泸州）分式方程﹣=0的根是 ．
15．（2016·四川攀枝花）已知关于x的分式方程+=1的解为负数，则k的取值范围是 ．
三、解答题
16.解分式方程：
（1）（2017宁夏）解方程：﹣=1．
（2）解方程： +2=．
17．（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
18．（2016·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？
19．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
20．（2017广西河池）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
21．“2017年张学友演唱会”于6月3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
答案与解析
【知识归纳】
1．分式方程:字母.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）分母的最小公倍数；
（2）解这个整式方程；
（3）最简公分母.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
（1）方程的根；（2）符合题意.
【基础检测答案】
1．（2017哈尔滨）方程=的解为（ ）
A．x=3B．x=4C．x=5D．x=﹣5
【考点】B3：解分式方程．
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：2（x﹣1）=x+3，
2x﹣2=x+3，
x=5，
令x=5代入（x+3）（x﹣1）≠0，
故选（C）
2．（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（ ）
A．﹣1或3B．﹣1C．3D．1或﹣3
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，
解得：x=﹣1或x=3，
经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，
故选C
3．（2017山东临沂）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A．=B．=C．=D．=
【分析】根据甲乙的效率，可设未知数，根据甲乙的工作时间，可列方程．
【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个，
根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得
=，
故选：B．
【点评】本题考查了分是方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
4．（2017乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C． +5=D．﹣=5
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选（A）
5．（2017青海西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ）
A． +=1B． +=C． +=D． +=1
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选B．
6．（2016•泰安）某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已（2017•新疆）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．=B．=C．=D．=
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设原计划平均每天生产x台机器，根据题意可知现在每天生产（x+40）台机器，而现在生产600台所需时间和原计划生产4800台机器所用时间相等，从而列出方程即可．
【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，
根据题意得，=．
故选B．
【点评】此题主要考查了分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产40台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
7. （2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．
【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，
根据题意得： =，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）设年增长率为m，
2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．
根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，
解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：年增长率为20%．
【达标检测答案】
一、选择题
1. （2017•新疆）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
【考点】63：分式的值为零的条件．
【专题】11 ：计算题．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不等于0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：若=0，
则x﹣1=0且x+1≠0，
故x=1，
故选C．
【点评】命题立意：考查分式值为零的条件．关键是要注意分母不能为零．
2．（2017湖南岳阳）解分式方程﹣=1，可知方程的解为（ ）
A．x=1B．x=3C．x=D．无解
【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．
【解答】解：去分母得：
2﹣2x=x﹣1，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x﹣1=0，故此方程无解．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键．
3. （2016·黑龙江龙东·3分）关于x的分式方程=3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m=3x+3，
解得：x=﹣m﹣3，
由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣3＞0，且﹣m﹣3≠﹣1，
解得：m＜﹣3，
故选D
4．分式方程的解为：（ ）
A、1 B、2 C、 D、0
【答案】A
【解析】根据分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2，移项后解得x=1，检验x=1是原分式方程的根.答案为A
5. （2016·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=D．﹣=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
﹣=，
故选C．
6．（2016·四川内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解析】依题意可知甲骑自行车的平均速度为(x＋2)千米/时．因为他们同时到达C地，即甲行驶110千米所需的时间与乙行驶100千米所需时间相等，所以＝．
故选A．
7．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3B．1，2C．1，3D．2，3
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：等式的两边都乘以（x﹣2），得
x=2（x﹣2）+m，
解得x=4﹣m，
x=4﹣m≠2，
由关于x的分式方程=2﹣的解为正数，得
m=1，m=3，
故选：C．
8. （2016·山东潍坊·3分）若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣
【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，
解得：x=，
∵关于x的方程+=3的解为正数，
∴﹣2m+9＞0，
级的：m＜，
当x=3时，x==3，
解得：m=，
故m的取值范围是：m＜且m≠．
故选：B．
9．关于的方程：的解是，，解是， ， 则的解是 （ ）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】C．
【解析】
试题分析：由题意得：变形为x﹣1+=c﹣1+，
∴x﹣1=c﹣1或x﹣1=，
解得x1=c，x2=．
故选C．
二、填空题
10. （2017.江苏宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 1 ．
【考点】B5：分式方程的增根．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
11．（2017湖北荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为 k＜3且k≠1 ．
【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，
解得：x=，
由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为：k＜3且k≠1
12. （2017四川南充）如果=1，那么m= 2 ．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1=m﹣1，
解得：m=2，
经检验m=2是分式方程的解，
故答案为：2
13．若关于x的方程 无解，则m=________.
【答案】1或.
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x-4=0，求出x的值代入整式方程即可求出m的值．
试题解析：去分母得：x-2=3+m(x-4)，整理得：（1-m）x=5-4m
若1-m=0，即m=1，方程无解；
若1-m≠0，即m≠1时，根据题意：x-4=0，即x=4，
将x=4代入整式方程得：m=.
综上，m的值为1或.
考点：分式方程的解．
14．（2016·四川泸州）分式方程﹣=0的根是 x=﹣1 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x（x﹣3）进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x（x﹣3）得：4x﹣（x﹣3）=0，
解得：x=﹣1，
经检验：x=﹣1是原分式方程的解，
故答案为：x=﹣1．
15．（2016·四川攀枝花）已知关于x的分式方程+=1的解为负数，则k的取值范围是 k＞﹣且k≠0 ．
【分析】先去分母得到整式方程（2k+1）x=﹣1，再由整式方程的解为负数得到2k+1＞0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到x≠±1，即2k+1≠1且2k+1≠﹣1，然后求出几个不等式的公共部分得到k的取值范围．
【解答】解：去分母得k（x﹣1）+（x+k）（x+1）=（x+1）（x﹣1），
整理得（2k+1）x=﹣1，
因为方程+=1的解为负数，
所以2k+1＞0且x≠±1，
即2k+1≠1且2k+1≠﹣1，
解得k＞﹣且k≠0，
即k的取值范围为k＞﹣且k≠0．
故答案为k＞﹣且k≠0．
三、解答题
16.解分式方程：
（1）（2017宁夏）解方程：﹣=1．
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（x+3）2﹣4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）
x2+6x+9﹣4x+12=x2﹣9，
x=﹣15，
令x=﹣15代入（x﹣3）（x+3）≠0，
∴原分式方程的解为：x=﹣15，
【点评】本题考查分式的方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
（2）解方程： +2=．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】方程两边都乘以x﹣2得出1+2（x﹣2）=x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2得：1+2（x﹣2）=x﹣1，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，
所以x=2不是原方程的解，
即原方程无解．
17．（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，
依题意得： =，
解得x=5．
经检验x=5是原方程的解，且符合题意．
答：梨树苗的单价是5元；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，
依题意得：（5+2）+5a≤6000，
解得a≥850．
答：梨树苗至少购买850棵．
18．（2016·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？
【分析】设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，根据购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，
根据题意，得﹣=15，
解这个方程，得x=6，
经检验，x=6是所列方程的根，
∴2x=2×6=12（元），
答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元．
19．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
【答案】80米/分．
【解析】
试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．
试题解析：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得
，
解得 x=80．
经检验，x=80是原方程的根．
答：马小虎的速度是80米/分．
20．（2017广西河池）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．
【分析】（1）设排球单价是x元，则足球单价是（x+30）元，根据题意可得等量关系：500元购得的排球数量=800元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；
（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的单价×排球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1200，再求出整数解即可得出答案．
【解答】解：设排球单价为x元，则足球单价为（x+30）元，由题意得：
=，
解得：x=50，
经检验：x=50是原分式方程的解，
则x+30=80．
答：排球单价是50元，则足球单价是80元；
（2）设设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，
由题意得：50m+80n=1200，
整理得：m=24﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=16，②n=10时，m=8；
∴有两种方案：
购买排球5个，购买足球16个；
②购买排球10个，购买足球8个．
21．“2017年张学友演唱会”于6月3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间=路程÷速度结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据时间=路程÷速度求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=210，
经检验，x=210是原方程组的解．
答：小张跑步的平均速度为210米/分钟．
（2）小张跑步到家所需时间为2520÷210=12（分钟），
小张骑车所用时间为12﹣4=8（分钟），
小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12+8+5=25（分钟），
∵25＞23，
∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心．
知识回顾
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设 ，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解 方程，求出辅助未知数的值；③ 把 代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .
基础检测
1．（2017哈尔滨）方程=的解为（ ）
A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5
2．（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3
4．（2017乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5 B．﹣=5
C． +5= D．﹣=5
5．（2017青海西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ）
A． +=1 B． += C． += D． +=1
6．（2017•新疆）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
7. （2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
考点解析
题型一 分式方程的解法
【例题】（2017黑龙江佳木斯）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≥1C．a≥1且a≠9D．a≤1
【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．
【分析】根据分式方程的解法即可求出a的取值范围；
【解答】解：3（3x﹣a）=x﹣3，
9x﹣3a=x﹣3，
8x=3a﹣3
∴x=，
由于该分式方程有解，
令x=代入x﹣3≠0，
∴a≠9，
∵该方程的解是非负数解，
∴≥0，
∴a≥1，
∴a的范围为：a≥1且a≠9，
故选（C）
【变式】
1．（2017•黑龙江）若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a＞1C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4
【考点】B2：分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
解得：x=2a-23，
由题意得：2a-23≥0且2a-23≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
2.解方程：．
【答案】．
【解析】方程两边同乘以，得，
解得．
经检验，是原方程的根．
∴原方程的解为．
题型二 分式方程的增根
【例题】（2017毕节）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【考点】B5：分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），
得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）=0，
解得x=1，
当x=1时，7=2m﹣1，
解得m=4，
所以m的值为4．
故选C．
【变式】
（2017山东聊城）如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【考点】B5：分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
【解答】解：﹣=1，
去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：
m+2x=x﹣2，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当x=2时，m+4=2﹣2，
m=﹣4，
故选D．
题型三 分式方程的应用
【例题】（2017山东泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（ ）
A．﹣10=B． +10=
C．﹣10=D． +10=
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．
【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
+10=．
故选：B．
２．（2016·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
【考点】分式方程的应用．
【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．
【解答】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，
根据题意，得： =2×，
解得：x=3.2，
经检验：x=3.2是原分式方程的解，且符合题意，
答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键．
【变式】
1．（2016•南充）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A． =B． =
C． =D． =
【分析】直接利用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：
=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
2.（2015·辽宁大连）甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？
【答案】24和21个
【解析】
试题分析：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，根据等量关系：甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，列出方程即可得解；
试题解析：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，由题意得：
解得x=21，经检验x=21是方程的解，x+3=24.
答：甲乙两人每小时各做24和21个零件.
【点评】列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．
【典例解析】
【例题1】．（2017山东滨州）分式方程﹣1=的解为（ ）
A．x=1B．x=﹣1C．无解D．x=﹣2
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，
整理得：2x﹣x+2=3
解得：x=1，
检验：把x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，
所以分式方程的无解．
故选C．
【例题2】（2017山东泰安）分式与的和为4，则x的值为 3 ．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】首先根据分式与的和为4，可得： +=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：∵分式与的和为4，
∴+=4，
去分母，可得：7﹣x=4x﹣8
解得：x=3
经检验x=3是原方程的解，
∴x的值为3．
故答案为：3．
【例题3】（2017•温州）甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程： QUOTE 160x= QUOTE 200x+5 ．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间= QUOTE 铺设任务铺设速度和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．
【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得： QUOTE 160x= QUOTE 200x+5．
故答案是： QUOTE 160x= QUOTE 200x+5．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
【例题4】（2017贵州安顺）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．
【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，
=
x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
中考热点
【中考热点】
考点1．（2017•宜昌）分式方程=1的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x=C．x=1 D．x=2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
则分式方程的解为x=﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，还有注意不要忘了检验．
考点2．（2016•重庆）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．
【分析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．
【解答】解：解得，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
解方程﹣=﹣1得x=，
∵x=为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，
故选B．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
考点3．（2016•内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A． =B． =C． =D． =
【分析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
【解答】解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
=，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
考点4. （2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．
（1）求这种笔和本子的单价；
（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．
【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．
【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：
=，
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解，
则x﹣4=6．
答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，
由题意得：10m+6n=100，
整理得：m=10﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；
∴有三种方案：
①购买这种笔7支，购买本子5本；
②购买这种笔4支，购买本子10本；
③购买这种笔1支，购买本子15本．
达标测试
一、选择题
1. （2017•新疆）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
2．（2017湖南岳阳）解分式方程﹣=1，可知方程的解为（ ）
A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解
3. （2016·黑龙江龙东·3分）关于x的分式方程=3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
4．分式方程的解为：（ ）
A、1 B、2 C、 D、0
5. （2016·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣= D．﹣=
6．（2016·四川内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
7．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
8. （2016·山东潍坊·3分）若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣
9．关于的方程：的解是，，解是， ， 则的解是 （ ）
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题
10. （2017.江苏宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 ．
11．（2017湖北荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为 ．
12. （2017四川南充）如果=1，那么m= ．
13．若关于x的方程 无解，则m=________.
14．（2016·四川泸州）分式方程﹣=0的根是 ．
15．（2016·四川攀枝花）已知关于x的分式方程+=1的解为负数，则k的取值范围是 ．
三、解答题
16.解分式方程：
（1）（2017宁夏）解方程：﹣=1．
（2）解方程： +2=．
17．（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
18．（2016·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？
19．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
20．（2017广西河池）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
21．“2017年张学友演唱会”于6月3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
答案与解析
【知识归纳】
1．分式方程:字母.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）分母的最小公倍数；
（2）解这个整式方程；
（3）最简公分母.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
（1）方程的根；（2）符合题意.
【基础检测答案】
1．（2017哈尔滨）方程=的解为（ ）
A．x=3B．x=4C．x=5D．x=﹣5
【考点】B3：解分式方程．
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：2（x﹣1）=x+3，
2x﹣2=x+3，
x=5，
令x=5代入（x+3）（x﹣1）≠0，
故选（C）
2．（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（ ）
A．﹣1或3B．﹣1C．3D．1或﹣3
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，
解得：x=﹣1或x=3，
经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，
故选C
3．（2017山东临沂）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A．=B．=C．=D．=
【分析】根据甲乙的效率，可设未知数，根据甲乙的工作时间，可列方程．
【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个，
根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得
=，
故选：B．
【点评】本题考查了分是方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
4．（2017乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C． +5=D．﹣=5
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选（A）
5．（2017青海西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ）
A． +=1B． +=C． +=D． +=1
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选B．
6．（2016•泰安）某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已（2017•新疆）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．=B．=C．=D．=
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设原计划平均每天生产x台机器，根据题意可知现在每天生产（x+40）台机器，而现在生产600台所需时间和原计划生产4800台机器所用时间相等，从而列出方程即可．
【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，
根据题意得，=．
故选B．
【点评】此题主要考查了分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产40台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
7. （2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．
【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，
根据题意得： =，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）设年增长率为m，
2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．
根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，
解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：年增长率为20%．
【达标检测答案】
一、选择题
1. （2017•新疆）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
【考点】63：分式的值为零的条件．
【专题】11 ：计算题．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不等于0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：若=0，
则x﹣1=0且x+1≠0，
故x=1，
故选C．
【点评】命题立意：考查分式值为零的条件．关键是要注意分母不能为零．
2．（2017湖南岳阳）解分式方程﹣=1，可知方程的解为（ ）
A．x=1B．x=3C．x=D．无解
【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．
【解答】解：去分母得：
2﹣2x=x﹣1，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x﹣1=0，故此方程无解．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键．
3. （2016·黑龙江龙东·3分）关于x的分式方程=3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m=3x+3，
解得：x=﹣m﹣3，
由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣3＞0，且﹣m﹣3≠﹣1，
解得：m＜﹣3，
故选D
4．分式方程的解为：（ ）
A、1 B、2 C、 D、0
【答案】A
【解析】根据分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2，移项后解得x=1，检验x=1是原分式方程的根.答案为A
5. （2016·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=D．﹣=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
﹣=，
故选C．
6．（2016·四川内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解析】依题意可知甲骑自行车的平均速度为(x＋2)千米/时．因为他们同时到达C地，即甲行驶110千米所需的时间与乙行驶100千米所需时间相等，所以＝．
故选A．
7．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3B．1，2C．1，3D．2，3
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：等式的两边都乘以（x﹣2），得
x=2（x﹣2）+m，
解得x=4﹣m，
x=4﹣m≠2，
由关于x的分式方程=2﹣的解为正数，得
m=1，m=3，
故选：C．
8. （2016·山东潍坊·3分）若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣
【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，
解得：x=，
∵关于x的方程+=3的解为正数，
∴﹣2m+9＞0，
级的：m＜，
当x=3时，x==3，
解得：m=，
故m的取值范围是：m＜且m≠．
故选：B．
9．关于的方程：的解是，，解是， ， 则的解是 （ ）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】C．
【解析】
试题分析：由题意得：变形为x﹣1+=c﹣1+，
∴x﹣1=c﹣1或x﹣1=，
解得x1=c，x2=．
故选C．
二、填空题
10. （2017.江苏宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 1 ．
【考点】B5：分式方程的增根．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
11．（2017湖北荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为 k＜3且k≠1 ．
【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，
解得：x=，
由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为：k＜3且k≠1
12. （2017四川南充）如果=1，那么m= 2 ．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1=m﹣1，
解得：m=2，
经检验m=2是分式方程的解，
故答案为：2
13．若关于x的方程 无解，则m=________.
【答案】1或.
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x-4=0，求出x的值代入整式方程即可求出m的值．
试题解析：去分母得：x-2=3+m(x-4)，整理得：（1-m）x=5-4m
若1-m=0，即m=1，方程无解；
若1-m≠0，即m≠1时，根据题意：x-4=0，即x=4，
将x=4代入整式方程得：m=.
综上，m的值为1或.
考点：分式方程的解．
14．（2016·四川泸州）分式方程﹣=0的根是 x=﹣1 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x（x﹣3）进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x（x﹣3）得：4x﹣（x﹣3）=0，
解得：x=﹣1，
经检验：x=﹣1是原分式方程的解，
故答案为：x=﹣1．
15．（2016·四川攀枝花）已知关于x的分式方程+=1的解为负数，则k的取值范围是 k＞﹣且k≠0 ．
【分析】先去分母得到整式方程（2k+1）x=﹣1，再由整式方程的解为负数得到2k+1＞0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到x≠±1，即2k+1≠1且2k+1≠﹣1，然后求出几个不等式的公共部分得到k的取值范围．
【解答】解：去分母得k（x﹣1）+（x+k）（x+1）=（x+1）（x﹣1），
整理得（2k+1）x=﹣1，
因为方程+=1的解为负数，
所以2k+1＞0且x≠±1，
即2k+1≠1且2k+1≠﹣1，
解得k＞﹣且k≠0，
即k的取值范围为k＞﹣且k≠0．
故答案为k＞﹣且k≠0．
三、解答题
16.解分式方程：
（1）（2017宁夏）解方程：﹣=1．
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（x+3）2﹣4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）
x2+6x+9﹣4x+12=x2﹣9，
x=﹣15，
令x=﹣15代入（x﹣3）（x+3）≠0，
∴原分式方程的解为：x=﹣15，
【点评】本题考查分式的方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
（2）解方程： +2=．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】方程两边都乘以x﹣2得出1+2（x﹣2）=x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2得：1+2（x﹣2）=x﹣1，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，
所以x=2不是原方程的解，
即原方程无解．
17．（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，
依题意得： =，
解得x=5．
经检验x=5是原方程的解，且符合题意．
答：梨树苗的单价是5元；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，
依题意得：（5+2）+5a≤6000，
解得a≥850．
答：梨树苗至少购买850棵．
18．（2016·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？
【分析】设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，根据购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，
根据题意，得﹣=15，
解这个方程，得x=6，
经检验，x=6是所列方程的根，
∴2x=2×6=12（元），
答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元．
19．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
【答案】80米/分．
【解析】
试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．
试题解析：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得
，
解得 x=80．
经检验，x=80是原方程的根．
答：马小虎的速度是80米/分．
20．（2017广西河池）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．
【分析】（1）设排球单价是x元，则足球单价是（x+30）元，根据题意可得等量关系：500元购得的排球数量=800元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；
（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的单价×排球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1200，再求出整数解即可得出答案．
【解答】解：设排球单价为x元，则足球单价为（x+30）元，由题意得：
=，
解得：x=50，
经检验：x=50是原分式方程的解，
则x+30=80．
答：排球单价是50元，则足球单价是80元；
（2）设设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，
由题意得：50m+80n=1200，
整理得：m=24﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=16，②n=10时，m=8；
∴有两种方案：
购买排球5个，购买足球16个；
②购买排球10个，购买足球8个．
21．“2017年张学友演唱会”于6月3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间=路程÷速度结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据时间=路程÷速度求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=210，
经检验，x=210是原方程组的解．
答：小张跑步的平均速度为210米/分钟．
（2）小张跑步到家所需时间为2520÷210=12（分钟），
小张骑车所用时间为12﹣4=8（分钟），
小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12+8+5=25（分钟），
∵25＞23，
∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心．
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