高考数学一轮复习讲义第9章第5节椭圆

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1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质
【知识拓展】
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )
(5)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( × )
(6)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
1．(教材改编)椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4B．8C．4或8D．12
答案 C
解析 由题意知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10－m>m－2>0，,10－m－m－2＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>10－m>0，,m－2－10－m＝4，))
解得m＝4或m＝8.
2．(2015·广东)已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于( )
A．2B．3C．4D．9
答案 B
解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
3．(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)C.eq \f(2,3)D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 如图，由题意得，|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝eq \f(1,4)×2b＝eq \f(1,2)b.
在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·eq \f(1,2)b，解得a＝2c，故椭圆离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，故选B.
4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 将椭圆方程化为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1，因为焦点在y轴上，则eq \f(2,k)>2，即k<1，又k>0，所以05．(教材改编)已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，所以P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹
例1 (2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．圆
答案 A
解析 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为__________________________________________．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则椭圆的方程为________________________________．
答案 (1)eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1
(2)eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 (1)若焦点在x轴上，设方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，∴eq \f(32,a2)＋eq \f(02,b2)＝1，即a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点P(3,0)．∴eq \f(02,a2)＋eq \f(32,b2)＝1，即b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1， ①,3m＋2n＝1，②))
①②两式联立，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))
∴所求椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题
例3 已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
答案 3
解析 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r1＋r2＝2a，,r\\al(2,1)＋r\\al(2,2)＝4c2，))
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2))
＝4a2－4c2＝4b2，
又∵S△PF1F2＝eq \f(1,2)r1r2
＝b2＝9，∴b＝3.
引申探究
1．在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解 由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
2．在例3中条件“eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→))”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝3eq \r(3)”，结果如何？
解 |PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs60°
＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝eq \f(4,3)b2，
又因为S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)b2×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(\r(3),3)b2＝3eq \r(3)，
所以b＝3.
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
(2)(2017·大庆质检)设F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4B．3C．2D．1
答案 (1)D (2)D
解析 (1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
(2)∵(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(F1O,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \(F1P,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)mn＝1.
题型二 椭圆的几何性质
例4 (1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|的最小值是( )
A．0B．1C．2D．2eq \r(2)
(2)(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)C.eq \f(2,3)D.eq \f(3,4)
答案 (1)C (2)A
解析 (1)设P(x0，y0)，则eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，
eq \(PF2,\s\up6(→))＝(1－x0，－y0)，∴eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，
∴|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \r(4x\\al(2,0)＋4y\\al(2,0))
＝2eq \r(2－2y\\al(2,0)＋y\\al(2,0))
＝2eq \r(－y\\al(2,0)＋2).
∵点P在椭圆上，∴0≤yeq \\al(2,0)≤1，
∴当yeq \\al(2,0)＝1时，|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|取最小值2.故选C.
(2)设M(－c，m)，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(am,a－c)))，OE的中点为D，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(am,2a－c)))，又B，D，M三点共线，所以eq \f(m,2a－c)＝eq \f(m,a＋c)，a＝3c，e＝eq \f(1,3).
思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．
(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案 eq \f(\r(6),3)
解析 联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(b,2)，))解得B，C两点坐标为
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，又F(c,0)，
则eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a－c，\f(b,2)))，eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，
又由∠BFC＝90°，可得eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝0，代入坐标可得
c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(b2,4)＝0，①
又因为b2＝a2－c2.
代入①式可化简为eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，则椭圆离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(2,3))＝eq \f(\r(6),3).
题型三 直线与椭圆
例5 (2016·天津)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1(a>eq \r(3))的右焦点为F，右顶点为A.已知eq \f(1,|OF|)＋eq \f(1,|OA|)＝eq \f(3e,|FA|)，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
解 (1)设F(c,0)，由eq \f(1,|OF|)＋eq \f(1,|OA|)＝eq \f(3e,|FA|)，
即eq \f(1,c)＋eq \f(1,a)＝eq \f(3c,aa－c)，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，
则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx－2))消去y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2或x＝eq \f(8k2－6,4k2＋3).
由题意得xB＝eq \f(8k2－6,4k2＋3)，从而yB＝eq \f(－12k,4k2＋3).
由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，
有eq \(FH,\s\up6(→))＝(－1，yH)，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9－4k2,4k2＋3)，\f(12k,4k2＋3))).
由BF⊥HF，得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FH,\s\up6(→))＝0，
所以eq \f(4k2－9,4k2＋3)＋eq \f(12kyH,4k2＋3)＝0，
解得yH＝eq \f(9－4k2,12k).
因此直线MH的方程为y＝－eq \f(1,k)x＋eq \f(9－4k2,12k).
设M(xM，yM)，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y＝－\f(1,k)x＋\f(9－4k2,12k)))消去y，
解得xM＝eq \f(20k2＋9,12k2＋1).
在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，
即(xM－2)2＋yeq \\al(2,M)≤xeq \\al(2,M)＋yeq \\al(2,M)，
化简，得xM≥1，即eq \f(20k2＋9,12k2＋1)≥1，
解得k≤－eq \f(\r(6),4)或k≥eq \f(\r(6),4).
所以直线l的斜率的取值范围为
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(6),4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)，＋∞)).
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(1＋\f(1,k2)[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
(2016·唐山模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝eq \f(\r(5),5)，直线l交椭圆于M，N两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
解 (1)由已知得b＝4，且eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，
即eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,5)，∴eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,5)，
解得a2＝20，∴椭圆方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1.
则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝eq \f(40,9)，
∴所求弦长|MN|＝eq \r(1＋12)|x2－x1|
＝eq \f(40\r(2),9).
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，
设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知
eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FQ,\s\up6(→))，
又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，
故得x0＝3，y0＝－2，
即Q的坐标为(3，－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且eq \f(x\\al(2,1),20)＋eq \f(y\\al(2,1),16)＝1，eq \f(x\\al(2,2),20)＋eq \f(y\\al(2,2),16)＝1，
以上两式相减得eq \f(x1＋x2x1－x2,20)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,16)＝0，
∴kMN＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(4,5)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)
＝－eq \f(4,5)×eq \f(6,－4)＝eq \f(6,5)，
故直线MN的方程为y＋2＝eq \f(6,5)(x－3)，
即6x－5y－28＝0.
8．高考中求椭圆的离心率问题
考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
典例1 (2015·福建)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
解析 左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则eq \f(4b,5)≥eq \f(4,5)，∴1≤b＜2.
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(\f(4－b2,4))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))，故选A.
答案 A
典例2 (12分)(2016·浙江)如图，设椭圆eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解 (1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,a2)＋y2＝1，))得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，［2分］
故x1＝0，x2＝－eq \f(2a2k,1＋a2k2)，
因此|AM|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \f(2a2|k|,1＋a2k2)·eq \r(1＋k2).［4分］
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，
且k1>0，k2＞0，k1≠k2.［5分］
由(1)知|AP|＝eq \f(2a2|k1|\r(1＋k\\al(2,1)),1＋a2k\\al(2,1))，|AQ|＝eq \f(2a2|k2|\r(1＋k\\al(2,2)),1＋a2k\\al(2,2))，
故eq \f(2a2|k1|\r(1＋k\\al(2,1)),1＋a2k\\al(2,1))＝eq \f(2a2|k2|\r(1＋k\\al(2,2)),1＋a2k\\al(2,2))，
所以(keq \\al(2,1)－keq \\al(2,2))[1＋keq \\al(2,1)＋keq \\al(2,2)＋a2(2－a2)keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)]＝0.［7分］
由k1≠k2，k1>0，k2＞0得1＋keq \\al(2,1)＋keq \\al(2,2)＋a2(2－a2)keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)＝0，
因此eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k\\al(2,1))＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k\\al(2,2))＋1))＝1＋a2(a2－2)，①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞eq \r(2).
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤eq \r(2)，［10分］
由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－1),a)，得0所以离心率的取值范围是(0，eq \f(\r(2),2)].［12分］
1．(2016·湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝eq \f(1,2)，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1B.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,2)＋y2＝1D.eq \f(x2,4)＋y2＝1
答案 A
解析 依题意，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
2．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4－k)＝1的离心率为eq \f(4,5)，则k的值为( )
A．－21B．21
C．－eq \f(19,25)或21D.eq \f(19,25)或－21
答案 D
解析 当9>4－k>0，即4>k>－5时，
a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，
∴eq \f(\r(5＋k),3)＝eq \f(4,5)，解得k＝eq \f(19,25).
当9<4－k，即k<－5时，a＝eq \r(4－k)，c2＝－k－5，
∴eq \f(\r(－k－5),\r(4－k))＝eq \f(4,5)，解得k＝－21，故选D.
3．(2017·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－eq \f(4,9)，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(4,9)B.eq \f(2,3)C.eq \f(5,9)D.eq \f(\r(5),3)
答案 D
解析 设P(x0，y0)，则eq \f(y0,x0＋a)×eq \f(y0,x0－a)＝－eq \f(4,9)，
化简得eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),\f(4a2,9))＝1，
则eq \f(b2,a2)＝eq \f(4,9)，e＝eq \r(1－\f(b,a)2)＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3)，故选D.
4.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③eq \f(c1,a1)a1c2.
其中正确式子的序号是( )
A．①③B．①④C．②③D．②④
答案 D
解析 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知eq \f(a1－c1,c1)a1c2，eq \f(c1,a1)>eq \f(c2,a2)，即④式正确，③式不正确．故选D.
5．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1B.eq \r(2)C．2D．2eq \r(2)
答案 D
解析 设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以eq \f(1,2)×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2eq \r(b2＋c2)≥2eq \r(2bc)＝2eq \r(2)
(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
*6.(2016·济南质检)设A1，A2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA2,\s\up6(→))＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A．(0，eq \f(1,2)) B．(0，eq \f(\r(2),2))
C．(eq \f(1,2)，1) D．(eq \f(\r(2),2)，1)
答案 D
解析 A1(－a,0)，A2(a,0)，
设P(x，y)，则eq \(PO,\s\up6(→))＝(－x，－y)，eq \(PA2,\s\up6(→))＝(a－x，－y)，
∵eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA2,\s\up6(→))＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0，
∴y2＝ax－x2>0，∴0将y2＝ax－x2代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
整理得(b2－a2)x2＋a3x－a2b2＝0，其在(0，a)上有解，
令f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，
∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，
如图，
Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2)
＝a2(a4－4a2b2＋4b4)
＝a2(a2－2b2)2≥0，
∴对称轴满足0<－eq \f(a3,2b2－a2)即0∴eq \f(a2,2c2)<1，∴eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2).
又07．若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．
答案 eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1
解析 设切点坐标为(m，n)，
则eq \f(n－1,m－2)·eq \f(n,m)＝－1，
即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，
即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1.
8．已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
答案 7
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
9．(2017·石家庄质检)椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．
答案 (－eq \f(2\r(6),3)，eq \f(2\r(6),3))
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则eq \(F1P,\s\up6(→))＝(x＋eq \r(3)，y)，eq \(F2P,\s\up6(→))＝(x－eq \r(3)，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴eq \(F1P,\s\up6(→))·eq \(F2P,\s\up6(→))<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－eq \f(x2,4)，代入①得x2－3＋1－eq \f(x2,4)<0，
eq \f(3,4)x2<2，∴x2解得－eq \f(2\r(6),3)10．(2016·长沙模拟)已知过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A(－a，0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且eq \(PQ,\s\up6(→))＝2eq \(QA,\s\up6(→))，则椭圆的离心率为________．
答案 eq \f(2\r(5),5)
解析 ∵△AOP是等腰三角形，A(－a,0)，∴P(0，a)．
设Q(x0，y0)，∵eq \(PQ,\s\up6(→))＝2eq \(QA,\s\up6(→))，
∴(x0，y0－a)＝2(－a－x0，－y0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－2a－2x0，,y0－a＝－2y0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(2,3)a，,y0＝\f(a,3)，))
代入椭圆方程化简，可得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,5)，
∴e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(2\r(5),5).
11．如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝eq \f(\r(5),2)|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
解 (1)由已知|AB|＝eq \f(\r(5),2)|BF|，
即eq \r(a2＋b2)＝eq \f(\r(5),2)a，
4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋2＝0，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1))消去y，
得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>eq \f(2\r(17),17).
x1＋x2＝－eq \f(32,17)，x1x2＝eq \f(16－4b2,17).
∵OP⊥OQ，∴eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
从而eq \f(516－4b2,17)－eq \f(128,17)＋4＝0，
解得b＝1，满足b>eq \f(2\r(17),17).
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
12．(2015·天津)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为eq \f(\r(5),5).
(1)求直线BF的斜率；
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.
①求λ的值；
②若|PM|sin∠BQP＝eq \f(7\r(5),9)，求椭圆的方程．
解 (1)设F(－c,0)．由已知离心率eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)及a2＝b2＋c2，可得a＝eq \r(5)c，b＝2c，又因为B(0，b)，F(－c,0)，
故直线BF的斜率k＝eq \f(b－0,0－－c)＝eq \f(2c,c)＝2.
(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．
①由(1)可得椭圆的方程为eq \f(x2,5c2)＋eq \f(y2,4c2)＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－eq \f(5c,3).
因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－eq \f(1,2)x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝eq \f(40c,21).
又因为λ＝eq \f(|PM|,|MQ|)及xM＝0，可得λ＝eq \f(|xM－xP|,|xQ－xM|)＝eq \f(|xP|,|xQ|)＝eq \f(7,8).
②因为eq \f(|PM|,|MQ|)＝eq \f(7,8)，所以eq \f(|PM|,|PM|＋|MQ|)＝eq \f(7,7＋8)＝eq \f(7,15)，
即|PQ|＝eq \f(15,7)|PM|.
又因为|PM|sin∠BQP＝eq \f(7\r(5),9)，
所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝eq \f(15,7)|PM|sin∠BQP＝eq \f(5\r(5),3).又因为yP＝2xP＋2c＝－eq \f(4,3)c，
所以|BP|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(5c,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c＋\f(4c,3)))2)＝eq \f(5\r(5),3)c，
因此eq \f(5\r(5),3)c＝eq \f(5\r(5),3)，得c＝1.
所以，椭圆方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
13．(2016·长春调研)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．
(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(eq \(MF,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))·eq \(MO,\s\up6(→))的最小值为eq \f(7,2)，求椭圆的方程．
解 (1)设椭圆半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝eq \f(a－c,2)，y－eq \f(b,2)＝eq \f(a,b)(x－eq \f(a,2))，
于是圆心坐标为(eq \f(a－c,2)，eq \f(b2－ac,2b))．
所以p＋q＝eq \f(a－c,2)＋eq \f(b2－ac,2b)≤0，
整理得ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，
所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2.
所以e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，即eq \f(\r(2),2)≤e<1.
(2)当e＝eq \f(\r(2),2)时，a＝eq \r(2)b＝eq \r(2)c，
此时椭圆的方程为eq \f(x2,2c2)＋eq \f(y2,c2)＝1，
设M(x，y)，则－eq \r(2)c≤x≤eq \r(2)c，
所以(eq \(MF,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))·eq \(MO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)x2－x＋c2＝eq \f(1,2)(x－1)2＋c2－eq \f(1,2).
当c≥eq \f(\r(2),2)时，上式的最小值为c2－eq \f(1,2)，即c2－eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)，得c＝2；
当0即eq \f(1,2)(eq \r(2)c)2－eq \r(2)c＋c2＝eq \f(7,2)，
解得c＝eq \f(\r(2)＋\r(30),4)，不合题意，舍去．
综上所述，椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2