高考数学一轮复习第九章 9.1

这是一份高考数学一轮复习第九章 9.1，共18页。

1．随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
(3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
2．用样本的频率分布估计总体分布
(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1.
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
(3)茎叶图
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．
(3)平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，反映了一组数据的平均水平．
(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]) .
(5)方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq \x\t(x)是样本平均数)．
概念方法微思考
1．三种抽样方法有什么共同点和联系？
提示 (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．
(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．
2．平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？
提示 平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( × )
(2)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √ )
(3)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × )
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ )
题组二 教材改编
2．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )
A．33,34,33 B．25,56,19
C．20,40,30 D．30,50,20
答案 B
解析 设在不到35岁的员工抽取x人，则eq \f(100,500)＝eq \f(x,125)，所以x＝25，同理可得这三个年龄段抽取人数分别为25,56,19.
3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
答案 A
解析 ∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是eq \f(91＋92,2)＝91.5，
平均数eq \x\t(x)＝eq \f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.
4．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量在[2,2.5)范围内的居民有______人．
答案 25
解析 0.5×0.5×100＝25.
题组三 易错自纠
5．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32
答案 B
解析 间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23,33,43.
6．(多选)下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
则下列判断中正确的是( )
A．该公司2019年度冰箱类电器销售亏损
B．该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C．该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供
D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低
答案 ACD
解析 根据表中数据知，该公司2019年度冰箱类电器销售净利润占比为－0.48%，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入占比和净利润占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2019年度空调类电器净利润占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选ACD.
抽样方法
1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.eq \f(1,10)，eq \f(1,10) B.eq \f(3,10)，eq \f(1,5)
C.eq \f(1,5)，eq \f(3,10) D.eq \f(3,10)，eq \f(3,10)
答案 A
解析 方法一 在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为eq \f(1,10).故选A.
方法二 第一次被抽到，显然为eq \f(1,10)；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次抽才被抽到．可能性为eq \f(9,10)·eq \f(1,9)＝eq \f(1,10).故选A.
2．(2019·海口调研)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为( )
A．15 B．18 C．21 D．22
答案 C
解析 由已知得间隔数为k＝eq \f(24,4)＝6，则抽取的最大编号为3＋(4－1)×6＝21.
3．(2019·安徽毛坦厂中学模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果疏类食品种数之和是________．
答案 6
解析 本题主要考查对分层抽样的理解．抽样比为eq \f(20,40＋10＋30＋20)＝eq \f(1,5)，则抽取的植物油类种数是10×eq \f(1,5)＝2，抽取的果蔬类食品种数是20×eq \f(1,5)＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.
思维升华 (1)简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种等概率的抽样，由定义应抓住以下特点：①它要求总体个数较少；②它是从总体中逐个抽取的；③它是一种不放回抽样．(2)系统抽样又称等距抽样，号码序列一确定，样本即确定了，但要求总体中不能含有一定的周期性，否则其样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向．(3)分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．(4)抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中的第一均衡部分，可采用简单随机抽样，分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样．
统计图表及应用
命题点1 扇形图
例1 (2018·全国Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案 A
解析 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
故选A.
命题点2 折线图
例2 (2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
答案 A
解析 对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确．
故选A.
命题点3 茎叶图
例3 如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则x和y的值分别为( )
A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7
答案 A
解析 甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均数相等，
∴eq \f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq \f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A.
命题点4 频率分布直方图
例4 (2019·南昌调研)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，月用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
答案 (1)0.004 4 (2)70
解析 (1)由频率分布直方图知数据落在[200,250)内的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝eq \f(0.22,50)＝0.004 4.
(2)因为数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以所求户数为0.7×100＝70.
思维升华 (1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
(3)由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．
(4)准确理解频率分布直方图的数据特点：
①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．
②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．
跟踪训练 (1)(2019·洛阳模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200,20 B．100,20
C．200,10 D．100,10
答案 A
解析 由图①得样本容量为(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝10 000×2%＝200，
抽取的高中生人数为2 000×2%＝40(人)，
则近视人数为40×0.5＝20(人)，
故选A.
(2)(多选)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．
根据该统计图判断，下列结论不正确的是( )
A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差
D．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值
答案 ABC
解析 由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，A项错误；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，B项错误；由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2017年10月的方差大于11月的方差，C项错误；由统计图可知，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大于10 000,2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于10 000，D项正确，故选ABC.
(3)(2020·成都模拟)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是( )
A．甲所得分数的极差为22B．乙所得分数的中位数为18
C．两人所得分数的众数相等D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
答案 D
解析 甲所得分数的极差为33－11＝22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲所得分数的众数为22，乙所得分数的众数为22，C正确，故选D.
(4)(2019·昆明模拟)为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n的值为( )
A．700 B．800 C．850 D．900
答案 B
解析 根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.1，因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n＝eq \f(80,0.1)＝800.
用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．(2019·全国Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
答案 A
解析 记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.
2．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分情况如图所示，假设得分值的中位数为me，平均数为eq \x\t(x)，众数为m0，则( )
A．me＝m0＝eq \x\t(x) B．me＝m0