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    高考数学一轮复习第五章 微专题五

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    这是一份高考数学一轮复习第五章 微专题五,共4页。
    在平面向量的问题中,存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题”,通过对该类问题的多解探究,进一步提高分析、解决此类问题的能力.
    题目 如图1,已知AC=2,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC同侧作半圆,M,N分别为两半圆上的动点(不含端点A,B,C),且BM⊥BN,则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))的最大值为________.
    答案 eq \f(1,4)
    解析 方法一 由题设可知AB=BC=BN=1.
    因为点M在以AB为直径的半圆上,所以AM⊥BM,又BM⊥BN,所以AM∥BN,若设∠MAB=θ,则∠NBC=θ.
    如图2,建立平面直角坐标系xBy,则点A(-1,0),M(-sin2θ,sin θcs θ),C(1,0),N(cs θ,sin θ),
    所以eq \(AM,\s\up6(→))=(-sin2θ+1,sin θcs θ)=(cs2θ,sin θcs θ),eq \(CN,\s\up6(→))=(cs θ-1,sin θ).
    于是,eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))=cs2θ·(cs θ-1)+sin2θcs θ
    =cs3θ-cs2θ+(1-cs2θ)·cs θ
    =-cs2θ+cs θ=eq \f(1,4)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ-\f(1,2)))2.
    又易知0

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