中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题二　方程（组）与不等式（组）

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本专题的主要考点有方程的解，解一元一次方程，一元一次方程的应用；二元一次方程组的解法，二元一次方程组的应用；一元二次方程的解法，一元二次方程的应用；解分式方程，分式方程的增根，分式方程的应用；不等式的性质，解一元一次不等式(组)，不等式(组)的特殊解．中考中对方程(组)与不等式(组)的考查基本以客观题形式呈现，题型多样，选择题、填空题、解答题都有考查；本专题在中考中所占比重约为5%～8%.
【解题方法】
解决方程(组)与不等式(组)问题常用的数学思想就是转化思想；常用的数学方法有换元法，分类讨论法，整体代入法，设参数法等.
【知识结构】
【典例精选】：
股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是( )
A．(1＋x)2＝eq \f(11,10) B．(1＋x)2＝eq \f(10,9)
C．1＋2x＝eq \f(11,10) D．1＋2x＝eq \f(10,9)
【思路点拨】题目中存在的等量关系是一只股票某天跌停，之后两天又涨回原价，根据此关系列方程即可．
答案：B
规律方法：
由实际问题抽象出一元二次方程，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程.
若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋a≥0，,1－2x>x－2))有解，则a的取值范围是a>－1.
【思路点拨】先解出不等式组的解集，根据已知不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋a≥0，,1－2x>x－2))有解，即可求出a的取值范围．
规律方法：
1.求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了.
2.已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题.可以先将另一未知数当作已知处理，求出不等式组的解集并与已知解比较，进而求得另一个未知数的取值范围.
用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．
A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个 底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的 个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【思路点拨】本题考查列代数式、一元一次方程在实际生活中的应用．
【自主解答】
解：(1)裁剪出的侧面个数为6x＋4(19－x)＝(2x＋76)个，
裁剪出的底面个数为5(19－x)＝(－5x＋95)个．
(2)由题意，得eq \f(2x＋76,3)＝eq \f(－5x＋95,2)，∴x＝7.
当x＝7时，eq \f(2x＋76,3)＝30，
∴最多可以做的盒子个数为30个．
某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出．如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【思路点拨】(1)设购进第一批衬衫x件，然后根据两次的单价相差10元列分式方程即可解决问题；(2)根据两批衬衫售完后利率不低于25%列不等式即可．
【自主解答】
解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件，则第二批衬衫是2x件．
根据题意，得eq \f(28 800,2x)－eq \f(13 200,x)＝10，
解得x＝120.检验：当x＝120时，2x≠0，∴x＝120是原方程的根．∴该商家购进的第一批衬衫是120件．
(2)设每件衬衫的标价是a元，
由(1)得第一批的进价为13 200÷120＝110(元/件)，第二批的进价为120元/件，
根据题意，得120×(a－110)＋(240－50)×(a－120)＋50×(0.8a－120)≥25%×(13 200＋28 800)，
解得a≥150，即每件衬衫的标价至少是150元．
规律方法：
列分式方程解决实际问题检验时，既要看是不是分式方程的解，又要看所得结果是否符合实际意义.验根的方法有两种：一是把解出的根代入原方程进行检验；二是把解出的根代入最简公分母进行检验.如果这个根使原方程的分母不为0或使最简公分母不为0，那么这个根就是原方程的解，否则不是.
【能力评估检测】
一、选择题
1．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得( A )
A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1
C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝109
2．若x＝5是分式方程eq \f(a,x－2)－eq \f(15,x)＝0的根，则( D )
A．a＝－5 B．a＝5
C．a＝－9 D．a＝9
3．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x1＋x2－x1x2<－1，则k的取值范围在数轴上表示为( D )
4．如图，设他们中有x个成人，y个儿童．根据图中的对话可得方程组( )
A. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝30，,30x＋15y＝195)) B. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝195，,30x＋15y＝8))
C. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝8，,30x＋15y＝195)) D. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝15，,30x＋15y＝195))
答案: C
5．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1 600 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是( A )
A．x(x－60)＝1 600 B．x(x＋60)＝1 600
C．60(x＋60)＝1 600 D．60(x－60)＝1 600
6．若关于x的一元一次不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1<0，,x－a>0))无解，则a的取值范围是( A )
A．a≥1 B．a＞1
C．a≤－1 D．a＜－1
7．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( C )
A．－2或3 B．3
C．－2 D．－3或2
8．若关于x的方程eq \f(ax,x－2)＝eq \f(4,x－2)＋1无解，则a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0或2
【解析】方程去分母，得ax＝4＋x－2.
解得(a－1)x＝2.
∴当a－1＝0，即a＝1时，整式方程无解，分式方程无解；
当a≠1时，x＝eq \f(2,a－1)；
当x＝2时分母为0，方程无解．
∴eq \f(2,a－1)＝2，∴a＝2时方程无解．故选C.
答案: C
9．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450公里的普通公路，一条是全长330公里的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35公里/小时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么x满足的分式方程是( D )
A. eq \f(450,x)＝eq \f(330,x＋35)×2 B. eq \f(450,x)＝eq \f(330,2x)－35
C. eq \f(450,x)－eq \f(330,2x)＝35 D. eq \f(330,x)－eq \f(450,2x)＝35
二、填空题
10．不等式3＋2x>5的解集是x>1 .
11．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝－1 .
12．方程：(2x＋1)(x－1)＝8(9－x)－1的根为x1＝－8 ，x2＝ eq \f(9,2) .
13．已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))是关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ax－by＝3，,ax＋by＝6))的解，则a＋b＝ eq \f(9,2) .
14．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4≥0，,\f(1,2)x－24≤1))的所有整数解的积为0 .
【解析】eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4≥0， ①,\f(1,2)x－24≤1， ②))
解不等式①，得x≥－eq \f(4,3).解不等式②，得x≤50.
∴不等式组的整数解为－1,0,1，…，50.
∴所有整数解的积为0.
15．若关于x的方程eq \f(ax＋1,x－1)－1＝0的解为正数，则 a的取值范围是a<1且a≠－1.
【解析】解方程eq \f(ax＋1,x－1)－1＝0，得x＝eq \f(2,1－a).
∵关于x的方程的解为正数，∴x>0，即eq \f(2,1－a)>0，
当x－1＝0时，x＝1，代入，得a＝－1.
此为增根．∴a≠－1.解得a<1且a≠－1.
三、解答题
16．解分式方程：eq \f(2＋x,2－x)＋eq \f(16,x2－4)＝－1.
解：去分母，得－(x＋2)2＋16＝4－x2.
去括号，得－x2－4x－4＋16＝4－x2.解得x＝2.
检验：当x＝2时，x2－4＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解．
所以原分式方程无解．
17．若关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(x＋1,3)>0，,3x＋5a＋4>4x＋1＋3a))恰有三个整数解，求实数a的取值范围．
解：解不等式eq \f(x,2)＋eq \f(x＋1,3)>0，得x>－eq \f(2,5)；
解不等式3x＋5a＋4>4(x＋1)＋3a，得x<2a.
∴不等式组的解为－eq \f(2,5)∵关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(x＋1,3)>0，,3x＋5a＋4>4x＋1＋3a))恰有三个整数解，∴2<2a≤3，解得118．阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵x＋y－2eq \r(xy)＝(eq \r(x))2＋(eq \r(y))2－2eq \r(x)·eq \r(y)＝(eq \r(x)－eq \r(y))2≥0，
∴x＋y≥2eq \r(xy)，当且仅当“x＝y”时，等号成立．
示例：当x>0时，求y＝x＋eq \f(1,x)＋4的最小值．
解：y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＋4≥2eq \r(x·\f(1,x))＋4＝6，当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，y的最小值为6.
(1)尝试：当x>0时，求y＝eq \f(x2＋x＋1,x)的最小值．
(2)问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为eq \f(n2＋n,10)万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算(即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用＝eq \f(所有费用之和,年数n))？最少年平均费用为多少 万元？
解：(1)y＝eq \f(x2＋x＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)＋1≥2eq \r(x·\f(1,x))＋1＝3，
∴当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，y的最小值为3.
(2)年平均费用＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n2＋n,10)＋0.4n＋10))÷n＝eq \f(n,10)＋eq \f(10,n)＋0.5≥2eq \r(\f(n,10)·\f(10,n))＋0.5＝2＋0.5＝2.5，
∴当eq \f(n,10)＝eq \f(10,n)，即n＝10时，最少年平均费用为2.5万元．
19．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3 600米道路的任务，按原计划完成总任务的eq \f(1,3)后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
(1)按原计划完成总任务的eq \f(1,3)时，已抢修道路1 200米；
(2)求原计划每小时抢修道路多少米？
解：(1)按原计划完成总任务的eq \f(1,3)时，已抢修道路3600×eq \f(1,3)＝1 200(米)，
(2)设原计划每小时抢修道路x米，
根据题意，得eq \f(1 200,x)＋eq \f(3 600－1 200,1＋50%x)＝10，
解得x＝280，
经检验：x＝280是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路280米．
20．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0解：(1)设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10a＋20b＝4 000，,20a＋10b＝3 500.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝100，,b＝150.))
即每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
(2)①根据题意，得y＝100x＋150(100－x)，
即y＝－50x＋15 000.
②根据题意，得100－x≤2x，解得x≥33eq \f(1,3).
∵y＝－50x＋15 000中，－50<0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，∴当x＝34时，y取得最大值，
此时100－x＝66.
即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大．
(3)根据题意，得y＝(100＋m)x＋150(100－x)，
即y＝(m－50)x＋15 000(33eq \f(1,3)≤x≤70).
①当0∴当x＝34时，y取得最大值．
即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大．
②当m＝50时，m－50＝0，y＝15 000.
即商店购进A型电脑的数量满足33eq \f(1,3)≤x≤70的整数时，均能使销售总利润最大．
③当500，y随x的增大而增大．
∴x＝70时，y取得最大值．
即商店购进A型电脑70台，B型电脑30台，才能使销售总利润最大．