高考数学一轮复习第五章 5.1

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1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
概念方法微思考
1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？
提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.
2．如何理解数乘向量λa.
提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ|b|
答案 A
解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(DB,\s\up6(→))|，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A.
方法二 ∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
故选A.
命题点2 向量的线性运算
例2 (2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 作出示意图如图所示．
eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).故选A.
命题点3 根据向量线性运算求参数
例3 (2019·江西省名校联考)在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ等于( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
因为eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝－eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，
所以λ＋μ＝－eq \f(1,3).故选A.
思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
跟踪训练1 (1)(2020·河北省衡水中学模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq \f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 因为DC＝eq \f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，
所以E是AC的中点，
可得eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))
＝eq \(DC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A.
(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(AF,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x－y＝________.
答案 2
解析 由题意得eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
因为eq \(AB,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(AF,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,2)))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋y))eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,2)＋y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝－\f(2,3)，))
所以x－y＝2.
共线定理的应用
例4 已知O，A，B是不共线的三点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明 (1)若m＋n＝1，
则eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
即eq \(BP,\s\up6(→))＝meq \(BA,\s\up6(→))，∴eq \(BP,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))共线．
又∵eq \(BP,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))有公共点B，则A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λ(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))．
又eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)).
故有meq \(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OB,\s\up6(→))，
即(m－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝0.
∵O，A，B不共线，∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.
思维升华 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练2 (1)设两个非零向量a与b不共线．
若ka＋b与a＋kb共线，则k＝________.
答案 ±1
解析 ∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.
消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.
(2)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 方法一 连接AO，
则eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(m,2)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(n,2)eq \(AN,\s\up6(→))，
因为M，O，N三点共线，
所以eq \f(m,2)＋eq \f(n,2)＝1，所以m＋n＝2.
方法二 连接AO(图略)．
由于O为BC的中点，故eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
eq \(MO,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))－eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
同理，eq \(NO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,n)))eq \(AC,\s\up6(→)).
由于向量eq \(MO,\s\up6(→))，eq \(NO,\s\up6(→))共线，故存在实数λ使得eq \(MO,\s\up6(→))＝λeq \(NO,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,n)))\(AC,\s\up6(→)))).
由于eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))不共线，
故得eq \f(1,2)－eq \f(1,m)＝eq \f(1,2)λ且eq \f(1,2)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,n)))，
消掉λ，得(m－2)(n－2)＝mn，
化简即得m＋n＝2.
1．(2019·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A，B，C三点满足eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，则这三点在线段上的位置关系是( )
答案 A
解析 根据题意得到eq \(BC,\s\up6(→))和eq \(AB,\s\up6(→))是共线同向的，且BC＝2AB，故选A.
2．(2019·山东省师大附中模拟)设a，b是非零向量，则a＝2b是eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a＝2b可知，a，b 方向相同，eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|) 表示 a，b 方向上的单位向量，所以eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立；反之不成立．故选B.
3．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
答案 B
解析 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线，由于eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))有公共点B，
因此A，B，D三点共线，故选B.
4.(2019·沈阳东北育才学校模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 由题中所给图象可得，2a＋b＝c，又c＝μ(λa＋b)，所以λ＝2.故选D.
5．(2020·唐山模拟)在△ABC中，点G满足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，且eq \(OA,\s\up6(→))＝meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，则m－n等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 D
解析 ∵ eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
可得eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
∴m＝－eq \f(3,2)，n＝－eq \f(1,2)，m－n＝－1，故选D.
6.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为( )
A.eq \f(9,11) B.eq \f(5,11) C.eq \f(3,11) D.eq \f(2,11)
答案 B
解析 注意到N，P，B三点共线，
因此eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(6,11)eq \(AN,\s\up6(→))，
从而m＋eq \f(6,11)＝1，所以m＝eq \f(5,11).
7．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C．若(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＞0，则△ABC为锐角三角形
答案 BC
解析 由向量的运算法则知eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))；eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，故A错，B对；
∵(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))2＝eq \(AC,\s\up6(→))2，即AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，故C对；
∵eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＞0，
∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．
故选BC.
8．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点
B．若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上
C．若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心
D．若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)
答案 ACD
解析 若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，故A正确；
若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，即有eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，即eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，
可得2eq \(AM,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))，
设eq \(AN,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)，故D正确．
故选ACD.
9．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝________.
答案 2eq \r(3)
解析 因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
10．(2019·钦州质检)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq \(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq \(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.
答案 －4
解析 因为M，N，P三点共线，
所以存在实数k使得eq \(MN,\s\up6(→))＝keq \(NP,\s\up6(→))，
所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，
又e1，e2为平面内两个不共线的向量，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.
11．如图所示，设O是△ABC内部一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－2eq \(OB,\s\up6(→))，求△ABC与△AOC的面积之比．
解 如图，取AC的中点D，连接OD，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(OD,\s\up6(→))，
∴O是AC边上的中线BD的中点，
∴S△ABC＝2S△OAC，
∴△ABC与△AOC面积之比为2∶1.
12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(AO,\s\up6(→)).
解 方法一 由D，O，C三点共线，
可设eq \(DO,\s\up6(→))＝k1eq \(DC,\s\up6(→))＝k1(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a))
＝－eq \f(1,2)k1a＋k1b(k1为实数)，
同理，可设eq \(BO,\s\up6(→))＝k2eq \(BF,\s\up6(→))＝k2(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－a))＝－k2a＋eq \f(1,2)k2b(k2为实数)，①
又eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)k1a＋k1b))
＝－eq \f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，②
所以由①②，得－k2a＋eq \f(1,2)k2b＝－eq \f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，
即eq \f(1,2)(1＋k1－2k2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)k2－k1))b＝0.
又a，b不共线，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)1＋k1－2k2＝0，,\f(1,2)k2－k1＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＝\f(1,3)，,k2＝\f(2,3).))
所以eq \(BO,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＝a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b))＝eq \f(1,3)(a＋b)．
方法二 因为D，F分别是AB，AC的中点，
所以O为△ABC的重心，延长AO交BC于点E(图略)，
则E为BC的中点，
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)．
13．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，eq \r(2)] D．(－1,0)
答案 B
解析 设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OD,\s\up6(→))，则m>1，
因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，所以meq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
即eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up6(→))，
又知A，B，D三点共线，所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故选B.
14．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OC,\s\up6(→))))，则点P一定为△ABC的( )
A．BC边中线的中点
B．BC边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．BC边的中点
答案 B
解析 设BC的中点为M，则eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OM,\s\up6(→))＋2eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，
即3eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋2eq \(OA,\s\up6(→))，也就是eq \(MP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，
∴P，M，A三点共线，
且P是AM上靠近A点的一个三等分点．
15．设a是已知的平面向量，向量a，b，c在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④若|a|＝2，存在单位向量b，c和正实数λ，μ，使a＝λb＋μc，则3λ＋3μ>6.
其中真命题是__________．
答案 ①②④
解析 给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c，即a－b＝c.显然存在c.所以①正确．由平面向量的基本定理可得②正确．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc，当a分解到c方向的向量长度大于μ时，向量a没办法按b，c分解，所以③不正确．存在单位向量b，c和正实数λ，μ，由于a＝λb＋μc，向量b，c的模为1，由三角形的三边关系可得λ＋μ>2.由3λ＋3μ≥2eq \r(3λ＋μ)>6.所以④成立．
16．(2019·成都模拟)已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，△ABC与△APQ的面积之比为eq \f(20,9)，求实数λ的值．
解 设eq \(AQ,\s\up6(→))＝xeq \(AC,\s\up6(→))，
∵P，G，Q三点共线，
∴可设eq \(AG,\s\up6(→))＝μeq \(AP,\s\up6(→))＋(1－μ)eq \(AQ,\s\up6(→))，
∴ eq \(AG,\s\up6(→))＝λμeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)xeq \(AC,\s\up6(→))，
∵G为△ABC的重心，∴ eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴ eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝λμeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)xeq \(AC,\s\up6(→))，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＝λμ，,\f(1,3)＝1－μx，))两式相乘得eq \f(1,9)＝λxμ(1－μ)，①
∵ eq \f(S△ABC,S△APQ)＝eq \f(\f(1,2)|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC,\f(1,2)|\(AP,\s\up6(→))||\(AQ,\s\up6(→))|sin∠BAC)，
∴λx＝eq \f(9,20)，②
②代入①即eq \f(20,81)＝μ(1－μ)，
解得μ＝eq \f(4,9)或eq \f(5,9)，即λ＝eq \f(3,5)或eq \f(3,4).向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ