中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题一　数与式

这是一份中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题一　数与式，共7页。

本专题的主要考点有实数的有关概念，科学记数法，非负数的性质，实数的运算；幂的运算，整式的运算，因式分解；分式的概念，分式的加减，分式的混合运算；二次根式的有关概念，二次根式的性质，二次根式的运算等．中考中数与式的考查一般以客观张题为主，但分式的化简求值经常有开放型题目．数与式的考查常见题型以选择题或填空题为主，整式和分式的化简求值一般以解答题的形式进行考查．数与式在中考中所占比重约为20%～25%.
【解题方法】
解决数与式问题的常用方法有数形结合法，特殊值法，分类讨论法，整体代入法，设参数法，逆向思维法等.
【知识结构】
【典例精选】：
计算：2－1－eq \r(3)tan 60°＋(π－2 015)0＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))).
【思路点拨】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零次幂以及绝对值的概念计算即可．
【自主解答】
解：原式＝eq \f(1,2)－eq \r(3)×eq \r(3)＋1＋eq \f(1,2)＝－1.
把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是( )
A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y)
C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2
【思路点拨】首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
答案：C
规律方法：
利用两种方法结合的分解因式题目，提公因式后不要忘记利用公式法二次分解，分解因式要在规定的范围内分解彻底.
先化简，再求值：(x＋3)(x－3)＋2(x2＋4)，其中x＝eq \r(2).
【思路点拨】原式第一项利用平方差公式展开，第二项去括号，合并同类项得到最简结果，将x的值代入计算即可求出代数式的值．
【自主解答】
解：原式＝x2－9＋2x2＋8＝3x2－1.
当x＝eq \r(2)时，原式＝3×(eq \r(2))2－1＝5.
规律方法：
整式的计算，要根据算式的特点选择合适的方法，可先选择乘法公式展开，然后合并；或先因式分解，然后计算.
先化简，再求值：eq \f(m－3,3m2－6m)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋2－\f(5,m－2)))，其中m是方程x2＋3x＋1＝0的根．
【思路点拨】在化简时要先算括号里面的，再把除法变为乘法，然后分解因式并约分，最后相乘．
【自主解答】
解：原式＝eq \f(m－3,3mm－2)÷eq \f(m2－9,m－2)
＝eq \f(m－3,3mm－2)×eq \f(m－2,m＋3m－3)＝eq \f(1,3mm＋3).
∵m是方程x2＋3x＋1＝0的根，∴m2＋3m＋1＝0，
∴m2＋3m＝－1，即m(m＋3)＝－1，
∴原式＝eq \f(1,3×－1)＝－eq \f(1,3).
规律方法：
1.本题采用了整体代入法求解，这是求代数式的值常用的方法，体现了整体思路的应用.
2.分式的化简求值是先化简，再求值；化简时一定要化到最简，结果是最简分式或整式.
【能力评估检测】
一、选择题
1．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm3，则用科学记数法表示该数为( A )
A．1.239×10－3 g/cm3
B．1.239×10－2 g/cm3
C．0.123 9×10－2 g/cm3
D．12.39×10－4 g/cm3
2．下列运算错误的是( B )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝1 B．x2＋x2＝2x4
C．|a|＝|－a| D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a2)))3＝eq \f(b3,a6)
3．下列运算错误的是( D )
A. eq \f(a－b2,b－a2)＝1 B. eq \f(－a－b,a＋b)＝－1
C. eq \f(0.5a＋b,0.2a－0.3b)＝eq \f(5a＋10b,2a－3b) D. eq \f(a－b,a＋b)＝eq \f(b－a,b＋a)
4．下列二次根式中，不能与eq \r(2)合并的是( C )
A. eq \r(\f(1,2)) B. eq \r(8) C. eq \r(12) D.eq \r(18)
5．若m＝eq \f(\r(2),2)×(－2)，则有( C )
A．0C．－26．(2015·绍兴鲁迅中学模拟)下列三个分式eq \f(1,2x2)，eq \f(5x－1,4m－n)，eq \f(3,x)的最简公分母是( D )
A．4(m－n)x B．2(m－n)x2
C. eq \f(1,4x2m－n) D．4(m－n)x2
7．已知x－eq \f(1,x)＝3，则4－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x的值为( D )
A．1 B. eq \f(3,2) C. eq \f(5,2) D. eq \f(7,2)
【解析】把x－eq \f(1,x)＝3两边同乘x，得x2－1＝3x，即x2－3x＝1，所以4－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＝4－eq \f(1,2)(x2－3x)＝4－eq \f(1,2)×1＝eq \f(7,2).
第1个 第2个 第3个 第4个 … … …
8．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为( )
A．135 B．170 C．209 D．252
【解析】观察前四个表格中的数字，第1个表格中 9＝2×4＋1，第2个表格中20＝3×6＋2，第3个表格中35＝4×8＋3，第4个表格中54＝5×10＋4，且每个表格中左下角的数字是右上角数字的一半，左上角的数字比左下角数字小1，所以b＝eq \f(1,2)×20＝10，a＝b－1＝9，x＝20×10＋9＝209.故选C.
答案: C
9.实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a－b|的结果为( C )
A．a＋b B．a－b
C．b－a D．－a－b
【解析】由图可知，a<0，b>0，所以a－b<0，所以 |a－b|＝－(a－b)，C正确．
10．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为 (a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )
A．a2＋4 B．2a2＋4a
C．3a2－4a－4 D．4a2－a－2
【解析】平行四边形的面积为(2a)2－(a＋2)2＝4a2－(a2＋4a＋4)＝4a2－a2－4a－4＝3a2－4a－4.故选C.
11．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x＋eq \f(1,x)(x>0)的最小值是2”，其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边的长为eq \f(1,x)，矩形的周长为2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))；当矩形成为正方形时，就有x＝eq \f(1,x)(x>0)，解得x＝1.这时矩形的周长2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝4最小，
因此x＋eq \f(1,x)(x>0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子eq \f(x2＋9,x)(x>0)的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．10
【解析】∵x>0，∴在原式中分母分子同除以x，即eq \f(x2＋9,x)＝x＋eq \f(9,x)，在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长为eq \f(9,x)，矩形的周长为2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x)))；当矩形成为正方形时，就有x＝eq \f(9,x)(x>0)，解得x＝3.这时矩形的周长2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x)))＝12最小，因此x＋eq \f(9,x)(x>0)的最小值是6.故选C.
答案: C
二、填空题
12．分解因式：9x3－18x2＋9x＝9x(x－1)2 .
13．若式子eq \f(\r(2－x),x)有意义，则实数x的取值范围是x≤2且x≠0 .
14．计算：－eq \r(36)＋eq \r(2\f(1,4))＋eq \r(3,27)＝－eq \f(3,2) .
15．已知(a＋6)2＋eq \r(b2－2b－3)＝0，则2b2－4b－a的值为12.
【解析】由题意知，∵(a＋6)2≥0，eq \r(b2－2b－3)≥0.而(a＋6)2＋eq \r(b2－2b－3)＝0，∴(a＋6)2＝0且b2－2b－3＝0.整理，得a＝－6，b2－2b＝3，∴2b2－4b－a＝2(b2－2b)－a＝2×3－(－6)＝12.
三、解答题
16．计算：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\r(3)))－eq \r(12)＋2sin 60°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－1.
解：原式＝eq \r(3)－2eq \r(3)＋2×eq \f(\r(3),2)＋3＝3.
17．先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝eq \f(\r(3),3).
解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2.
当x＝－1，y＝eq \f(\r(3),3)时，原式＝－1＋1＝0.
18．先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x＋2)))÷eq \f(x2＋2x＋1,x＋2)，其中x＝eq \r(3)－1.
解：原式＝eq \f(x＋1,x＋2)÷eq \f(x＋12,x＋2)＝eq \f(x＋1,x＋2)·eq \f(x＋2,x＋12)＝eq \f(1,x＋1).
当x＝eq \r(3)－1时，原式＝eq \f(1,\r(3)－1＋1)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
19．探究下面的问题：
(1)在图甲中，阴影部分的面积和为a2－b2(写成两数平方差的形式)；
(2)将图甲中的第①块割下来重新与第②块拼成如图乙所示的一个长方形，那么这个长方形的长是a＋b，宽是 a－b，它的面积是(a＋b)(a－b)(写成两个多项式的形式)；
(3)由这两个图可以得到的乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2(用式子表示)；
(4)运用这个公式计算：(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)．
(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)＝[x－(2y－3z)]·[x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－4y2＋12yz－9z2.
20．如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d(n)，由定义可知：10b＝n与b＝d(n)所表示的b，n两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)＝1，d(10－2)＝－2；
(2)劳格数有如下运算性质：
若m，n为正数，则d(mn)＝d(m)＋d(n)，deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,n)))＝d(m)－d(n)．
根据运算性质，填空：
eq \f(da3,da)＝3(a为正数)，若d(2)＝0.301 0，则d(4)＝0.602 0，d(5)＝0.699 0，d(0.08)＝－1.097.
(3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.
解：(1)1 －2
(2)eq \f(da3,da)＝eq \f(3da,da)＝3.
由运算性质可得，d(4)＝0.602 0，d(5)＝d(10)－d(2)＝
1－0.301 0＝0.699 0，d(0.08)＝－1.097.
(3)若d(3)≠2a－b，则d(9)＝2d(3)≠4a－2b，d(27)＝3d(3)≠6a－3b，从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，
∴d(3)＝2a－b；
若d(5)≠a＋c，则d(2)＝1－d(5)≠1－a－c，
∴d(8)＝3d(2)≠3－3a－3c，
d(6)＝d(3)＋d(2)≠1＋a－b－c，
表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d(5)＝a＋c.
∴表中只有d(1.5)和d(12)的值是错误的，应纠正为：
d(1.5)＝d(3)＋d(5)－1＝3a－b＋c－1，
d(12)＝d(3)＋2d(2)＝2－b－2c.
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d(x)
3a－b＋c
2a－b
a＋c
1＋a－b－c
3－3a－3c
4a－2b
3－b－2c
6a－3b