小五数学第14讲：分数的问题（教师版）.doc

第十四讲  分数的问题

1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。

一、分数与除法的关系，真分数和假分数

1、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。 2、真分数和假分数：

① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。

② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 ③ 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。 2、假分数与带分数的互化：

① 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。

② 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。

二、分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 2、分数的大小比较：

① 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小； ② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。

③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。（依据分数的基本性质进行变化）

三、约分（最简分数）

1、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 （并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）

注意：分数加减法中，计算结果能约分的，一般要约分成最简分数。 五、分数和小数的互化：

1、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几??，能约分的必须约成最简分数；

2、分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留三位小数。） 3、分数和小数比较大小：一般把分数变成小数后比较更简便。 六、分数的加法和减法 1、真分数加减法

（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减） （2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减） （3） 分数加减混合运算：同整数。 （4） 结果要是最简分数

2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

3、（1）同分母分数加、减法

①同分母分数加、减法：

同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。 ②计算的结果，能约分的要约成最简分数。 （2）异分母分数加、减法

①分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。 ②异分母分数的加减法：

异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。 （3）分数加减混合运算

①分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。

在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。

1．在、、、四个分数中，第二大的是.

答案：

解析：提示,将分子“通分”为72，再比较分母的大小.

2. 有一个分数,分子加1可以约简为,分子减1可约简为,这个分数是.

答案：

解析：事实上,所求分数为和的平均数,即(+)2=.

3. 已知.把A、B、C、D、E这五个数从小到大排列,第二个数是.

答案：C

解析：因为,又,所以D>E>B>C>A,故从小到大第二个数是C.

4. 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是.

答案：

解析：分母是n的所有真分数共有n-1个,这n-1个分数的分子依次为1~n-1, 和为,所以分母n的所有真分数之和等于.本题的解为

+

=+1+2+3+5+6+8+9+11+14=.

5. 三个质数的倒数和为,则a=.

答案： 131

解析：因为231=3711,易知这3个质数分别为3,7和11,又+=,故a=131.

6.计算,把结果写成若干个分母是质数的既约分数之和:

=.

答案：.

解析;原式=,令,则19a+7b=83,易见a=4,b=1,符合要求.

A

1．分数、、、从小到大排列为.

答案：、、、.

2. 有分母都是7的真分数、假分数和带分数各一个，它们的大小只差一个分数单位.这三个分数分别是.

答案：，，.

3. 已知A、B、C、D四个数中最大的是.

答案：B.

解析： 从题目看,A、B、C、D中最大的,即为与与15.2与14.8中最小的,容易求出,与B相乘的最小,所以B最大.

4. 所有分子为11,而且不能化成有限小数的假分数共有个.

答案：  4.

解析： 符合题意的假分数有、、和共4个.

5.在等式中,a,b都是由三个数字1,4,7组成的带分数,这两个带分数的和是.

答案：.

解析： 由1,4,7三个数字组成的带分数有,,,经验算,只有a=,b=符合条件.a+b=.

B

6.在下面算式的两个括号中,各填入一个三位数,使等式成立:

.

解析：.(填出一组即可)

提示:设a,b为1998的两个互质的约数,且a>b.将分解为两个单位分数之差,得到.因为与都是三位数，所以100.100,得所以.

又由,得,,所以,.由此得到:      ①

也就是说,只要找到满足①式的1998的两个(互质的)约数,就能得到符合题意的一组解.满①式的a,b有三组:3，2；54，37；37，27.于是得到

7. 将五个数按从小到大的顺序排列,其中第3个位置与第4个位置上的两数之和为.

解析：.

通过通分(找最简公分子),

.显然,因此,.所求两数之和为.

8. 设化为循环小数后,它们的循环节长度分别是m,n,k(即它们的循环节分别有m,n,k位),则m+n+k=.

答案： 14.

解析：,,.

故m=3,n=6,k=5,因此m+n+k=14.

9. 把表示成三个不同的分数单位和的式子是.

答案：.

解析：.

10.小林写了八个分数,已知其中的五个分数是、、、、，如果这八个分数从小到大排列的第四个分数是，那么按从大到小排列的第三个分数是.

答案：.

解析：提示:已知的五个分数从大到小排列依次为、、、、，因此未知的三个分数都小于.

C

11．如果，其中A>B,求AB.

答案：注意到1997是质数,其约数为1和1997.

解析：.

所以A=19971998,B=1998.故AB=1997.

12. 将写成分母是连续自然数的五个真分数的和.

解析： 原式=

       =+

       =

13. 在分母小于15的最简分数中,比大并且最接近的是哪一个?

解析： 设所求的分数为,(m,n)=1,n<15.

因为-=.

由题目要求,取m、n使右边式子大于0,且为最小,若5m-2n=1,则m=当n<15时,使m为整数的最大整数n是12,此时,m=5,差为.

若5m-2n1,则.故此大并且最接近的是.

14.分数中的a是一个自然数,为了使这个分数成为可约分数, a最小是多少?

解析：.

原分数是可约分数,也应是可约分数,推知a最小是11.

15.(1)要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分?

(2)如果把上面(1)中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？

解析： (1)把9块中的三块各分为两部分:

,,.

    每个孩子得块:

甲:1+1+；乙:1+；丙: 1++；丁:1+1+.

(2)好分,每人分块:

甲:1+；乙:；丙:；丁:；戊:；己:；庚:.

1.有一个分数,它的分母比分子多4.如果把分子、分母都加上9,得到的分数约分后是,这个分数是.

答案：

解析：后来的分母为,故原来分母为18-9=9,

    原来分子为9-4=5,原分数为.

2.甲、乙两数是自然数,如果甲数的恰好是乙数的.那么甲、乙两数之和的最小值是.

答案：13

解析：甲数是乙数的,甲乙两数之和是乙数的,要使甲乙两数之和最小,乙只能是10,从而甲数是3,和为13.

3.商店的书包降价后,又提价,最后的价格是8元1角一个,那么最初是

元钱一个.

答案：9

解析：(元).

4.小萍今年的年龄是妈妈的,二年前母子年龄相差24岁,四年后小萍的年龄是.

 答案：  16

解析：16(岁).

5.甲从A地到B地需要5小时,乙从B地到A地,速度是甲的.现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,相向而行.在途中相遇后继续前进.甲到B地后立即返回,乙到A地后也立即返回,他们在途中又一次相遇.如果两次相遇点相距72千米,A、B两地相距多少千米?

解析： 将A、B两地的距离看作单位“1”,则甲每小时行,乙每小时行,

     第一次相遇时间是(小时).此时甲行了全程的,

     乙行了全程的.

     从第一次相遇到第二次相遇,两人合走了两个全程,甲走了全程的,这个地方离甲的出发点是全程的,故两次相遇点之间距离是全程的,全程的距离是(千米).

1.足球赛门票15元一张,降价后观众增加了一半,收入增加了五分之一,一张门票降价是元.

解析：(元).

2.把一根绳子分别等分折成5股和6股,如果折成5股比6股长20厘米,那么这根绳子的长度是厘米.

解析：(厘米).

3.张、王、李三人共有54元,张用了自己钱数的,王用了自己钱数的,李用了自己钱数的,各买了一支相同的钢笔,那么张和李两人剩下的钱共有

元.

解析：王的钱数是张的,李的钱数是张的,

故张原有(元),李原有(元),

    张与李共剩下(元).

4.某工厂的27位师傅共带徒弟40名,每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟.如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅的人数的两倍,那么带两名徒弟的师傅有位.

解析：带一名徒弟的师傅人数是(位);于是带二名或三名徒弟的师傅人数是27-18=9(位),他们共带了40-18=22(名)徒弟.

    假设这9位师傅都带了三名徒弟,就少了(位)徒弟,这说明5位师傅没有带三名徒弟,而是带两名徒弟.

5.李明到商店买一盒花球,一盒白球,两盒球的数量相等.花球原价是1元钱2个,白球原价是1元钱3个.节日降价,两种球的售价都是2元钱5个,结果李明少花了4元钱,那么他共买了个球.

解析：(个).

6.把100个人分成四队,一队人数是二队人数的倍,一队人数是三队人数的倍,那么四队有人.

解析：第二队人数是第一队人数的;

    第三队人数是第一队人数的,

三队人数和是第一队人数的.

由于四队人数和为100人,第一队人数只能是20.故第四队有 (人).

7.有一篓苹果,甲取一半少一个,乙取余下的一半多一个,丙又取余下的一半,结果还剩下一个,如果每个苹果1元9角8分,那儿这篓苹果共值元.

解析：(元).

8.小刚有若干本书,小华借走一半加一本,剩下的书小明借走一半加两本,再剩下的书小峰借走一半加三本,最后小刚还剩下两本书,那么小刚原有本书.

解析：小峰未借前有书(本),

小明未借之前有(本),

    小刚原有书(本).

    9.一条绳子第一次剪掉1米,第二次剪掉剩余部分的,第三次剪掉1米,第四次剪掉剩余部分的,第五次剪掉1米,第六次剪掉剩余部分的,这条绳子还剩下1米.这条绳子原长米.

解析：第六次剪前绳长(米);

    第四次剪前绳长=15(米),

    第二次剪前绳长(米),绳子原长32+1=33米.