2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第17讲 全等三角形

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第17讲全等三角形

知识回顾

1．能够完全重合的两个图形就是 ．能够完全重合的两个三角形就是 ．
2．全等三角形的对应边 ，对应角 ．
3．全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线) ，周长相等，面积相等．
4.三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理： （可简写成“ ”或“ ”）
（2）角边角定理： （可简写成“ ”或“ ”）
（3）边边边定理： （可简写成“ ”或“ ”）。
5.直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）： （可简写成“ ”或“ ”）


基础检测

1．（2017•黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEF．

2．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A=　36　°．

3．（2017.湖南怀化）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEC．

4．（2017•新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=AC•BD．
正确的是 （填写所有正确结论的序号）

5. （2017•益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．

6. （2017山东聊城）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．







7. （2017四川南充）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．













考点解析

知识点一：全等三角形性质
【例题】如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式】
如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．
【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED与△DFB中，，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE；

（2）设AC与FD交于点O．
∵由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
　
知识点二：全等三角形判定：
【例题1】如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．

【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
．
【变式】
（2017齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．
【分析】（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵AC=10，
∴DE=DF=5，
由勾股定理得，EF==5．
　
【例题2】
（2017•温州）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．
【解答】解：（1）∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
&BC=ED&∠ACB=∠ADE&AC=AD，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

【变式】
如图，已知△ABC中，∠1=∠2，AE=AD，求证：DF=EF．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先利用“角角边”证明△ABE和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，然后求出BD=CE，再利用“角角边”证明△BDF和△CEF全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB=AC，
∵AE=AD，
∴AB﹣AD=AC﹣AE，
即BD=CE，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并求出BD=CE是解题的关键．
【典例解析】
【例题1】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】在AC上截取AE=AB，利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ABC，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后结合图形整理即可得证．
【解答】证明：如图，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DE=BD，∠AED=∠ABC，
∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE，
∵AE+CE=AC，
∴AB+BD=AC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
　
【例题2】
如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得：∠A+∠C=180°．
【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD=∠C，
∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．

【点评】此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．
【例题3】
图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B=∠CAF．

【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】EF垂直平分AD，则可得AF=DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终得出结论．
【解答】证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，
∵∠ADF=∠B+∠BAD，
∠DAF=∠CAF+∠CAD，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠CAF．
【点评】熟练掌握线段垂直平分线的性质及角平分线的性质．
　

中考热点


【热点1】已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，
求证：BP=2PQ．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=90°﹣60°=30°，
∴BP=2PQ．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图求出△BPQ是含30°角的直角三角形是解题的关键．
　
【热点2】如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H．构建全等三角形△ABC≌△EHC（ASA），则由全等三角形的性质得到AB=HE；然后结合已知条件得到DE=HE，所以AB=HE，由等量代换证得AB=DE．
【解答】证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，
在△ABC与△EHC中，

∴△ABC≌△EHC（ASA），
∴AB=HE，
∵∠B+∠CDE=180°，
∠HDE+∠CDE=180°
∴∠HDE=∠B=∠H，
∴DE=HE．
∵AB=HE，
∴AB=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
　
【热点3】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P为△ABC内一点，∠PBC=∠PCA，求∠BPC的值．

【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，即可求得∠ACB=∠ABC，则∠PBC+∠PCB即可求得，根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB=∠ABC=65°．
又∵∠PBC=∠PCA，
∴∠PBC+∠PCB=65°，
∴∠BPC=115°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个内角相等，以及三角形的内角和定理．
　


达标测试


一、选择题：
1. 下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
2．如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
3．如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（　　）

A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以
4．如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．下列结论不正确的有（　　）

A．∠BAD=∠CAE B．△ABD≌△ACE C．AB=BC D．BD=CE
5．如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，OB=OC．下列结论正确的是（　　）

A．△AOB≌△DOC B．△ABO≌△DOC C．∠A=∠C D．∠B=∠D
6．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
二、填空题：
7．如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=32°，∠A=68°，AB=13cm，则∠F=　80　度，DE=　13　cm．

8．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片 全等图形（填“是”或“不是”）．
9. 如图，△ABC与△DBC能够完全重合，则△ABC与△DBC是 ，表示为△ABC　≌　△DBC．

10. 如图，△ABC≌△BAD，BC=AD，写出其他的对应边 和对应角 ．

11. 如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=15°，∠B=∠D=30°，则∠1的度数为 度．

三、解答题：
12. 如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．
求证：BD=CE．







13．如右图，已知DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AE=CF，DC∥AB，
（1）试证明：DE=BF；
（2）连接DF、BE，猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的正确性．










14．如图，已知△ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点，DE∥BC交于E，交AC于F，求证：EF=BE﹣CF．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．




15. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．









16. 钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．

（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．
①当α=30°，点D恰好为BE中点时，补全图1，直接写出∠BAE= °，∠BEA= °；
②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．


















答案与解析

【知识归纳】
1．全等形．全等形三角形．
2．相等，对应角相等．
3． 相等．
4.三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
5.直角三角形全等的判定：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）


【基础检测答案】
1．（2017•黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件　AB=DE或BC=EF或AC=DF　，使得△ABC≌△DEF．

【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中，&∠A=∠EDF&AB=DE&∠ABC=∠E，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A=　36　°．

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=2∠A=∠ABC，
设∠A为x，
可得：x+x+x+2x=180°，
解得：x=36°，
故答案为：36
3．（2017.湖南怀化）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：　CE=BC　，使得△ABC≌△DEC．

【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
【解答】解：添加条件是：CE=BC，
在△ABC与△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：CE=BC．本题答案不唯一．
4．（2017黑龙江佳木斯）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件　AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）　，使得△ABC≌△DEF．

【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．

5．（2017•新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=AC•BD．
正确的是　①④　（填写所有正确结论的序号）

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；
②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；
④根据面积和求四边形的面积即可．
【解答】解：①在△ABC和△ADC中，
∵，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④；
故答案为：①④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，第1问可以利用等边对等角，由等量加等量和相等来解决．
6. （2017•益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．

【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．
【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
又∵F是CD的中点，即DF=CF，
∴△ADF≌△ECF，
∴AD=CE，
∴BC=CE．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．
7. （2017山东聊城）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边边边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即：BC=EF，
在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF．
8. （2017四川南充）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEB=∠AFC=90°，
∵AE=BF，
∴AF=BE，
在△DEB和△CFA中，
，
△DEB≌△CFA，
∴∠A=∠B，
∴AC∥DB．

【达标检测答案】
一、选择题：
1. 下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【考点】全等图形．
【分析】根据全等形和全等三角形的概念知进行做题，对选项逐一进行验证，符合性质的是正确的，与性质、定义相矛盾的是错误的．
【解答】解：由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的
故选A．
【点评】本题考查了全等形的概念和三角形全等的性质：1、能够完全重合的两个图形叫做全等形，2、全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，做题时要细心体
2．如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的性质．
【分析】画出图形就能明显看出来，运用全等的性质，易解．
【解答】解：∵△ADB≌△ADC
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形．
故选D．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的性质；利用全等三角形的性质是正确解答本题的关键．
3．如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（　　）

A．∠A=∠D B．∠B=∠E
C．∠C=∠F D．以上三个均可以
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据三角形全等的判定中的SAS，即两边夹角．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，要由位置选择方法．
【解答】解：要使两三角形全等，且SAS已知AB=DE，BC=EF，还差夹角，即∠B=∠E；
A、C都不满足要求，D也就不能选取．
故选B．

【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
　
4．如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．下列结论不正确的有（　　）

A．∠BAD=∠CAE B．△ABD≌△ACE C．AB=BC D．BD=CE
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE，通过“SAS”可得△BAD≌△CAE，从而求解．
【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠BAD=∠CAE，BD=CE，
故A、B、D是正确的，C是错误的．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形全等判定定理和全等三角形的性质；是一道较为简单的三角形全等问题，做题时要对选项逐一验证．
5．如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，OB=OC．下列结论正确的是（　　）

A．△AOB≌△DOC B．△ABO≌△DOC C．∠A=∠C D．∠B=∠D
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意，OA=OD，OB=OC，有两组对边相等，结合选项进行证明．
【解答】解：∵OA=OD，OB=OC
又∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△DOC．
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；注意根据已知条件的给定来选择判定的形式，本题比较简单．
6．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
【考点】全等三角形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．
【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．
二、填空题：
7．如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=32°，∠A=68°，AB=13cm，则∠F=　80　度，DE=　13　cm．

【考点】全等三角形的性质．
【分析】先运用三角形内角和求出∠C，再运用全等三角形的性质可求∠F与DE．
【解答】解：∵∠B=32°，∠A=68°
∴∠C=180°﹣32°﹣68°=80°
又△ABC≌△DEF
∴∠F=80度，DE=13cm．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，是需要识记的内容．
8．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案　是　全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片　不是　全等图形（填“是”或“不是”）．
【考点】全等图形．
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，图形重合的是全等形，不重合的不是全等形．
【解答】解：由全等形的概念可知：用一张相纸冲洗出来的2张5寸相片，各相片可以完全重合，故是全等形；由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片，大小不一样，所以不是全等图形．
故分别填是，不是
【点评】本题考查了全等形的概念，判定是不是全等形主要看图形是不是能够重合．
　
9. 如图，△ABC与△DBC能够完全重合，则△ABC与△DBC是　全等三角形　，表示为△ABC　≌　△DBC．

【考点】全等三角形的判定．
【分析】利用全等图形的性质，直接得出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DBC能够完全重合，
∴△ABC与△DBC是全等三角形，
表示为：△ABC≌△DBC．
故答案为：全等三角形，≌．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，利用全等图形的性质进而判断得出是解题关键．
10. 如图，△ABC≌△BAD，BC=AD，写出其他的对应边　AC与BD，AB与BA　和对应角　∠CAB与∠DBA，∠C与∠D，∠CBA与∠DAB　．

【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等）填上即可
【解答】解：∵△ABC≌△BAD，BC=AD，
∴AC与BD，AB与BA，∠CAB与∠DBA，∠C与∠D，∠CBA与∠DAB，
故答案为：AC与BD，AB与BA，∠CAB与∠DBA，∠C与∠D，∠CBA与∠DAB．
【点评】本题考查了对全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
　
11. 如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=15°，∠B=∠D=30°，则∠1的度数为　60　度．

【考点】全等三角形的性质．
【分析】要求∠1的大小，可以在△DGF中利用三角形的内角和定理求解，转化为求∠DFG的大小，再转化为求∠AFB就可以，在△ACF中可以利用三角形的内角和定理就可以求出．
【解答】解：∵∠ACB=∠AFC+∠CAF
∴∠AFC=∠ACB﹣∠CAF=105°﹣15°=90°
∴∠DFG=∠AFC=90°
∴∠1=180°﹣90°﹣∠D=180°﹣90°﹣30°=60°
故填60．
【点评】本题考查了全等三角形的性质；解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
三、解答题：
12. 如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．
求证：BD=CE．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】首先证明△ADC≌△AEB，推出AB﹣AD=AC﹣AE，可得BD=CE．
【解答】证明：∵∠ADC+∠BDC=180°，∠BEC+∠AEB=180°，
又∵∠BDC=∠CEB，
∴∠ADC=∠AEB．
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（ASA）．
∴AB=AC．
∴AB﹣AD=AC﹣AE．
即BD=CE．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
13．如右图，已知DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AE=CF，DC∥AB，
（1）试证明：DE=BF；
（2）连接DF、BE，猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的正确性．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）求出AF=CE，∠AFB=∠DEC=90°，根据平行线的性质得出∠DCE=∠BAF，根据ASA推出△AFB≌△CED即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出即可．
【解答】（1）证明：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∵DC∥AB，
∴∠DCE=∠BAF，
在△AFB和△CED中

∴△AFB≌△CED，
∴DE=EF；

（2）
DF=BE，DF∥BE，
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∵DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF=BE，DF∥BE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
14．如图，已知△ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点，DE∥BC交于E，交AC于F，求证：EF=BE﹣CF．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线得出∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得出∠EDB=∠CBD，推出∠ABD=∠EDB，推出DE=BE，同理推出DF=CF，即可得出答案．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠EDB，
∴DE=BE，
同理DF=CF，
∵EF=DE﹣DF，
∴EF=BE﹣CF．

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定的应用，关键是推出DE=BE和CF=DF．
15. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE；
（2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠B=∠EAC，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AE，
∴∠ADC=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，
∵AD⊥BC，AE∥BC，
∴AD⊥AE，
又∵CE⊥AE，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC=DE，
∵AB=AC，
∴AB=DE．
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵四边形ADCE是矩形，
∴AE∥CD，AE=DC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE且AB=DE．

【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，难度不大，比较灵活．
16. 钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．

（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．
①当α=30°，点D恰好为BE中点时，补全图1，直接写出∠BAE=　60　°，∠BEA=　30　°；
②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）①只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题．②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．
只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．
（2）如图3中，连接EC，由△ADC∽△BDE，推出=，推出=，由∠ADB=∠CDE，推出△ADB∽△CDE，推出∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，由BC=BE，推出∠BCE=∠BEC，推出∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．
【解答】解：（1）①补全图1，如图所示．

∵AB=AC，BD=DC，
∴AE⊥BC，
∴EB=EC，∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAE=60°
∵BC=BE，
∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，
∴∠BEC=60°，∠BEA=30°
故答案为60，30．
②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，
∴∠BAM=∠BAN，
∴BM=BN，
在Rt△BMF和Rt△BNE中，
，
∴Rt△BMF≌Rt△BNE．
∴∠BEA=∠F，
∵BF=BC，
∴∠F=∠C=α，
∴∠BEA=α．
（2）结论：∠BAE=α+β．理由如下，
如图3中，连接EC，

∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴=，
∴=，∵∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠BAD=∠DCE，
∠ABD=∠DEC=β，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．