高考数学一轮复习 第8章 第3节 圆的方程

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1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
[解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．
(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a＜－2或a＞eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)＜a＜0
C．－2＜a＜0D．－2＜a＜eq \f(2,3)
D [由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，
解得－2＜a＜eq \f(2,3).]
3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4)
C.eq \r(3) D．2
A [圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝eq \f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq \f(4,3).]
4．(2017·西安质检)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
x2＋(y－1)2＝1 [两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆C的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.]
5．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4) [由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(00，
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq \f(2a,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2，
所以圆C的半径r＝|CM|＝eq \r(4＋5)＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.]
[规律方法] 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
[变式训练1] (2017·河南百校联盟联考)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．
x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10) [法一 ∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－eq \f(1,2)(x－4)．
设所求圆的圆心为C(a，b)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－b－3＝0，,b＝－\f(1,2)a－4，))
解得a＝2，且b＝1.
因此圆心坐标C(2,1)，半径r＝|AC|＝eq \r(10).
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(25＋4＋5D＋2E＋F＝0，,9＋4＋3D－2E＋F＝0，,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)))＋\f(E,2)－3＝0，))
解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，
∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.]
已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值．
[解] (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq \r(2).2分
又|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2)，
∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).5分
(2)可知eq \f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.6分
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.8分
由直线MQ与圆C有交点，所以eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
∴eq \f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).12分
[迁移探究1] (变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．
[解] 设y－x＝b，则x－y＋b＝0.3分
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，
∴eq \f(|2－7＋b|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，∴b＝9或b＝1.10分
因此y－x的最大值为9，最小值为1.12分
[迁移探究2] (变换条件结论)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．
[解] ∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，
∴|QC|min＝d＝eq \f(|2×3＋7×4＋1|,\r(32＋42))＝7.5分
又圆C的半径r＝2eq \r(2)，
∴|MQ|的最小值为7－2eq \r(2).12分
[规律方法] 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．
2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．
[变式训练2] 设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB的面积的最小值．
[解] 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，2分
圆心为C(1,1)，半径为r＝1.5分
根据对称性可知，四边形PACB的面积为
2S△APC＝2×eq \f(1,2)|PA|r＝|PA|＝eq \r(|PC|2－r2).8分
要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离
d＝eq \f(|3－4＋11|,\r(32＋－42))＝eq \f(10,5)＝2.10分
所以四边形PACB面积的最小值为
eq \r(|PC|\\al(2,min)－r2)＝eq \r(4－1)＝eq \r(3).12分
(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
[解] (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.2分
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up8(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up8(→))＝(2－x,2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up8(→))·eq \(MP,\s\up8(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.5分
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ON⊥PM.7分
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，
故l的方程为y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(8,3).10分
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，所以△POM的面积为eq \f(16,5).12分
[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
[变式训练3] 已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C满足|AC|＝|AB|，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程. 【导学号：31222293】
[解] 由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.3分
设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得
C(2x0－1,2y0－4)，6分
代入点C的轨迹方程得4xeq \\al(2,0)＋4(y0－2)2＝9，
化简得xeq \\al(2,0)＋(y0－2)2＝eq \f(9,4)，10分
故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝eq \f(9,4).12分
[思想与方法]
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
[易错与防范]
1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一前提条件．
2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．
3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．
课时分层训练(四十七) 圆的方程
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D [圆的半径r＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]
2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B.eq \f(\r(2),2)
C．1 D.eq \r(2)
D [圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．
故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝eq \f(|1＋2－1|,\r(2))＝eq \r(2).]
3．(2017·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A．3x＋y－5＝0B．x－2y＝0
C．x－2y＋4＝0D．2x＋y－3＝0
D [易知圆心坐标为(2，－1)．
由于直线x－2y＋3＝0的斜率为eq \f(1,2)，
∴该直径所在直线的斜率k＝－2.
故所求直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.]
4．若圆心在x轴上，半径为eq \r(5)的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－eq \r(5))2＋y2＝5B．(x＋eq \r(5))2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5
D [设圆心为(a,0)(a＜0)，
则r＝eq \f(|a＋2×0|,\r(12＋22))＝eq \r(5)，解得a＝－5，
所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.]
5．(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
B [如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]
二、填空题
6．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝－eq \f(5,4)