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高考数学一轮复习 第8章 第2节 两条直线的位置关系
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这是一份高考数学一轮复习 第8章 第2节 两条直线的位置关系，共12页。
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．距离
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( )
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( )
(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
( )
A.eq \r(2) B．2－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1D.eq \r(2)＋1
C [由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，即|a＋1|＝eq \r(2)，
又a>0，∴a＝eq \r(2)－1.]
3．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
(2，－2) [直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,－2x＋y＋6＝0，))解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点(2，－2)．]
4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．
2 [由eq \f(a,a－3)＝－2，得a＝2.]
5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
2 [∵eq \f(6,3)＝eq \f(m,4)≠eq \f(14,－3)，∴m＝8，
直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，
∴两平行线之间的距离d＝eq \f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2.]
(1)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·青岛模拟)过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0
(1)A (2)A [(1)当a＝1时，显然l1∥l2，
若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，
所以a＝1或a＝－2.
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
(2)直线x－2y＋3＝0的斜率为eq \f(1,2)，从而所求直线的斜率为－2.
又直线过点(－1,3)，
所以所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.]
[规律方法] 1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B2C2≠0时，比例式eq \f(A1,A2)与eq \f(B1,B2)，eq \f(C1,C2)的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．
[变式训练1] 已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A．－10 B．－2
C．0 D．8
A [∵l1∥l2，∴kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.
又∵l2⊥l3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，
解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]
(1)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程. 【导学号：31222289】
(1)x＋3y－5＝0或x＝－1 [法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq \f(1,3)，
∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，直线l的方程为
y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]
(2)设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，则直线l与l2的交点B(6－x0，－y0)，2分
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－2＝0，,6－x0－y0＋3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(11,3)，,y0＝\f(16,3)，))6分
即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,3)，\f(16,3)))，从而直线l的斜率k＝eq \f(\f(16,3)－0,\f(11,3)－3)＝8，10分
直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.12分
[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．
2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
[变式训练2] 若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程．
[解] ①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B点坐标为(1,4)，
此时|AB|＝5，即直线l的方程为x＝1.4分
②设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝kx－1，))
得x＝eq \f(k＋7,k＋2)且y＝eq \f(4k－2,k＋2)(k≠－2，否则l与l1平行)．
则B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋7,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).8分
又A(1，－1)，且|AB|＝5，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋7,k＋2)－1))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2＝52，解得k＝－eq \f(3,4).10分
因此y＋1＝－eq \f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.12分
(1)平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．
(2)光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，则BC所在的直线方程是________．
(1)y＝2x－3 (2)10x－3y＋8＝0 [(1)法一：在直线l上任取一点P′(x，y)，其关于点(1,1)的对称点P(2－x,2－y)必在直线y＝2x＋1上，
∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0.
因此，直线l的方程为y＝2x－3.
法二：由题意，l与直线y＝2x＋1平行，设l的方程为2x－y＋c＝0(c≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，
∴eq \f(|2－1＋c|,\r(22＋1))＝eq \f(|2－1＋1|,\r(22＋1))，解得c＝－3.
因此所求直线l的方程为y＝2x－3.
法三：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为eq \f(y＋1,1＋1)＝eq \f(x－1,2－1)，即y＝2x－3.
(2)作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，
则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．
由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为eq \f(y－6,－4－6)＝eq \f(x－1,－2－1)，即10x－3y＋8＝0.]
[迁移探究1] 在题(1)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点”，则结果如何？
[解] 设点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为A′(a，b)，2分
则AA′的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋a,2)，\f(1＋b,2)))，4分
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋b,2)＝2×\f(1＋a,2)＋1，,\f(b－1,a－1)×2＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(3,5)，,b＝\f(9,5)，))10分
故点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(9,5))).12分
[迁移探究2] 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x－y＝0对称”，则结果如何？
[解] 在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于直线x－y＝0的对称点为M(1,0)，点B关于直线x－y＝0的对称点为N(3,1)，6分
∴根据两点式，得所求直线的方程为eq \f(y－1,0－1)＝eq \f(x－3,1－3)，即x－2y－1＝0.12分
[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．
2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
[变式训练3] (2017·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＋y－2＝0对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0
B [由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0的交点坐标为(1,1)．
在直线x－2y＋1＝0上取点A(－1,0)，
设A点关于直线x＋y－2＝0的对称点为B(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m＋1)×－1＝－1，,\f(m－1,2)＋\f(n,2)－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝3.))
故所求直线的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－1,2－1)，即2x－y－1＝0.]
[思想与方法]
1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．
2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．
[易错与防范]
1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．
2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
课时分层训练(四十六)
两条直线的位置关系
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
C [因为线段AB的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋m,2)，0))在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.]
2．(2016·北京高考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A．1B．2
C.eq \r(2)D．2eq \r(2)
C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离为eq \f(|－1－0＋3|,\r(12＋－12))＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).]
3．若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于
( )
A．－1B．0
C．1D．2
C [由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a＋1,2)))×eq \f(1,a)＝－1，得a＋1＝2a，故a＝1.]
4．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )
A．(－2,1)B．(2,1)
C．(1，－2)D．(1,2)
A [mx－y＋2m＋1＝0，即m(x＋2)－y＋1＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,－y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))故定点坐标为(－2,1)．]
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点( )
【导学号：31222290】
A．(0,4)B．(0,2)
C．(－2,4)D．(4，－2)
B [直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．]
二、填空题
6．(2017·深圳模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________．
【导学号：31222291】
(0,3) [因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k＝2.
又直线l2过点(－1,1)，
所以l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3.
令x＝0，得y＝3，
所以P点坐标为(0,3)．]
7．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是eq \r(2)，则直线l1的方程为________．
x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 [设直线l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，
由题意知eq \f(|C＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，即|C＋1|＝2，
解得C＝1或C＝－3，
因此直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.]
三、解答题
9．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【导学号：31222292】
[解] 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得l1，l2的交点坐标为(－1,2).5分
∵l3的斜率为eq \f(3,5)，∴l的斜率为－eq \f(5,3)，8分
则直线l的方程为y－2＝－eq \f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.12分
10．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
[解] (1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))2分
∴直线l恒过定点(－2,3).5分
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.7分
又直线PA的斜率kPA＝eq \f(4－3,3＋2)＝eq \f(1,5)，
∴直线l的斜率kl＝－5.10分
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
D [∵切线平行于直线2x＋y＋1＝0.
设切线方程为2x＋y＋c＝0.
依题意，得eq \f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq \r(5)，则c＝±5.]
2．(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为________．
10 [由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，
∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上．
∵|PQ|＝eq \r(9＋1)＝eq \r(10)，
∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.]
3．若m＞0，n＞0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，求eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值．
[解] 易知点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为M(1－n,1＋m).3分
又点M(1－n,1＋m)在直线x－y＋2＝0上，
∴1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.6分
于是eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(1,2)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝1＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＋\f(m,n)))≥1＋eq \f(1,2)·2eq \r(\f(n,m)·\f(m,n))＝2，10分
当且仅当m＝n＝1时，上式等号成立．
因此eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为2.12分
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|
d＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间
的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
两条直线的平行与垂直
两直线的交点与距离问题
对称问题
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．距离
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( )
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( )
(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
( )
A.eq \r(2) B．2－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1D.eq \r(2)＋1
C [由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，即|a＋1|＝eq \r(2)，
又a>0，∴a＝eq \r(2)－1.]
3．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
(2，－2) [直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,－2x＋y＋6＝0，))解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点(2，－2)．]
4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．
2 [由eq \f(a,a－3)＝－2，得a＝2.]
5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
2 [∵eq \f(6,3)＝eq \f(m,4)≠eq \f(14,－3)，∴m＝8，
直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，
∴两平行线之间的距离d＝eq \f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2.]
(1)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·青岛模拟)过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0
(1)A (2)A [(1)当a＝1时，显然l1∥l2，
若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，
所以a＝1或a＝－2.
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
(2)直线x－2y＋3＝0的斜率为eq \f(1,2)，从而所求直线的斜率为－2.
又直线过点(－1,3)，
所以所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.]
[规律方法] 1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B2C2≠0时，比例式eq \f(A1,A2)与eq \f(B1,B2)，eq \f(C1,C2)的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．
[变式训练1] 已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A．－10 B．－2
C．0 D．8
A [∵l1∥l2，∴kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.
又∵l2⊥l3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，
解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]
(1)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程. 【导学号：31222289】
(1)x＋3y－5＝0或x＝－1 [法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq \f(1,3)，
∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，直线l的方程为
y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]
(2)设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，则直线l与l2的交点B(6－x0，－y0)，2分
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－2＝0，,6－x0－y0＋3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(11,3)，,y0＝\f(16,3)，))6分
即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,3)，\f(16,3)))，从而直线l的斜率k＝eq \f(\f(16,3)－0,\f(11,3)－3)＝8，10分
直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.12分
[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．
2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
[变式训练2] 若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程．
[解] ①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B点坐标为(1,4)，
此时|AB|＝5，即直线l的方程为x＝1.4分
②设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝kx－1，))
得x＝eq \f(k＋7,k＋2)且y＝eq \f(4k－2,k＋2)(k≠－2，否则l与l1平行)．
则B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋7,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).8分
又A(1，－1)，且|AB|＝5，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋7,k＋2)－1))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2＝52，解得k＝－eq \f(3,4).10分
因此y＋1＝－eq \f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.12分
(1)平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．
(2)光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，则BC所在的直线方程是________．
(1)y＝2x－3 (2)10x－3y＋8＝0 [(1)法一：在直线l上任取一点P′(x，y)，其关于点(1,1)的对称点P(2－x,2－y)必在直线y＝2x＋1上，
∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0.
因此，直线l的方程为y＝2x－3.
法二：由题意，l与直线y＝2x＋1平行，设l的方程为2x－y＋c＝0(c≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，
∴eq \f(|2－1＋c|,\r(22＋1))＝eq \f(|2－1＋1|,\r(22＋1))，解得c＝－3.
因此所求直线l的方程为y＝2x－3.
法三：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为eq \f(y＋1,1＋1)＝eq \f(x－1,2－1)，即y＝2x－3.
(2)作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，
则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．
由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为eq \f(y－6,－4－6)＝eq \f(x－1,－2－1)，即10x－3y＋8＝0.]
[迁移探究1] 在题(1)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点”，则结果如何？
[解] 设点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为A′(a，b)，2分
则AA′的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋a,2)，\f(1＋b,2)))，4分
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋b,2)＝2×\f(1＋a,2)＋1，,\f(b－1,a－1)×2＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(3,5)，,b＝\f(9,5)，))10分
故点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(9,5))).12分
[迁移探究2] 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x－y＝0对称”，则结果如何？
[解] 在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于直线x－y＝0的对称点为M(1,0)，点B关于直线x－y＝0的对称点为N(3,1)，6分
∴根据两点式，得所求直线的方程为eq \f(y－1,0－1)＝eq \f(x－3,1－3)，即x－2y－1＝0.12分
[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．
2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
[变式训练3] (2017·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＋y－2＝0对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0
B [由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0的交点坐标为(1,1)．
在直线x－2y＋1＝0上取点A(－1,0)，
设A点关于直线x＋y－2＝0的对称点为B(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m＋1)×－1＝－1，,\f(m－1,2)＋\f(n,2)－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝3.))
故所求直线的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－1,2－1)，即2x－y－1＝0.]
[思想与方法]
1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．
2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．
[易错与防范]
1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．
2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
课时分层训练(四十六)
两条直线的位置关系
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
C [因为线段AB的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋m,2)，0))在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.]
2．(2016·北京高考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A．1B．2
C.eq \r(2)D．2eq \r(2)
C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离为eq \f(|－1－0＋3|,\r(12＋－12))＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).]
3．若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于
( )
A．－1B．0
C．1D．2
C [由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a＋1,2)))×eq \f(1,a)＝－1，得a＋1＝2a，故a＝1.]
4．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )
A．(－2,1)B．(2,1)
C．(1，－2)D．(1,2)
A [mx－y＋2m＋1＝0，即m(x＋2)－y＋1＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,－y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))故定点坐标为(－2,1)．]
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点( )
【导学号：31222290】
A．(0,4)B．(0,2)
C．(－2,4)D．(4，－2)
B [直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．]
二、填空题
6．(2017·深圳模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________．
【导学号：31222291】
(0,3) [因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k＝2.
又直线l2过点(－1,1)，
所以l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3.
令x＝0，得y＝3，
所以P点坐标为(0,3)．]
7．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是eq \r(2)，则直线l1的方程为________．
x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 [设直线l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，
由题意知eq \f(|C＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，即|C＋1|＝2，
解得C＝1或C＝－3，
因此直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.]
三、解答题
9．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【导学号：31222292】
[解] 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得l1，l2的交点坐标为(－1,2).5分
∵l3的斜率为eq \f(3,5)，∴l的斜率为－eq \f(5,3)，8分
则直线l的方程为y－2＝－eq \f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.12分
10．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
[解] (1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))2分
∴直线l恒过定点(－2,3).5分
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.7分
又直线PA的斜率kPA＝eq \f(4－3,3＋2)＝eq \f(1,5)，
∴直线l的斜率kl＝－5.10分
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
D [∵切线平行于直线2x＋y＋1＝0.
设切线方程为2x＋y＋c＝0.
依题意，得eq \f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq \r(5)，则c＝±5.]
2．(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为________．
10 [由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，
∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上．
∵|PQ|＝eq \r(9＋1)＝eq \r(10)，
∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.]
3．若m＞0，n＞0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，求eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值．
[解] 易知点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为M(1－n,1＋m).3分
又点M(1－n,1＋m)在直线x－y＋2＝0上，
∴1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.6分
于是eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(1,2)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝1＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＋\f(m,n)))≥1＋eq \f(1,2)·2eq \r(\f(n,m)·\f(m,n))＝2，10分
当且仅当m＝n＝1时，上式等号成立．
因此eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为2.12分
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|
d＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间
的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
两条直线的平行与垂直
两直线的交点与距离问题
对称问题
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