高考数学一轮复习 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

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1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量eq \(OZ,\s\up8(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量eq \(OZ,\s\up8(→))＝(a，b)．
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图4­4­1所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up8(→))＝eq \(OZ1,\s\up8(→))＋eq \(OZ2,\s\up8(→))，eq \(Z1Z2,\s\up8(→))＝eq \(OZ2,\s\up8(→))－eq \(OZ1,\s\up8(→)).
图4­4­1
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)如图4­4­2，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
图4­4­2
A．AB．B
C．CD．D
B [共轭复数对应的点关于实轴对称．]
3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )
A．0 B．2
C．2i D．2＋2i
C [(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.]
4．(2016·北京高考)复数eq \f(1＋2i,2－i)＝( )
A．iB．1＋i
C．－iD．1－i
A [法一：eq \f(1＋2i,2－i)＝eq \f(1＋2i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(5i,5)＝i.
法二：eq \f(1＋2i,2－i)＝eq \f(i1＋2i,i2－i)＝eq \f(i1＋2i,2i＋1)＝i.]
5．复数i(1＋i)的实部为________．
－1 [i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.]
(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则eq \f(\x\t(z),|z|)＝( )
A．1 B．－1
C.eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)iD.eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i
(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.
【导学号：31222156】
(1)D (2)－2 [(1)∵z＝4＋3i，∴eq \x\t(z)＝4－3i，|z|＝eq \r(42＋32)＝5，
∴eq \f(\x\t(z),|z|)＝eq \f(4－3i,5)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i.
(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.]
[规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．
2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．
[变式训练1] (1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝eq \f(i,2＋i)的虚部为( )
A．－eq \f(1,5)B．－eq \f(2,5)
C.eq \f(1,5)D.eq \f(2,5)
(2)设z＝eq \f(1,1＋i)＋i，则|z|＝( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2)D．2
(1)D (2)B [(1)复数z＝eq \f(i,2＋i)＝eq \f(i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(1＋2i,5)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i，则其虚部为eq \f(2,5)，故选D.
(2)z＝eq \f(1,1＋i)＋i＝eq \f(1－i,2)＋i＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(2),2).]
(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
A．－2－iB．－2＋i
C．2－iD．2＋i
(2)(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则eq \f(a,b)的值为________．
(1)C (2)2 [(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝eq \f(i＋1,i)＝1－i，∴z＝2－i，故选C.
(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴eq \f(a,b)＝2.]
[规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度
(1)(1±i)2＝±2i；(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq \f(1－i,1＋i)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．
[变式训练2] (1)已知eq \f(1－i2,z)＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋iB．1－i
C．－1＋iD．－1－i
(2)已知i是虚数单位，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))8＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1－i)))2 018＝________.
(1)D (2)1＋i [(1)由eq \f(1－i2,z)＝1＋i，得z＝eq \f(1－i2,1＋i)＝eq \f(－2i,1＋i)＝eq \f(－2i1－i,1＋i1－i)＝－1－i，故选D.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))8＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1－i)))2))1 009
＝i8＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,－2i)))1 009＝i8＋i1 009
＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]
(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1)B．(－1,3)
C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)
(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
【导学号：31222157】
A．－5B．5
C．－4＋iD．－4－i
(1)A (2)A [(1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋3＞0，,m－1＜0，))即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．
(2)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)即z2＝－2＋i，
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.]
[规律方法] 1.复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up8(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up8(→)).
2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a，b,c，d))＝ad－bc，则符合条件eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z，1＋i,2， 1))＝0的复数z对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
A [由题意得z×1－2(1＋i)＝0，则z＝2＋2i在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A.]
[思想与方法]
1．复数分类的关键是抓住z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数．
2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．
[易错与防范]
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．两个虚数不能比较大小．
3．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，应注意a，b，c，d∈R的前提条件．
4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2