小五数学第19讲：定义新运算

第十九讲定义新运算

一、        定义新运算

（1）       基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

（2）       基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

（3）       关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

（4）       注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.

如：2＋3＝5            2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

二、        定义新运算分类

（1）       直接运算型

（2）       反解未知数型

（3）       观察规律型

（4）       其他类型综合

（1）       正确理解新运算的规律。

（2）       把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。

（3）       新运算也要遵守运算规律。

例1.规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。

答案：100。

解析：(2*3)*5=　[(3＋2)×3]*5=15*5=(5＋15)×5=100

　例2.对于数 a， b， c， d，规定〈a， b， c，d〉=2ab-c＋d。已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。

答案：6。

解析：＜1，3， 5，x＞＝2×1×3-5＋x＝1＋x。

　　例3.如果a△b表示(a-2)×b，例如　　3△4=(3-2)×4=4，　那么当( a△2)△3=12时， a等于几？

答案：5。

　　解析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3

　　＝（2a-4-2）×3＝6a-18，

　　由6a-18=12，解得a=5。

　例4.　　

答案：6。

解析：x。5－5。x＝（3x-2×5）-（3×5-2x）＝5x-25，由5x-25＝5，解得x＝6。

例5.对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“*”：a*b＝a(a＋1)(a＋2)…(a＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x等于几？

答案：3。

解析：a*b的含意为，从a开始的b个连续自然数相乘。由3660＝60×61知，x*3=60。三个连续自然数的乘积等于60。只有3×4×5，得到x＝3。

　例6.有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3。

　　(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？

　　(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？

　　(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？

答案：（1）9；（2）66；（3）C·D·A·B。

解析：（2）{［（100＋4）－5］÷3}×2=66。

A

1. 定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.

比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.求12⊙21,5⊙15;

答案：81,10。

2. 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. 求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;

答案：9,3,1。

  3. 如果、、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即
⑴；⑵。
现在规定一种运算"*"，它对于整数 a、 b、c 、d 满足：
。
例：
请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。

答案：不满足。

4.“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.

答案：254948903981。

5. 对于任意的两个自然数和，规定新运算： ，其中、表示自然数.⑴求1100的值；⑵已知1075，求为多少？

答案：5050；3。

B

6. 已知：10△3=14， 8△7=2， △，根据这几个算式找规律，如果
△=1，那么=.

答案：1 /8。

7. 国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：
 ①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；
②207÷11＝18……9；   
③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。
依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。

答案：2。

8. 对于任意两个数，定义新运算◆和，规则如下：◆=，.如：◆=，.由此计算：◆

答案：17/25。

9. 对于任意两个数，定义新运算，运算规则如下：◆=，.按此规则计算：◆=__________,◆

答案：5.4;188/165。

10. 用表示的小数部分，表示不超过的最大整数。例如：记，请计算的值。

答案：0.4；0。

C

11. 表示成;表示成.试求下列的值:

(1)
(2)
(3);

(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:.

答案：7;81;8;略。

12. 对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。

答案：-4。

13. 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. (1)已知11☉x=2,而x小于20,求x; (2)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.

答案：3,9,13;12，26，33，45。

14. 设a,b是两个非零的数,定义a※b. (1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值. 

答案：407/312,49/600;3。

15. 定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b. 比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.已知6⊙x=27,求x的值.

答案：15。

1. 定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如：　　4△ 6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。　根据上面定义的运算， 18△12等于几？

答案：42。

2.两个整数a和b，a除以b的余数记为a7b。例如，135=3。根据这样定义的运算，(269) 4等于几？

答案：0。

3. 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。请计算下式：　　[(70 3)△5]×[ 5 (3△7)]。

答案：25。

4. 规定： 6* 2=6＋66=72，　　2*3=2＋22＋222=246，　　1*4=1＋11＋111＋1111=1234。求7*5。

答案：86415。

5. 如果用φ(a)表示 a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？

答案：4。

1. 如果  1※2＝1＋11，2※3＝2＋22＋222 ，3※4＝3＋33＋333＋3333

计算 （3※2）×5。

答案：180。

2. 规定新运算※，a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.

答案：9。

3. 规定△, 计算：（2△1）（11△10）______.

答案：505。

4. 规定:6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.  7※5=

答案：86415。

5. 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1中的路线对应下面的算式：.请在图2中用粗线画出对应于算式：的路线．

答案：如上右图所示。

6. “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3；7⊙2；3⊙5，……按此规则，如果n⊙868，那么，n____.

答案：5。

7. 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)

答案：狼。

8. 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为，为偶数的那些数字的和记为，例如，．

；＝．

答案：501；400。