高考数学一轮复习 第10章 第1节 随机事件的概率

这是一份高考数学一轮复习 第10章 第1节 随机事件的概率，共16页。

第十章　概　率
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[五年考情]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
随机事件的概率
全国卷Ⅱ·T18
全国卷Ⅱ·T18

全国卷Ⅱ·T19
全国卷·T18
古典概型
全国卷Ⅰ·T3
全国卷Ⅲ·T5
全国卷Ⅰ·T4
全国卷Ⅰ·T13
全国卷Ⅱ·T13
全国卷Ⅰ·T3
全国卷Ⅱ·T13

几何概型
全国卷Ⅱ·T8




[重点关注]
综合近5年的全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：
1．从考查题型看：一般有1个客观题或1个解答题；从考查分值看，占5～17分，基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握，中档题主要考查应用意识、转化与化归思想及运算求解能力．
2．从考查知识点看：主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型．
3．从命题思路上看：
(1)随机事件的概率与统计知识相结合考查．
(2)概率的计算主要考查古典概型的应用．
[导学心语]
1．全面系统复习，深刻理解知识本质
(1)深刻把握随机事件、互斥事件、对立事件、古典概型、几何概型的概念，复习时可以通过选择一些易错易混的小题进行强化．
(2)重视古典概型概率公式、几何概型概率公式、互斥及对立事件概率公式的理解和应用，注意公式适用的条件．
2．熟练掌握解决以下问题的方法与规律
(1)随机事件的概率、互斥事件概率、对立事件概率的求法．
(2)古典概型概率与几何概型概率的计算．利用强化训练，总结规律方法，提升认识．
3．重视转化与化归思想的应用
(1)需要将实际问题的概率计算转化为某概率类型进而求解．
(2)将古典概型概率计算转化为计数问题；将几何概型概率计算转化为长度、面积的计算；将复杂事件的概率计算转化为互斥事件或对立事件的概率计算等．
(3)将图表信息转化为概率计算需要的数量，进而求解，并重视与统计知识交汇渗透．
第一节　随机事件的概率
————————————————————————————————
[考纲传真]　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．


1．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．事件的关系与运算

定义
符号表示
包含关系
若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
且A∪B＝Ω
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式．
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．(　　)
(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为(　　)
A．①　　　　 B．②　　　　
C．③　　　　 D．④
B　[至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]
3．(2016·天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
A　[事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.]
4．(2017·郑州调研)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________．
　[从A，B中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，
其中和为4的有两种情况(2,2)，(3,1)，
故所求事件的概率P＝＝.]
5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．(填序号)
①至多有一次中靶；②两次都中靶；③只有一次中靶；④两次都不中靶
④


随机事件间的关系

　(2017·中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．①　　　　 B．②④　　　　
C．③　　　　 D．①③
C　[从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．]
[规律方法]　1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．
[变式训练1]　口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.
【导学号：31222392】
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．
①④　[当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，④正确．由于P(B)＝，P(C)＝，所以⑤不正确．]

随机事件的频率与概率
　(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保　费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.4分
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.8分
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
10分
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.12分
[规律方法]　1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．
2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
[变式训练2]　(2017·西安质检)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
[解]　(1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分
以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为＝.5分
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝＝.10分
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.12分

互斥事件与对立事件的概率
　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
【导学号：31222393】
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．
[解]　(1)由题意，得
解得x＝15，且y＝20.2分
该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．
又＝＝1.9，
∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.5分
(2)设B，C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．”7分
将频率视为概率，得P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
∵B，C互斥，且＝B＋C，
∴P()＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，10分
因此P(A)＝1－P()＝1－＝，
∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.12分
[规律方法]　1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．
(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．
2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
[变式训练3]　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解]　(1)P(A)＝，
P(B)＝＝，2分
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.5分
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝，8分
故1张奖券的中奖概率约为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝，
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.12分

[思想与方法]
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生．
3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)．
[易错与防范]
1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
2．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．
课时分层训练(六十一)　随机事件的概率
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是
(　　)
A．互斥但非对立事件　　　　 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
A　[由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．]
2．(2017·湖南衡阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)
A．0.7　　　　 B．0.65　　　　
C．0.35　　　　 D．0.3
C　[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，
∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]
3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
【导学号：31222394】
A. B.
C. D．1
C　[设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，
故P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.]
4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　)
A. B.
C. D.
C　[设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有n＝6×6＝36种不同结果，满足a＝b的基本事件共有6种，
所以摸出编号不同的概率P＝1－＝.]
5.如图10­1­1所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(　　)

图10­1­1
A. B.
C. D.
C　[设被污损的数字为x，则
甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90，
乙＝(83＋83＋87＋99＋90＋x)，
若甲＝乙，则x＝8.
若甲>乙，则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7，
故P＝＝.]
二、填空题
6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
【导学号：31222395】
0　[①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．]
7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．
经随机模拟产生了如下20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812　458　569
683　431　257　393　027　556　488　730　113
537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
【导学号：31222396】
　[20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝＝.]
8．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝________.
　[将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”．
则C，D互斥，
且P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.]
三、解答题
9．(2015·北京高考节选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品
顾客人数　　　
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．
[解]　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为＝0.2.5分
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.12分
10．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
[解]　记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥.1分
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56，
解得x＝0.3.5分
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得
P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.8分
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，
即y＋0.2＋0.04＝0.44，
解得y＝0.2.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
C　[掷一个骰子的试验有6种可能结果．
依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P()＝1－P(B)＝1－＝.
∵表示“出现5点或6点”的事件，
因此事件A与互斥，
从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.]
2．某城市2017年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P






其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50 　[由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.]
3．(2017·贵阳质检)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
[解]　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.2分
由表格知，赔付金额大于投保金额即事件A＋B发生，
且A，B互斥，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27，
故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.5分
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，10分
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，
因此，由频率估计概率得P(C)＝0.24.12分