高考数学一轮复习 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理

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1．正弦定理和余弦定理
2.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．( )
(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq \r(,3)，b＝4eq \r(,2)，则B＝45°或135°.( )
(4)在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(a＋b－c,sin A＋sin B－sin C).( )
[解析] (1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
(2)错误．由cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．
(3)错误．由b＜a知，B＜A.
(4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
C [由正弦定理，得eq \f(a,2R)＝sin A，eq \f(b,2R)＝sin B，eq \f(c,2R)＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]
3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(,5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A.eq \r(,2) B.eq \r(,3)
C．2 D．3
D [由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×eq \f(2,3)，
解得b＝3或b＝－eq \f(1,3)(舍去)，故选D.]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝eq \f(π,6)，a＝1，b＝eq \r(,3)，则B＝________.
eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) [由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，代入可求得sin B＝eq \f(\r(,3),2)，故B＝eq \f(π,3)或B＝eq \f(2π,3).]
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(,3)，则△ABC的面积等于________．
2eq \r(,3) [由题意及余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(c2＋16－12,2×4×c)＝eq \f(1,2)，解得c＝2，所以S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4×2×sin 60°＝2eq \r(,3).]
在△ABC中，∠BAC＝eq \f(3π,4)，AB＝6，AC＝3eq \r(,2)，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
【导学号：31222129】
[解] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs∠BAC
＝(3eq \r(,2))2＋62－2×3eq \r(,2)×6×cseq \f(3π,4)
＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3eq \r(,10).6分
又由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin∠BAC,a)＝eq \f(3,3\r(,10))＝eq \f(\r(,10),10)，
由题设知0＜B＜eq \f(π,4)，
所以cs B＝eq \r(,1－sin 2B)＝eq \r(1－\f(1,10))＝eq \f(3\r(,10),10).9分
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，
故由正弦定理得
AD＝eq \f(AB·sin B,sinπ－2B)＝eq \f(6sin B,2sin Bcs B)＝eq \f(3,cs B)＝eq \r(,10).12分
[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．
2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
[变式训练1] (1)(2017·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－eq \r(,3)c)sin A，则角B的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝________.
(1)A (2)eq \f(21,13) [(1)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－eq \r(,3)c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－eq \r(,3)c)a，即b2－c2＝a2－eq \r(,3)ac，∴a2＋c2－b2＝eq \r(,3)ac.又∵cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，∴cs B＝eq \f(\r(,3),2)，∴B＝30°.
(2)在△ABC中，∵cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，
∴sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝eq \f(3,5)×eq \f(5,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(63,65).
又∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(1×\f(63,65),\f(3,5))＝eq \f(21,13).]
(1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acs A＝bcs B，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
(2)(2016·安徽安庆二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B＜C”是“△ABC是钝角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(1)D (2)A [(1)因为acs A＝bcs B，由正弦定理得sin Acs A＝sin Bcs B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
(2)由A＋B＋C＝π，A＋B＜C，可得C＞eq \f(π,2)，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立．故选A.]
[规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
[变式训练2] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acs B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
B [法一：由已知得2sin Acs B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.
法二：由正弦定理得2acs B＝c，再由余弦定理得2a·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.]
(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cs B；
(2)设B＝90°，且a＝eq \r(2)，求△ABC的面积．
[解] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.2分
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,4).5分
(2)由(1)知b2＝2ac.7分
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，
故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝eq \r(2).9分
所以△ABC的面积为eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1.12分
[规律方法] 三角形面积公式的应用方法：
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[变式训练3] (2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cs C(acs B＋bcs A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝eq \r(7)，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．
[解] (1)由已知及正弦定理得
2cs C(sin Acs B＋sin Bcs A)＝sin C，
即2cs Csin(A＋B)＝sin C，3分
故2sin Ccs C＝sin C.
可得cs C＝eq \f(1,2)，所以C＝eq \f(π,3).5分
(2)由已知得eq \f(1,2)absin C＝eq \f(3\r(3),2).
又C＝eq \f(π,3)，所以ab＝6.9分
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcs C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋eq \r(7).12分
[思想与方法]
1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A＋B＋C＝π，eq \f(A,2)＋eq \f(B,2)＋eq \f(C,2)＝eq \f(π,2)中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．
2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
[易错与防范]
1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解．
课时分层训练(二十二)
正弦定理和余弦定理
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
【导学号：31222130】
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
B [由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝eq \f(π,2).]
2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
【导学号：31222131】
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
C [由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(,3),2),20)＝eq \r(,3)＞1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]
3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝eq \r(,13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cs 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]
4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝eq \r(,3)，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(,3),4)B.eq \f(3,4)
C.eq \f(\r(,3),2)D.eq \f(3,2)
B [依题意得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，C＝60°，因此△ABC的面积等于eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(,3)×eq \f(\r(,3),2)＝eq \f(3,4)，故选B.]
5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝eq \f(π,4)，BC边上的高等于eq \f(1,3)BC，则sin A＝( )
A.eq \f(3,10)B.eq \f(\r(,10),10)
C.eq \f(\r(,5),5)D.eq \f(3\r(,10),10)
D [过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝eq \f(a,3).∵B＝eq \f(π,4)，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝eq \f(a,3)，DC＝eq \f(2,3)a，∴AC＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2)＝eq \f(\r(,5),3)a，在△ABC中，由正弦定理得eq \f(a,sin∠BAC)＝eq \f(\f(\r(,5),3)a,sin 45°)，
∴sin ∠BAC＝eq \f(3\r(,10),10)，故选D.]
二、填空题
6．(2017·郴州模拟)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cs B＝__________.
eq \f(\r(,6),3) [由正弦定理可得eq \f(15,\f(\r(,3),2))＝eq \f(10,sin B)，所以sin B＝eq \f(\r(,3),3)，再由b＜a，可得B为锐角，
所以cs B＝eq \r(,1－sin2B)＝eq \f(\r(,6),3).]
7．(2016·青岛模拟)如图3­6­1所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq \f(2\r(2),3)，AB＝3eq \r(2)，AD＝3，则BD的长为________．
图3­6­1
eq \r(3) [∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cs∠BAD＝eq \f(2\r(2),3)，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2AB·ADcs∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3eq \r(2)×3×eq \f(2\r(2),3)＝3，
∴BD＝eq \r(3).]
8．已知△ABC中，AB＝eq \r(,3)，BC＝1，sin C＝eq \r(,3)cs C，则△ABC的面积为________. 【导学号：31222132】
eq \f(\r(,3),2) [由sin C＝eq \r(,3)cs C得tan C＝eq \r(,3)＞0，所以C＝eq \f(π,3).
根据正弦定理可得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB,sin C)，即eq \f(1,sin A)＝eq \f(\r(,3),\f(\r(,3),2))＝2，
所以sin A＝eq \f(1,2).因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝eq \f(π,6)，所以B＝eq \f(π,2)，即三角形为直角三角形，
故S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(,3)×1＝eq \f(\r(,3),2).]
三、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cs B＝eq \f(3,5). 【导学号：31222133】
(1)求b的值；
(2)求sin C的值．
[解] (1)因为b2＝a2＋c2－2accs B＝4＋25－2×2×5×eq \f(3,5)＝17，所以b＝eq \r(,17).5分
(2)因为cs B＝eq \f(3,5)，所以sin B＝eq \f(4,5)，7分
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得eq \f(\r(,17),\f(4,5))＝eq \f(5,sin C)，
所以sin C＝eq \f(4\r(,17),17).12分
10．(2017·云南二次统一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直．
(1)求sin A的值；
(2)若a＝2eq \r(,2)，求△ABC的面积S的最大值．
[解] (1)∵m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sin Bsin C＋5sin2C－5sin2A＝0，
即sin2B＋sin2C－sin2A＝eq \f(6sin Bsin C,5).3分
根据正弦定理得b2＋c2－a2＝eq \f(6bc,5)，
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(3,5).
∵A是△ABC的内角，
∴sin A＝eq \r(,1－cs2A)＝eq \f(4,5).6分
(2)由(1)知b2＋c2－a2＝eq \f(6bc,5)，
∴eq \f(6bc,5)＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.8分
又∵a＝2eq \r(,2)，∴bc≤10.
∵△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(2bc,5)≤4，
∴△ABC的面积S的最大值为4.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·山东高考)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
A.eq \f(3π,4)B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,6)
C [∵b＝c，∴B＝C.
又由A＋B＋C＝π得B＝eq \f(π,2)－eq \f(A,2).
由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得
sin2A＝2sin2B(1－sin A)，
即sin2A＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))(1－sin A)，
即sin2A＝2cs2eq \f(A,2)(1－sin A)，
即4sin2eq \f(A,2)cs2eq \f(A,2)＝2cs2eq \f(A,2)(1－sin A)，
整理得cs2eq \f(A,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－sin A－2sin2\f(A,2)))＝0，
即cs2eq \f(A,2)(cs A－sin A)＝0.
∵0＜A＜π，∴0＜eq \f(A,2)＜eq \f(π,2)，∴cs eq \f(A,2)≠0，
∴cs A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,4).]
2．如图3­6­2，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．
图3­6­2
eq \f(5\r(,6),2) [在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，
由余弦定理得cs ∠ADC＝eq \f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝－eq \f(1,2)，
所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得eq \f(AB,sin ∠ADB)＝eq \f(AD,sin B)，
所以AB＝eq \f(5\r(,6),2).]
3．在△ABC中，cs C是方程2x2－3x－2＝0的一个根．
(1)求角C；
(2)当a＋b＝10时，求△ABC周长的最小值．
[解] (1)因为2x2－3x－2＝0，所以x1＝2，x2＝－eq \f(1,2).2分
又因为cs C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，
所以cs C＝－eq \f(1,2)，所以C＝eq \f(2π,3).5分
(2)由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2ab·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝(a＋b)2－ab，7分
则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，
当a＝5时，c最小且c＝eq \r(,75)＝5eq \r(,3)，此时a＋b＋c＝10＋5eq \r(,3)，
所以△ABC周长的最小值为10＋5eq \r(,3).12分
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R.(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bc·cs_A；
b2＝c2＋a2－2ca·cs_B；
c2＝a2＋b2－2ab·cs_C
变形
形式
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
解决
问题
(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边求各角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
利用正、余弦定理解三角形
判断三角形的形状
与三角形面积有关的问题
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解