高考数学一轮复习第十章 高考专题突破六

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例1 槟榔原产于马来西亚，在中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区．槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物．云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．
(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？
(2)在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽取B班学生人数X的分布列和均值．
解 (1)A班样本数据的平均值为eq \f(1,5)×(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估计A班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17，
B班样本数据的平均值为eq \f(1,5)×(11＋12＋21＋25＋26)＝19，
由此估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19，
故估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多．
(2)∵平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中，
A班有2人，B班有3人，共有5人，
∴X的可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,2),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(0,2),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
∴X的分布列为
∴E(X)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(9,5).
思维升华 概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
跟踪训练1 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.
(1)求这些产品的质量指标值落在区间[75,85]内的频率；
(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于[45,75)内的产品件数为X，求X的分布列与均值．
解 (1)设落在区间[75,85]内的频率为x，则落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x和2x，
依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，
解得x＝0.05.
所以落在区间[75,85]内的频率为0.05.
(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3.
由(1)得，落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.
因为X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，
P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，
P(X＝2)＝C23×0.62×0.41＝0.432，
P(X＝3)＝C33×0.63×0.40＝0.216，
所以X的分布列为
所以X的均值为E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.
(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)＝np＝3×0.6＝1.8)
概率与统计案例的综合应用
例2 (2020·华中师大附中模拟)中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如表所示：
(1)填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．
①在今年参加大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生通过某高校自主招生考试人数为ξ，求E(ξ)．
参考数据：
参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋ba＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d
解 (1)列联表如下：
等高条形图如图：
通过图形可判断学习先修课程与优等生有关系，又
K2＝eq \f(2 00060×1 560－140×2402,300×1 700×200×1 800)≈39.216>6.635，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．
(2)①P＝eq \f(20,300)×0.9＋eq \f(55,300)×0.8＋eq \f(105,300)×0.6＋eq \f(70,300)×0.5＋eq \f(50,300)×0.4＝0.6.
②设通过某高校自主招生考试的人数为ξ，
则ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150，\f(3,5)))，
P(x＝k)＝Ceq \\al(k,150)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))150－k，k＝0,1,2，…，150，
所以E(ξ)＝150×eq \f(3,5)＝90.
思维升华 概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、独立重复实验、超几何分布、二项分布、独立性检验、线性回归等知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识．
跟踪训练2 某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：
(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y(百件)与返还点数t之间的相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))，并预测若返还6个点时该商品每天的销量；
(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
①求这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；
②将对返还点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及均值．
参考公式及数据：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\t(t) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,t)2i－n \x\t(t)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(t)；
eq \i\su(i＝1,5,t)iyi＝18.8.
解 (1)由题意知eq \x\t(t)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，
eq \x\t(y)＝eq \f(0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7,5)＝1.04，
eq \i\su(i＝1,5,t)2i＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\t(t) \x\t(y),\i\su(i＝1,5,t)\\al(2,)i－5\x\t(t)2)＝eq \f(18.8－5×3×1.04,55－5×32)＝0.32，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(t)＝1.04－0.32×3＝0.08，
则y关于t的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.32t＋0.08，
当t＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝2.00，即返还6个点时该商品每天销量约为200件．
(2)①根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值X的样本平均数eq \x\t(x)为eq \x\t(x)＝2×0.1＋4×0.3＋6×0.3＋8×0.15＋10×0.1＋12×0.05＝6，
中位数的估计值为5＋2×eq \f(100－20－60,60)＝5＋eq \f(2,3)≈5.7.
②抽取的6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为6×eq \f(20,30)＝4，“欲望膨胀型”消费者人数为6×eq \f(10,30)＝2.
故X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，
故随机变量X的分布列为
E(X)＝2×eq \f(1,5)＋1×eq \f(3,5)＋0×eq \f(1,5)＝1.
均值与方差在决策中的应用
例3 (2018·全国Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有新产品做检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(07.879，
所以能在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效．
(2)X的所有可能取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,25),C\\al(2,40))＝eq \f(5,13)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,25)C\\al(1,15),C\\al(2,40))＝eq \f(25,52)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,15),C\\al(2,40))＝eq \f(7,52)，
所以E(X)＝0×eq \f(5,13)＋1×eq \f(25,52)＋2×eq \f(7,52)＝eq \f(3,4).
Y的所有可能取值为0,1,2，
则P(Y＝0)＝eq \f(C\\al(2,10),C\\al(2,40))＝eq \f(3,52)，P(Y＝1)＝eq \f(C\\al(1,10)C\\al(1,30),C\\al(2,40))＝eq \f(5,13)，
P(Y＝2)＝eq \f(C\\al(2,30),C\\al(2,40))＝eq \f(29,52)，
所以E(Y)＝0×eq \f(3,52)＋1×eq \f(5,13)＋2×eq \f(29,52)＝eq \f(3,2)，
即E(X)