高考数学一轮复习讲义第14章第2节第2课时不等式选讲

这是一份高考数学一轮复习讲义第14章第2节第2课时不等式选讲，文件包含第4课月相变化的规律pptx、第4课月相变化的规律docx、月相变化有什么规律1mp4、月相变化有什么规律2mp4等4份课件配套教学资源，其中PPT共20页， 欢迎下载使用。

1．不等式证明的方法
(1)比较法：
①作差比较法：
知道a>b⇔a－b>0，a0即可，这种方法称为作差比较法．
②作商比较法：
由a>b>0⇔eq \f(a,b)>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明eq \f(a,b)>1即可，这种方法称为作商比较法．
(2)综合法：
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．
(3)分析法：
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．
(4)反证法和放缩法：
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．
②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．
(5)数学归纳法：
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
①证明当n＝n0时命题成立；
②假设当n＝k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．几个常用基本不等式
(1)柯西不等式：
①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则eq \r(x1－x22＋y1－y22)＋eq \r(x2－x32＋y2－y32)≥eq \r(x1－x32＋y1－y32).
④柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋…＋beq \\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0 (i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(2)算术—几何平均不等式
若a1，a2，…，an为正数，则eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq \r(n,a1a2…an)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
1．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求eq \r(m2＋n2)的最小值．
解 根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，eq \r(m2＋n2)的最小值为eq \r(5).
2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)的最大值．
解 (eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))2＝(1×eq \r(a)＋1×eq \r(b)＋1×eq \r(c))2
≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立．
∴(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))2≤3.
故eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)的最大值为eq \r(3).
3．设x>0，y>0，若不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(λ,x＋y)≥0恒成立，求实数λ的最小值．
解 ∵x>0，y>0，
∴原不等式可化为－λ≤(eq \f(1,x)＋eq \f(1,y))(x＋y)＝2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y).
∵2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2＋2eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝4，当且仅当x＝y时等号成立．
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)x＋y))min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.
题型一 用综合法与分析法证明不等式
例1 (1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋eq \f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3；
(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥eq \r(3).
证明 (1)因为x>0，y>0，x－y>0，
2x＋eq \f(1,x2－2xy＋y2)－2y＝2(x－y)＋eq \f(1,x－y2)
＝(x－y)＋(x－y)＋eq \f(1,x－y2)
≥3eq \r(3,x－y2\f(1,x－y2))＝3，
所以2x＋eq \f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3.
(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥eq \r(3)，
只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而ab＋bc＋ca≤eq \f(a2＋b2,2)＋eq \f(b2＋c2,2)＋eq \f(c2＋a2,2)＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．
所以原不等式成立．
思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．
设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤eq \f(1,3)；(2)eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1.
证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq \f(1,3).
(2)因为eq \f(a2,b)＋b≥2a，eq \f(b2,c)＋c≥2b，eq \f(c2,a)＋a≥2c，
故eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c.
所以eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1.
题型二 放缩法证明不等式
例2 若a，b∈R，求证：eq \f(|a＋b|,1＋|a＋b|)≤eq \f(|a|,1＋|a|)＋eq \f(|b|,1＋|b|).
证明 当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．
当|a＋b|≠0时，
由01；
②利用函数的单调性；
③真分数性质“若0