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2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第4讲 二次根式
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这是一份2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第4讲 二次根式，共19页。
知识回顾
【知识归纳】
1．二次根式的有关概念
⑴ 式子 叫做二次根式．注意被开方数只能是 ．（要使二次根式eq \r(a)有意义，则a≥0.）
⑵ 最简二次根式
被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式．
(3) 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．
二次根式的性质
（1） 0（≥0）；
（2）
（3）
（4）
（5）
3．二次根式的运算
（1）．二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有 二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）．二次根式的乘除法
二次根式的乘法：eq \r(a)·eq \r(b)＝ (a≥0，b≥0)．
二次根式的除法：eq \f(\r(a),\r(b))＝ (a≥0，b＞0)．
【基础检测】
1．下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
3．若x＜0，则的结果是（ ）
A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．2
4．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．化简得（ ）
A．﹣2B．C．2D．
6．①= ；
②= ．
7．若三角形的三边长分别为a，b，c，其中a和b满足﹣6b=﹣9，则c的取值范围是 ．
8．计算：（ +）2016•（﹣）2017= ﹣ ．
9．计算：
（1）（﹣）2
（2）×（﹣9）
（3）4
（4）6﹣2﹣3
（5）
（6）2．
10．已知：a+=1+，求的值．
考点解析
【考点解析】
1. 二次根式的意义及性质
【例题】（2017•益阳）代数式3-2xx-2有意义，则x的取值范围是 x≤32 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：&3-2x≥0&x-2≠0
∴x≤ QUOTE 32 且x≠2，
∴x的取值范围为：x≤ QUOTE 32
故答案为：x≤32
【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
【变式】
（2017日照）式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞2
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：式子有意义，
则a+1≥0，且a﹣2≠0，
解得：a≥﹣1且a≠2．
故选：C．
2. 最简二次根式与同类二次根式
【例题】（2017湖北荆州）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】：最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
【变式】（2017广西）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【考点】：最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
3. 二次根式的运算
例. （2017山东聊城）计算（5﹣2）÷（﹣）的结果为（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
【考点】：二次根式的混合运算．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：原式=（﹣6）÷（﹣）
=（﹣5）÷（﹣）
=5．
故选A．
【变式】（2017哈尔滨）计算﹣6的结果是 ．
【考点】78：二次根式的加减法．
【分析】先将二次根式化简即可求出答案．
【解答】解：原式=3﹣6×=3﹣2=
故答案为：
【典例解析】
【例题1】（2017•营口）函数y= QUOTE 中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x﹣1≥0；分母不等于0，可知：x+1≠0，所以自变量x的取值范围就可以求出．
【解答】解：根据题意得：x，﹣1≥0且x+1≠0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】考查使得分式和二次根式有意义的知识．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.
【例题2】（2016·山东潍坊·3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
【例题3】（2016·内蒙古包头·3分）计算：6﹣（+1）2= ﹣4 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．
【解答】解：原式=6×﹣（3+2+1）
=2﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
【中考热点】
1. （2017浙江衢州）二次根式中字母a的取值范围是 a≥2 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a﹣2≥0，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故答案为：a≥2．
2. （2017山东滨州）下列计算：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】：二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的性质对（1）、（2）、（3）进行判断；根据平方差公式对（4）进行判断．
【解答】解：：（1）=2，
（2）=2，
（3）（﹣2）2=12，
（4）（+）（﹣）=2﹣3=﹣1．
故选D．
3. （2017浙江湖州）计算：2×（1﹣）+．
【考点】79：二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的乘法以及合并同类二次根式进行计算即可．
【解答】解：原式=2﹣2+2
=2．
【达标检测】
一、填空题：（每空3分，共33分）
1（2017.江苏宿迁）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围为 ．
2.（2017甘肃天水）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
3．化简= ．（x≥0）
4．（2016·黑龙江哈尔滨·3分）计算的结果是 ．
5．把化为最简二次根式 ．
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．
7．若+y2﹣4y+4=0，则xy的值为 ．
8． +的有理化因式是 ．
二、选择题（每小题3分，共18分）
9．（2017.四川眉山）下列运算结果正确的是（ ）
A．﹣=﹣ B．（﹣0.1）﹣2=0.01
C．（）2÷= D．（﹣m）3•m2=﹣m6
10．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
11．（2016·山东潍坊·3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
12．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
13．化简：a的结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
14．（2017四川眉山）下列运算结果正确的是（ ）
A．﹣=﹣ B．（﹣0.1）﹣2=0.01
C．（）2÷= D．（﹣m）3•m2=﹣m6
三、解答题
15．计算：
（1）﹣；
（2）×；
（3）﹣；
（4）（+3）；
（5）（ 3+2）（2﹣3）；
（6）（3﹣）2；
（7）；
（8）×+．
16．先化简，再求值，其中x=，y=27．
17．设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，求的值．
18．观察下列各式及其验算过程：
=2，验证： ===2；
=3，验证： ===3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
答案与解析
【知识归纳答案】
1．二次根式的有关概念
⑴非负数．
⑵ 整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式
(3)相同的二次根式的性质
（1） ≥ 0（≥0）；
（2）
（3）
（4）
（5）
3．（1）．同类二次根式
（2）．
【基础检测答案】
1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【解答】解：A、当x=0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x=﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x=±1时，x2﹣2=﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
2．若，则（ ）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
【分析】等式左边为非负数，说明右边3﹣b≥0，由此可得b的取值范围．
【解答】解：∵，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．故选D．
3．【分析】根据二次根式的意义化简．
【解答】解：若x＜0，则=﹣x，
∴===2，
故选D．
4．【考点】最简二次根式．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：因为：B、=4；
C、=；
D、=2；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
5．【分析】首先利用根式的乘法法则打开括号，然后把所有根式化为最简二次根式，最后合并即可求解．
【解答】解：
=2﹣2+2
=4﹣2．
故选D．
6．【分析】①先对根式下的数进行变形，（﹣0.3）2=（0.3）2，直接开方即得；
，所以开方后||=．
【解答】解：①原式=0.3；
②原式=||=．
7．【分析】利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求解即可．
【解答】解：原方程可化为+（b﹣3）2=0，
所以，a﹣2=0，b﹣3=0，
解得a=2，b=3，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
8．【分析】先根据积的乘方得到原式=[（+）（﹣）]2016•（﹣），然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式=[（+）（﹣）]2016•（﹣）
=（2﹣3）2016•（﹣）
=﹣．
故答案为﹣．
9．【分析】（1）利用二次根式的性质化简；
（2）根据二次根式的乘法法则运算；
（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（4）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（5）利用多项式乘法展开即可；
（6）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式=1﹣=；
（2）原式=×（﹣9）×=﹣45；
（3）原式=4+3﹣2+4=7+2；
（4）原式=6﹣﹣=6﹣；
（5）原式=6﹣4+﹣4；
（6）原式=2××=．
10．【分析】把a+=1+的两边分别平方，进一步整理得出的值即可．
【解答】解：∵a+=1+，
∴（a+）2=（1+）2，
∴+2=11+2，
∴=9+2．
【达标检测答案】
一、填空题：（每空3分，共33分）
1.【考点】：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，
解得，x≥3，
故答案为：x≥3．
2.【考点】：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件．
【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
x+2≥0，且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0．
故答案是：x≥﹣2且x≠0．
3．【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】原式利用二次根式的性质化简即可得到结果．
【解答】解：原式==x．
故答案为：x
4．【考点】二次根式的加减法．
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可．
【解答】解：原式=2×﹣3
=﹣3
=﹣2，
故答案为：﹣2．
5．【考点】最简二次根式．
【专题】计算题．
【分析】将被开方数500分为100×5，利用二次根式的乘法逆运算变形，再利用二次根式的化简公式化简，即可得到最简结果．
【解答】解： ==×=10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
6．【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．
【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．
故答案为：1．
7．【考点】因式分解﹣运用公式法；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】首先配方，进而利用二次根式的性质以及偶次方的性质，进而得出关于x，y的方程组求出即可．
【解答】解：∵+y2﹣4y+4=0，
∴+（y﹣2）2=0，
∴，
解得：，
∴xy的值为：4．
故答案为：4．
8．【考点】分母有理化．
【分析】根据平方差公式即可得出（+）×（﹣）=﹣1，再结合有理化因式的定义即可得出结论．
【解答】解：∵（+）×（﹣）=﹣=2﹣3=﹣1，
∴﹣是+的一个有理化因式．
故答案为：﹣．
二、选择题（每小题3分，共18分）
9．【考点】：二次根式的加减法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6A：分式的乘除法；6F：负整数指数幂．
【分析】直接化简二次根式判断A选项，再利用负整数指数幂的性质判断B选项，再结合整式除法运算法则以及同底数幂的乘法运算法则判断得出答案．
【解答】解：A、﹣=2﹣3=﹣，正确，符合题意；
B、（﹣0.1）﹣2==100，故此选项错误；
C、（）2÷=×=，故此选项错误；
D、（﹣m）3•m2=﹣m5，故此选项错误；
故选：A．
10．【考点】最简二次根式．
【专题】计算题．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；
B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；
C、，是最简二次根式；故C选项正确；
D. =5，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；
故选C．
【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
11．【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
12．【考点】同类二次根式．
【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【解答】解：∵，，，，
∴与是同类二次根式的是①和④，
故选：C．
13．【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而化简求出即可．
【解答】解：由题意可得：a＜0，
则a=﹣=﹣．
故选：C．
14．【考点】78：二次根式的加减法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6A：分式的乘除法；6F：负整数指数幂．
【分析】直接化简二次根式判断A选项，再利用负整数指数幂的性质判断B选项，再结合整式除法运算法则以及同底数幂的乘法运算法则判断得出答案．
【解答】解：A、﹣=2﹣3=﹣，正确，符合题意；
B、（﹣0.1）﹣2==100，故此选项错误；
C、（）2÷=×=，故此选项错误；
D、（﹣m）3•m2=﹣m5，故此选项错误；
故选：A．
三、解答题
15．【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘除法则运算；
（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（4）利用二次根式的乘法法则运算；
（5）利用多项式乘法展开，然后合并即可；
（6）利用完全平方公式计算；
（7）利用二次根式的乘除法则运算和平方差公式计算；
（8）利用二次根式的乘除法则运算和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式=﹣2+3+
=4﹣；
（2）原式=1××
=10；
（3）原式=3﹣+2
=；
（4）原式=﹣+3+
=﹣4+6+2；
（5）原式=18﹣9+4﹣12
=6﹣5；
（6）原式=54﹣18+15
=69﹣18；
（7）原式=+3﹣1
=3+2
=5；
（8）原式=+
=4+2．
16．【考点】二次根式的化简求值．
【分析】首先对二次根式进行化简，然后去括号、合并二次根式即可化简，然后把x，y的值代入求解．
【解答】解：原式=（6+3）﹣（+6）
=9﹣﹣6
=3﹣，
当x=，y=27时，
原式=3﹣
=﹣
=．
17．【考点】二次根式的性质与化简；非负数的性质：偶次方．
【分析】首先由非负数的非负性，求得a与b的值，再代入，化简即可求得答案．
【解答】解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣3=0，b﹣1=0，
解得：a=3，b=1，
∴==．
【点评】此题考查了二次根式的化简以及非负数的非负性．注意非负数的和等于0，则每项都等于0．
18．【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】规律型．
【分析】（1）利用已知，观察=2， =3，可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
【解答】解：（1）∵=2， =3，
∴=4=4=，
验证： ==，正确；
（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴=，
验证： ==；正确；
【点评】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
知识回顾
【知识归纳】
1．二次根式的有关概念
⑴ 式子 叫做二次根式．注意被开方数只能是 ．（要使二次根式eq \r(a)有意义，则a≥0.）
⑵ 最简二次根式
被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式．
(3) 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．
二次根式的性质
（1） 0（≥0）；
（2）
（3）
（4）
（5）
3．二次根式的运算
（1）．二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有 二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）．二次根式的乘除法
二次根式的乘法：eq \r(a)·eq \r(b)＝ (a≥0，b≥0)．
二次根式的除法：eq \f(\r(a),\r(b))＝ (a≥0，b＞0)．
【基础检测】
1．下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
3．若x＜0，则的结果是（ ）
A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．2
4．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．化简得（ ）
A．﹣2B．C．2D．
6．①= ；
②= ．
7．若三角形的三边长分别为a，b，c，其中a和b满足﹣6b=﹣9，则c的取值范围是 ．
8．计算：（ +）2016•（﹣）2017= ﹣ ．
9．计算：
（1）（﹣）2
（2）×（﹣9）
（3）4
（4）6﹣2﹣3
（5）
（6）2．
10．已知：a+=1+，求的值．
考点解析
【考点解析】
1. 二次根式的意义及性质
【例题】（2017•益阳）代数式3-2xx-2有意义，则x的取值范围是 x≤32 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：&3-2x≥0&x-2≠0
∴x≤ QUOTE 32 且x≠2，
∴x的取值范围为：x≤ QUOTE 32
故答案为：x≤32
【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
【变式】
（2017日照）式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞2
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：式子有意义，
则a+1≥0，且a﹣2≠0，
解得：a≥﹣1且a≠2．
故选：C．
2. 最简二次根式与同类二次根式
【例题】（2017湖北荆州）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】：最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
【变式】（2017广西）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【考点】：最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
3. 二次根式的运算
例. （2017山东聊城）计算（5﹣2）÷（﹣）的结果为（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
【考点】：二次根式的混合运算．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：原式=（﹣6）÷（﹣）
=（﹣5）÷（﹣）
=5．
故选A．
【变式】（2017哈尔滨）计算﹣6的结果是 ．
【考点】78：二次根式的加减法．
【分析】先将二次根式化简即可求出答案．
【解答】解：原式=3﹣6×=3﹣2=
故答案为：
【典例解析】
【例题1】（2017•营口）函数y= QUOTE 中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x﹣1≥0；分母不等于0，可知：x+1≠0，所以自变量x的取值范围就可以求出．
【解答】解：根据题意得：x，﹣1≥0且x+1≠0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】考查使得分式和二次根式有意义的知识．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.
【例题2】（2016·山东潍坊·3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
【例题3】（2016·内蒙古包头·3分）计算：6﹣（+1）2= ﹣4 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．
【解答】解：原式=6×﹣（3+2+1）
=2﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
【中考热点】
1. （2017浙江衢州）二次根式中字母a的取值范围是 a≥2 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a﹣2≥0，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故答案为：a≥2．
2. （2017山东滨州）下列计算：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】：二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的性质对（1）、（2）、（3）进行判断；根据平方差公式对（4）进行判断．
【解答】解：：（1）=2，
（2）=2，
（3）（﹣2）2=12，
（4）（+）（﹣）=2﹣3=﹣1．
故选D．
3. （2017浙江湖州）计算：2×（1﹣）+．
【考点】79：二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的乘法以及合并同类二次根式进行计算即可．
【解答】解：原式=2﹣2+2
=2．
【达标检测】
一、填空题：（每空3分，共33分）
1（2017.江苏宿迁）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围为 ．
2.（2017甘肃天水）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
3．化简= ．（x≥0）
4．（2016·黑龙江哈尔滨·3分）计算的结果是 ．
5．把化为最简二次根式 ．
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．
7．若+y2﹣4y+4=0，则xy的值为 ．
8． +的有理化因式是 ．
二、选择题（每小题3分，共18分）
9．（2017.四川眉山）下列运算结果正确的是（ ）
A．﹣=﹣ B．（﹣0.1）﹣2=0.01
C．（）2÷= D．（﹣m）3•m2=﹣m6
10．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
11．（2016·山东潍坊·3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
12．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
13．化简：a的结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
14．（2017四川眉山）下列运算结果正确的是（ ）
A．﹣=﹣ B．（﹣0.1）﹣2=0.01
C．（）2÷= D．（﹣m）3•m2=﹣m6
三、解答题
15．计算：
（1）﹣；
（2）×；
（3）﹣；
（4）（+3）；
（5）（ 3+2）（2﹣3）；
（6）（3﹣）2；
（7）；
（8）×+．
16．先化简，再求值，其中x=，y=27．
17．设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，求的值．
18．观察下列各式及其验算过程：
=2，验证： ===2；
=3，验证： ===3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
答案与解析
【知识归纳答案】
1．二次根式的有关概念
⑴非负数．
⑵ 整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式
(3)相同的二次根式的性质
（1） ≥ 0（≥0）；
（2）
（3）
（4）
（5）
3．（1）．同类二次根式
（2）．
【基础检测答案】
1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【解答】解：A、当x=0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x=﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x=±1时，x2﹣2=﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
2．若，则（ ）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
【分析】等式左边为非负数，说明右边3﹣b≥0，由此可得b的取值范围．
【解答】解：∵，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．故选D．
3．【分析】根据二次根式的意义化简．
【解答】解：若x＜0，则=﹣x，
∴===2，
故选D．
4．【考点】最简二次根式．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：因为：B、=4；
C、=；
D、=2；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
5．【分析】首先利用根式的乘法法则打开括号，然后把所有根式化为最简二次根式，最后合并即可求解．
【解答】解：
=2﹣2+2
=4﹣2．
故选D．
6．【分析】①先对根式下的数进行变形，（﹣0.3）2=（0.3）2，直接开方即得；
，所以开方后||=．
【解答】解：①原式=0.3；
②原式=||=．
7．【分析】利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求解即可．
【解答】解：原方程可化为+（b﹣3）2=0，
所以，a﹣2=0，b﹣3=0，
解得a=2，b=3，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
8．【分析】先根据积的乘方得到原式=[（+）（﹣）]2016•（﹣），然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式=[（+）（﹣）]2016•（﹣）
=（2﹣3）2016•（﹣）
=﹣．
故答案为﹣．
9．【分析】（1）利用二次根式的性质化简；
（2）根据二次根式的乘法法则运算；
（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（4）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（5）利用多项式乘法展开即可；
（6）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式=1﹣=；
（2）原式=×（﹣9）×=﹣45；
（3）原式=4+3﹣2+4=7+2；
（4）原式=6﹣﹣=6﹣；
（5）原式=6﹣4+﹣4；
（6）原式=2××=．
10．【分析】把a+=1+的两边分别平方，进一步整理得出的值即可．
【解答】解：∵a+=1+，
∴（a+）2=（1+）2，
∴+2=11+2，
∴=9+2．
【达标检测答案】
一、填空题：（每空3分，共33分）
1.【考点】：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，
解得，x≥3，
故答案为：x≥3．
2.【考点】：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件．
【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
x+2≥0，且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0．
故答案是：x≥﹣2且x≠0．
3．【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】原式利用二次根式的性质化简即可得到结果．
【解答】解：原式==x．
故答案为：x
4．【考点】二次根式的加减法．
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可．
【解答】解：原式=2×﹣3
=﹣3
=﹣2，
故答案为：﹣2．
5．【考点】最简二次根式．
【专题】计算题．
【分析】将被开方数500分为100×5，利用二次根式的乘法逆运算变形，再利用二次根式的化简公式化简，即可得到最简结果．
【解答】解： ==×=10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
6．【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．
【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．
故答案为：1．
7．【考点】因式分解﹣运用公式法；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】首先配方，进而利用二次根式的性质以及偶次方的性质，进而得出关于x，y的方程组求出即可．
【解答】解：∵+y2﹣4y+4=0，
∴+（y﹣2）2=0，
∴，
解得：，
∴xy的值为：4．
故答案为：4．
8．【考点】分母有理化．
【分析】根据平方差公式即可得出（+）×（﹣）=﹣1，再结合有理化因式的定义即可得出结论．
【解答】解：∵（+）×（﹣）=﹣=2﹣3=﹣1，
∴﹣是+的一个有理化因式．
故答案为：﹣．
二、选择题（每小题3分，共18分）
9．【考点】：二次根式的加减法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6A：分式的乘除法；6F：负整数指数幂．
【分析】直接化简二次根式判断A选项，再利用负整数指数幂的性质判断B选项，再结合整式除法运算法则以及同底数幂的乘法运算法则判断得出答案．
【解答】解：A、﹣=2﹣3=﹣，正确，符合题意；
B、（﹣0.1）﹣2==100，故此选项错误；
C、（）2÷=×=，故此选项错误；
D、（﹣m）3•m2=﹣m5，故此选项错误；
故选：A．
10．【考点】最简二次根式．
【专题】计算题．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；
B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；
C、，是最简二次根式；故C选项正确；
D. =5，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；
故选C．
【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
11．【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
12．【考点】同类二次根式．
【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【解答】解：∵，，，，
∴与是同类二次根式的是①和④，
故选：C．
13．【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而化简求出即可．
【解答】解：由题意可得：a＜0，
则a=﹣=﹣．
故选：C．
14．【考点】78：二次根式的加减法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6A：分式的乘除法；6F：负整数指数幂．
【分析】直接化简二次根式判断A选项，再利用负整数指数幂的性质判断B选项，再结合整式除法运算法则以及同底数幂的乘法运算法则判断得出答案．
【解答】解：A、﹣=2﹣3=﹣，正确，符合题意；
B、（﹣0.1）﹣2==100，故此选项错误；
C、（）2÷=×=，故此选项错误；
D、（﹣m）3•m2=﹣m5，故此选项错误；
故选：A．
三、解答题
15．【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘除法则运算；
（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（4）利用二次根式的乘法法则运算；
（5）利用多项式乘法展开，然后合并即可；
（6）利用完全平方公式计算；
（7）利用二次根式的乘除法则运算和平方差公式计算；
（8）利用二次根式的乘除法则运算和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式=﹣2+3+
=4﹣；
（2）原式=1××
=10；
（3）原式=3﹣+2
=；
（4）原式=﹣+3+
=﹣4+6+2；
（5）原式=18﹣9+4﹣12
=6﹣5；
（6）原式=54﹣18+15
=69﹣18；
（7）原式=+3﹣1
=3+2
=5；
（8）原式=+
=4+2．
16．【考点】二次根式的化简求值．
【分析】首先对二次根式进行化简，然后去括号、合并二次根式即可化简，然后把x，y的值代入求解．
【解答】解：原式=（6+3）﹣（+6）
=9﹣﹣6
=3﹣，
当x=，y=27时，
原式=3﹣
=﹣
=．
17．【考点】二次根式的性质与化简；非负数的性质：偶次方．
【分析】首先由非负数的非负性，求得a与b的值，再代入，化简即可求得答案．
【解答】解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣3=0，b﹣1=0，
解得：a=3，b=1，
∴==．
【点评】此题考查了二次根式的化简以及非负数的非负性．注意非负数的和等于0，则每项都等于0．
18．【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】规律型．
【分析】（1）利用已知，观察=2， =3，可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
【解答】解：（1）∵=2， =3，
∴=4=4=，
验证： ==，正确；
（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴=，
验证： ==；正确；
【点评】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
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