高考数学一轮复习 第6章 重点强化课3 不等式及其应用

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A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞)D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≥0，,1，xf(2x)的x的取值范围是__________．
(1)D (2)(－1，eq \r(2)－1) [(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,2x2－3x－2≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x≠2且x≠－\f(1,2)，))即－1≤x≤1且x≠－eq \f(1,2)，所以函数的定义域为eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)∪－\f(1,2)，1))，故选D.
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,2x2x，,2x≥0，))
解得－10，,0，x＝0，,－x2－4x，xx，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x>x，,x>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－4x>x，,x5或－50，b>0，a≠1，b≠1)．设a＝2，b＝eq \f(1,2).
(1)求方程f(x)＝2的根；
(2)若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
[解] 因为a＝2，b＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝2x＋2－x.2分
(1)方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.5分
(2)由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，
所以m≤eq \f(fx2＋4,fx)对于x∈R恒成立.8分
而eq \f(fx2＋4,fx)＝f(x)＋eq \f(4,fx)≥2eq \r(fx·\f(4,fx))＝4，且eq \f(f02＋4,f0)＝4，
所以m≤4，故实数m的最大值为4.12分
[规律方法]
基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
[对点训练3] (1)设a，b，c∈(0，＋∞)，则“abc＝1”是“eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则eq \f(x＋8y,xy)的最小值为__________．
(1)A (2)9 [(1)当a＝b＝c＝2时，有eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))≤a＋b＋c，
但abc≠1，所以必要性不成立．
当abc＝1时，eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))＝eq \f(\r(bc)＋\r(ac)＋\r(ab),\r(abc))＝eq \r(bc)＋eq \r(ac)＋eq \r(ab)，
a＋b＋c＝eq \f(a＋b＋b＋c＋a＋c,2)≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ac)，所以充分性成立．
故“abc＝1”是“eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
(2)由已知得eq \f(x＋2y,2)＝1.
则eq \f(x＋8y,xy)＝eq \f(1,y)＋eq \f(8,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(8,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(x,y)＋\f(16y,x)))≥eq \f(1,2)(10＋2 eq \r(16))＝9，
当且仅当x＝eq \f(4,3)，y＝eq \f(1,3)时取等号．]
重点强化训练(三) 不等式及其应用
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列不等式一定成立的是( )
A．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))>lg x(x>0)
B．sin x＋eq \f(1,sin x)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.eq \f(1,x2＋1)>1(x∈R)
C [取x＝eq \f(1,2)，则lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))＝lg x，故排除A；取x＝eq \f(3,2)π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则eq \f(1,x2＋1)＝1，排除D.]
2．(2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0，))则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6
C．10 D．17
B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－eq \f(2,5)x＋eq \f(1,5)z，在图中画出直线y＝－eq \f(2,5)x，
平移该直线，易知经过点A时z最小．
又知点A的坐标为(3,0)，
∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.]
3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－3y＋4≥0))中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2eq \r(2)B．4
C．3eq \r(2)D．6
C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．
因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝eq \r(2＋12＋－2－12)＝3eq \r(2).故选C.]
4．不等式eq \f(4,x－2)≤x－2的解集是( )
A．[－∞，0)∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)
B [①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；
②当x－20，a＋b＝5，则eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋3)的最大值为__________.
【导学号：31222217】
3eq \r(2) [令t＝eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋3)，则t2＝a＋1＋b＋3＋2eq \r(a＋1b＋3)＝9＋2eq \r(a＋1b＋3)≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝eq \f(7,2)，b＝eq \f(3,2).
∴tmax＝eq \r(18)＝3eq \r(2).]
8．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cs 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为__________．
【导学号：31222218】
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)) [由题意，要使8x2－(8sin α)x＋cs 2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2 α－32cs 2α≤0，
化简得cs 2α≥eq \f(1,2).
又0≤α≤π，∴0≤2α≤eq \f(π,3)或eq \f(5π,3)≤2α≤2π，
解得0≤α≤eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)≤α≤π.]
三、解答题
9．已知不等式eq \f(ax－1,x＋1)>0(a∈R)．
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．
[解] (1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.1分
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x0时，不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x＋1)>0.
解得xeq \f(1,a)；3分
③当a