中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题五　三角形

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三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，
证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；三角形在中考中的比重约为15%～20%.
【解题方法】
解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.
【知识结构】
【典例精选】：
如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．3 B．4 C．6 D．5
【思路点拨】过点D作DF⊥AC，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可求出AC的长．
答案：A
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)连结DE，线段DE与AB
之间有怎样的位置和数量关系？
请证明你的结论．
【思路点拨】(1)由AB＝AC及AE∥BC易得∠B＝∠CAE，然后由AD是中线可得∠ADB＝∠CEA，由AAS证明两个三角形全等；(2)由(1)可得AE＝BD，结合已知条件AE∥BC可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE与AB平行且相等．
【自主解答】
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC.∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°.
∴∠CEA＝∠ADB.又∵AB＝AC，∴△ABD≌ △CAE(AAS)．
(2)解：AB∥DE且AB＝DE.由(1)△ABD≌△CAE可得AE＝BD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB＝DE.
规律方法：
在求线段，角，的长度，度数或证明线段，角相等时，利用全等三角形的对应边，角相等，可将对应边，角进行转化，从而建立已知与未知之间的联系.
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC是直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)
【思路点拨】(1)分别求出△ABC三边的长度，利用勾股定理进行判断；(2)分别求出△DEF三边的长度，计算△DEF与△ABC三边长度的比值，进而作出判断；(3)观察图形，所求作的三角形满足其三边与△ABC三边的比值相等即可．
【自主解答】
(1)证明：根据勾股定理，得AB＝2eq \r(5)，AC＝eq \r(5)， BC＝5；显然有AB2＋AC2＝BC2，
根据勾股定理的逆定理，得△ABC 为直角三角形．
(2)解：△ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得DE＝4eq \r(2)，DF＝2eq \r(2)，EF＝2eq \r(10).
∵eq \f(AB,DE)＝eq \f(AC,DF)＝eq \f(BC,EF)＝eq \f(\r(5),2\r(2)) .∴△ABC∽△DEF.
(3)解：如图，△P2P4 P5即为所求．
规律方法：
在网格中证明两个三角形相似，可分别计算两个三角形三边的长度，再计算三组对应边的比是否相等，根据三组对应边的比相等，得两三角形相似.
如图，港口B位于港口O正西方向120 km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．
一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以 v km/h的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．
(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？
(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h，求v的值及相遇处与港口O的距离．
【思路点拨】(1)根据题意可知∠CBO＝60°，∠COB＝30°，∴∠C＝90°，在Rt△BOC中，根据cs ∠CBO＝eq \f(BC,BO)，求出BC，根据“路程＝速度×时间”求出时间即可；
(2)根据题意游船共行驶了3个小时，所以行驶路程为 3v km，设相会点为点E，作CD⊥OA，分点E在线段OD上和在射线DA上两种情况，解非直角三角形OCE，根据DE＝90－3v或DE＝3v－90，利用CD2＋DE2＝CE2，求出速度v和路程OE即可．
【自主解答】
解：(1)∵∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，
∴∠BCO＝90°，∴BC＝OB·cs 60°＝120×eq \f(1,2)＝60(km)，
∴快艇从港口B到小岛C需要的时间为eq \f(60,60)＝1(h)．
(2)过点C作CD⊥OA，设相遇处为点E.
则OC＝OB·cs 30°＝60eq \r(3)(km)，CD＝eq \f(1,2)OC＝30eq \r(3)(km)，OD＝OC·cs 30°＝90(km)．
分两种情况：
当点E在线段OD上时，如图①，DE＝(90－3v)km，
∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，
∴(30eq \r(3))2＋(90－3v)2＝602，
∴v＝20或v＝40.
∵90－3v>0，∴v＝20.
当点E在射线DA上时，如图②，DE＝(3v－90)km，
∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，
∴(30eq \r(3))2＋(3v－90)2＝602，
∴v＝20或v＝40.
∵3v－90>0，∴v＝40.
∴当v＝20 km/h时，
OE＝3×20＝60(km)；
当v＝40 km/h时，
OE＝3×40＝120(km)．
规律方法：
解决此类问题的关键在于将斜三角形转化为直角三角形，而转化的关键是作出三角形的某一条高.
【能力评估检测】
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°， AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是( C )
A．45° B．54° C．40° D．50°
2．已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( B )
A．14 B．12
C．12或14 D．以上都不对
3．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( A )
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为( B )
A. eq \r(3) B．1 C. eq \r(2) D．2
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连结FB，则tan∠CFB的值等于( C )
A. eq \f(\r(3),3) B. eq \f(2\r(3),3) C. eq \f(5\r(3),3) D．5eq \r(3)
6.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是( C )
A．2海里 B．2 sin 55°海里
C．2cs 55°海里 D．2tan 55°海里
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12.正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( )
A．1
B．2
C．12eq \r(2)－6
D．6eq \r(2)－6
【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点I，BH＝eq \f(1,2)BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝eq \r(AB2－BH2)＝eq \r(182－62)＝12eq \r(2)，易知D，G分别是AB，AC的中点，则I为AH的中点，IH＝6eq \r(2)，DG＝eq \f(1,2)BC＝6，则正方形DGFE的边长FG＝6，于是点F到BC的距离＝6eq \r(2)－6.故选D.
答案: D
8．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )
A．3 s或4.8 s B．3 s
C．4.5 s D．4.5 s或4.8 s
【解析】根据题意，设当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x s，①若△ADE∽△ABC，则eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，∴eq \f(x,6)＝eq \f(12－2x,12)，解得x＝3；②若△ADE∽△ACB，则eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)，∴eq \f(x,12)＝eq \f(12－2x,6)，解得 x＝4.8.∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3 s或4.8 s．故选A.
答案: A
二、填空题
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝15 °.
10．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为13.
11．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是答案不唯一，如AB＝CD或∠ACB＝∠DBC(填一个即可)．
12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为 .
【解析】在△ABC中，∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△AFH≌△ACH.∴AF＝AC＝3.∵AB＝5，∴BF＝2.∵AF＝AC，CH⊥AE，∴FH＝HC.∵AD为△ABC的中线，∴DH为△CBF的中位线，DH＝eq \f(1,2)BF＝1.
答案: 1
三、解答题
13．已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.
(1)如图①，连结BD，AF，则BD________AF(填“＞”“＜”或“＝”)．

图①
(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连结BH，GF.求证：BH＝GF.
图②
(1)解：＝
(2)证明：如图，将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R.∵MN∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB. ∴∠GRC＝∠RGC，∴CG＝CR.又∵MN∥BF，CR∥EH，∴CR＝EH.∴CG＝EH.由平移的性质得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.又∵∠HEB＝ ∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.
14．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直．
现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处．求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数)
(参考数据：sin 35°≈0.57，cs 35°≈0.82， tan 35°≈0.70)
解：如图，过点A′作A′H⊥OA于点H，
由旋转可知，OA′＝OA＝80 cm，
在Rt△OA′H中，OH＝OA′cs 35°≈80×0.82＝65.6(cm)．
∴AH＝OA－OH＝80－65.6＝14.4≈14(cm)．
答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14 cm.
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．
(1)证明：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF；
(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．
(1)证明：如图，连结AC，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠B＝60°.∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC.又∵△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∴△ABE≌ △ACF.∴BE＝CF.
(2)解：当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4eq \r(3).理由如下：由(1)知，S△ABE＝S△ACF.∴S四边形AECF＝S△AEC＋ S△ACF＝S△AEC＋ S△ABE ＝S△ABC＝eq \f(1,2)×4×4×sin 60°＝4eq \r(3).△CEF的面积发生变化，其最大值为eq \r(3).∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝4eq \r(3)－eq \f(\r(3),4)×AE2，当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin 60°，即AE＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，∴S△CEF的最大值为4eq \r(3)－eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(3))2＝eq \r(3).