小四数学第11讲：整除（教师版）

第11讲  整除

1. 整除的性质。

性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

2.2、3、5倍数的特征。

    能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除； 

    能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除； 

能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。

能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

3. 因数与倍数。

如果一个数能被另一个数整除，那么这个数是另一个数的倍数，另一个数是这个数的因数。1只有1个因数。

两个或多个数公有的倍数中，最小的一个叫作最小公倍数；两个或多个数公有的因数中，最大的一个叫作最大公因数。两个数除了1以外没有其他的公因数，那么这两个数互质（互为质数）。

4. 质数和合数。

如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数（素数）。2是最小的质数。

如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。1既不是质数也不是合数。

5. 奇数和偶数。

如果一个数能够被2整除，那么这个数叫作偶数；如果不能被2整除，那么这个数叫作奇数。

第一，整除的意义；第二，奇数、偶数、质数（素数）、合数的理解；第三，倍数和因数的认识，以及2、3、5倍数的特征；                                                       

例1.在3、5、8、14、24、27、30、43、51、62、68、70中，能够被2整除的有_____________，

能够被3整除的有____________，能够被5整除的有_____________。

考点：2、3、5的倍数特征

分析：此题在于考察对整除定义的理解，只需要用2、3、5分别去除这些数，看它们的商是否有余数，如果哪个数被除后，得到的商没有余数，则这个数能被相应的数整除。

解答：能够被2整除的数：8、14、30、62、68、70；能够被3整除的数：3、24、27、30、51；能够被5整除的数：30、70。

点评：熟练掌握2、3、5的倍数特征

例2.50以内，2和3的公倍数有          ，2和5的公倍数有         ，3和5的公倍数有            ，2、3、5的公倍数有               。

考点：2、3、5的倍数特征和综合倍数的特征

分析：此题考查的是公倍数，2和3的公倍数就是既是2的倍数，又是3的倍数，2和3的最小公倍数是6，因此只要是6的倍数就是2和3的公倍数；同理可求出2和5、3和5、2和3和5的公倍数。

解答：2和3的公倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48；2和5的公倍数有10、20、30、40、50；3和5的公倍数有15、30、45；2、3、5的公倍数有：30。

点评：掌握2、3、5的倍数特征

例3.30以内的奇数有                            ；

30以内的偶数有                               ；

30以内的质数有；30以内的合数有                                           。

考点：奇数、偶数、质数、合数

分析：此题考查对奇数、偶数、质数、合数的掌握情况。

解答：30以内的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27,、29；30以内的偶数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30；30以内的质数有2、5、7、11、13、17、19、23、29；30以为的合数有4、6、8、9、10、12，14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30。

点评：考查对奇数、偶数、质数、合数的掌握

例4.既不是质数也不是合数        ，最小的合数是          ，最小的质数是      ，最小的奇数是       ，最小的偶数是        

考点：特殊数的考察

分析：此题考查对一些较为特殊的数的掌握。

解答：1,，4，2，1，0。

点评：熟练记忆特殊数

例5. 3和一个数的最小公倍数是18，这个数是          ，12和一个不大于20的数的最大公因数是4，这个数是             。

考点：最大公因数和最小公倍数

分析：此题考查最小公倍数和最大公因数。3和一个数的最小公倍数是18，那么这个数一定也是18的因数，18的因数有1、3、6、9、18,，而这些数只有18和3的最小公倍数是18；12和一个不大于20的数的最大公因数是4，求这个数是多少，由最大公因数的定义可知，这个数一定是4的倍数，20以内4的倍数有4、8、12、16、20，这些数中只有4，8，16，20与12的最大公因数是4.

解答：18，4、8、16、20。

点评：会求最大公因数和最小公倍数

A

1．10以内的合数有（           ），20以内的质数有（              ）。 

考点：质数和合数的概念

分析：如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。

解答：4、6、8、9、10；2、3、5、7、11、13、17、19

点评：熟练记忆质数和合数的概念

2．把36分解质因数是（                ），把63分解质因数是（                ）。 

考点：分解质因数

分析：把一个合数分解成几个质数相乘的形式

解答：36=2×2×3×3; 63=3×3×7

点评：掌握分解质因数的方法

3．（ 1 ）既不是质数也不是合数。 

考点：质数和合数

分析：如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。

解答：1

点评：熟练记忆质数和合数的知识点

4．自然数中，最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（   ），最小的偶数是（  ）。 

考点：质数、合数、奇数、偶数

分析：如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。如果一个数能够被2整除，那么这个数叫作偶数；如果不能被2整除，那么这个数叫作奇数。

解答： 2，4，1，2

点评：熟练掌握概念

5．如果A=2×3×3，B=3×3×5，则A、B的最大公因数是（   ），最小公倍数是（ ）。 

考点：分解质因数求最大的公因数和最小公倍数

分析：两个或多个数公有的倍数中，最小的一个叫作最小公倍数；两个或多个数公有的因数中，最大的一个叫作最大公因数。

解答：9；90 

点评：最大公因数和最小公倍数的求法

6．18的所有因数分别是（          ），12的所有因数分别是（             ）。 

考点：求一个数的因数

分析：18=1×18               12=1×12

      18=2×9                12=2×6

      18=3×6                12=3×4

解答：1、2、3、6、18；1、2、3、4、6、12

点评：掌握求一个数因数的方法

7．三个质数相乘的积是12，这三个质数分别是（  ）、（   ）、（   ）。 

考点：分解质因数

分析：12=2×2×3

解答：2,2,3

点评：把一个合数分解成几个质数相乘的形式

8．如果A÷B=C，那么A与B的最大公因数是（  ），最小公倍数是（  ）。

考点：最大公因数和最小公倍数

分析：两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数

解答：B，A

点评：最大公因数和最小公倍数的求法

9．一个奇数如果（      ），结果一定是偶数。 

考点：奇数，偶数的考察

分析：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数

解答：乘以一个偶数

点评：奇数、偶数的概念

10．一个三位数6□3能被3整除，□中最小填（  ）。 

考点：3的倍数特征

分析：能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。

6+3+0=9

解答：0

点评：熟练掌握3的倍数特征

11.在自然数1～20中，最大的质数是（  ），两位数中最小的质数是（  ）。  

考点：质数

分析：如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。

解答：17，11

点评：考察100以内质数的记忆

12.有一个数，它是2的倍数，又含有因数3，能被5整除。这个数可能是（      ）。    

考点：2,3,5倍数的特征

分析：求2,3,5的公倍数

解答：30、60……

点评：熟练求2,3，5的公倍数

B

1．求下列每组数的最大公因数。 

   30 和 42            18 和 27       15 和 45

考点：求最大公因数

分析：用短除法求最大公因数

解答：最大公因数6；最大公因数9 ；最大公因数5

点评：会用短除法求最大公因数

2.求下面每组数的最小公倍数。 

75和45     26和39    12、18和24    5、4和10 

考点：求最小公倍数

分析：用短除法分解质因数求最小公倍数

解答：最小公倍数225 ；最小公倍数78；最小公倍数72；最小公倍数20

点评：掌握求最小公倍数的方法

3.求下面每组数的最大公因数（3个的除外）和最小公倍数。 

   36和54      15和18     14、3和21      6、15和30

考点：最大公因数和最小公倍数

分析：36=2×2×3×3,54=2×3×3×3；15=3×5,18=2×3×3；14=2×7；21=3×7；6=2×3,

15=3×5；30=2×3×5

解答：最大公因数18 ，最小公倍数108；最大公因数3 ，最小公倍数90；最小公倍数42；最小公倍数60

点评：掌握求两三个数的最大公因数和最小公倍数

4.五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。

考点：分解质因数

分析：55440=2×2×2×2×3×3×5×11

解答：7、8、9、10、11

点评：遇见这种题型要去分解质因数

5.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？

考点：分解质因数

分析：甲数是乙数的三分之一，所以甲、乙的最小公倍数是乙数，所以乙数是54，甲数是18

解答：甲数是18，乙数是54

点评：准确分析题意，抓住关键信息“甲数和乙数的最小公倍数是54”

C

1. 有一批零件,设计了三种不同的方法装箱,第一种每箱装18个,第二种每箱24个,第三种每箱装42个,结果都没有多余。这批零件至少有多少个? 

考点：最小公倍数

分析：求这批零件至少有多少个，就是求18、24、42的最小公倍数。

解答：18、24、42的最小公倍数是168。

点评：抓住题中关键信息，“至少”提示最小公倍数的信息。

2. 把一块长48米,宽32米的长方形土地划成若干相同的正方形而没有剩余,至少能划几块?

考点：最大公因数

分析：把长48米，宽32米的长方形土地划成相同的正方形，就是求48和32的最大公因数，它们的最大公因数是16，长和宽分别包含正方形边长的个数的乘积，就是能划成正方形的块数。

解答：48、32的最大公因数是16，48÷16=3，32÷16=2，3×2=6（块）。

点评：关键信息“划成若干相同的正方形而没有剩余”

3. 三根铁丝分别长24厘米、30厘米和42厘米,现把它们截成同样长的小段,不能有剩余,每段铁丝最长是多少厘米？一共可截成几段?

考点：最大公因数

分析：把三根不同长度的铁丝截成同样长度的小段没有剩余，就是求它们的最大公因数。把每根包含的段数相加，就是可以截成的段数。

解答:24、30、42的最大公因数是6，24÷6=4（段），30÷6=5（段），42÷6=7（段），4+5+7=16（段）。

点评：关键信息”截成同样长的小段,不能有剩余”

4. 已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

考点：分解质因数

分析：先分解质因数5766，

解答：设这两个自然数为A和B。

　　  [A，B]=5766÷31=186

∵186=2×3×31，　　

　 　∴这两个自然数为31和186或62和93。

点评：根据题意分解质因数分情况解决问题

5. 兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？

考点：最小公倍数

分析：找到2,6，8的最小公倍数，十月一日再加24天是十月二十五日

解答：10月25日。

点评：根据题意可知是求最小公倍数

1. 一个数比100以内最大的质数多1，它和另一个数的最大公因数是7，求这个数是多少？

考点：质数和最大的公因数

分析：100以内最大的质数是97，加上1就是98，因为98和另一个数的最大公因数是7，可见另一个数是7的倍数，因此只要找出100以内7的倍数且符合条件的即可。

解答：100以内最大的质数是97,97+1=98,100以内7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98，在这些数中符合条件的有7、21、35、63、77、91。

点评：熟练记忆100以内的质数，并会求一个数的倍数。

2.一筐苹果500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多1个，这筐苹果 

共有多少个？

考点：最小公倍数

分析：一筐苹果500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多1个，说明这筐苹果的个数比3、4、5公倍数多1，因此只要求出500到600之间的3、4、5的公倍数再加1即可。

解答：3、4、5的最小公倍数是60,500到600之间60的倍数有540，因此这筐苹果共有540+1=541（个）。

点评：抓住关键信息“恰好”，每次、每次、每次……

3. 一个400米的环形跑道，原来每隔5米插有一面彩旗，现在需要改成每隔8米插一面彩旗，不需要拨掉的彩旗有几面？

考点：最小公倍数

分析：求不需要拔掉的彩旗面数，就是求400以内，既是5的倍数又是8的倍数的数有多少个（因为起点插一面，故不包括400）。

解答：5和8的最小公倍数是40，400以内它们的公倍数有40、80、120、160、200、240、280、320、360共9个，加上起点那一面共10面。

点评：将植树问题和求最小公倍数问题结合

4、1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？

考点：奇数和偶数

分析：此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。

解答：解法1：∵1+2+3+…+1993

　　又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，　　 ∴原式的和是奇数。

　 　解法2：∵1993÷2=996…1，∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。

　　∵996个偶数之和一定是偶数，　　又∵奇数个奇数之和是奇数，

　　∴997个奇数之和是奇数。　　因为，偶数+奇数=奇数，　　所以原式之和一定是奇数。

点评：抓住出题核心：奇数+偶数=奇数；奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数

5、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？

考点：奇数和偶数

分析：相邻两个奇数相差2，可以方程解决，也可以根据数之间的关系解决

解答：解法1：∵相邻两个奇数相差2，

　　∴150是这个要求数的2倍。

　　∴这个数是150÷2=75。

　　解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）.则有

　　（2a+1）x-（2a-1）x=150，

　　2ax+x-2ax+x=150，

　　2x=150，

　　x=75。

∴这个要求的数是75。

点评：找到数之间的关系，列方程解决是很容易理解的。

1. 四名学生恰好一个比一个大一岁，年龄的积为5040，这四名同学的年龄从小到大的顺序是（  ），（  ），（  ），（  ）。

考点：分解质因数

分析：此题可先分解质因数，然后确定7是其中一个学生的年龄，即可算出。

解答：5040=2×2×2×2×3×3×5×7 ；7，8，9，10

点评：根据题意可知需要分解质因数即可解决问题

2. 把长，宽，高分别是150厘米，90厘米，60厘米的长方体木料，锯成大小一样的正方体木块没有剩余，最少可以锯成（  ）块。

考点：最大公因数

分析：锯成大小一样的正方体木块没有剩，要求正方体的棱长是长方体的长、宽、高的最大公因数

解答：（150，90,60）=30,150÷30=5,90÷30=3,60÷30=2,5×3×2=30

点评：“锯成大小一样的正方体木块没有剩余”提示求最大公因数

3. 在30和40之间找出两个自然数，使它们的积与21×60相等，那么这两个自然数是（  ）和（  ）。

考点：分解质因数

分析：把21和60分别分解质因数，观察即可发现。

解答：21=3×7,60=2×2×3×5，在30-40之间，所以这是35和36

点评：分解质因数，寻找两个数之间的关系

4. 两个数的乘积是432，最小公倍数是144，这两个数是（    ）和（    ）或（    ）和（    ）。

考点：最小公倍数和分解质因数

分析：因为乘积为432，最小公倍数是144，可求出它们的最大公因数432÷144=3，144中包含一个它们的最大公因数，144÷3=48，因此只要求出哪两个互质的数是48，并用它们分别乘以3，即可求出这两个数。

解答： 432÷144=3，144÷3=48，所以可以是3和144，也可以是9和54

点评：找到两数的乘积和最小公倍数之间的关系

5. 一个数分别被2，4，5除都余1，这个数在100到130之间，这个数是（      ）或（   ）。

考点：最小公倍数

分析：这个数分别被2、4、5除都余1，可知这个数是2、4、5的倍数再加1,100到130之间20的倍数有100和120，分别加1即可得出结果。

解答：4×5=20,20×6=120,120+1=121或者20×5=100,100+1=101

点评：被2，4，5除说明是2/4/5的最小公倍数