高考数学一轮复习第四章 高考专题突破二

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例1 (2019·山东省淄博实验中学、淄博五中月考)已知向量m＝(2cs ωx，－1)，n＝(sin ωx－cs ωx,2)，其中ω>0，函数f (x)＝m·n＋3，若函数f (x)图象的两个相邻对称中心的距离为eq \f(π,2).
(1)求函数f (x)的单调递增区间；
(2)将函数f (x)的图象先向左平移eq \f(π,4)个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，得到函数g(x)的图象，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))时，求函数g(x)的值域．
解 (1)由题意可得f (x)＝m·n＋3
＝2cs ωx(sin ωx－cs ωx)－2＋3
＝2sin ωxcs ωx－(2cs2ωx－1)
＝sin 2ωx－cs 2ωx
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,4))).
由题意知，T＝eq \f(2π,2ω)＝π，得ω＝1，
则f (x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
解得kπ－eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(3π,8)，k∈Z，
∴f (x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))，k∈Z.
(2)将f (x)的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得到y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象，
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，
得到g(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))的图象．
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴4x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)，\f(9π,4)))，
∴－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))≤eq \f(\r(2),2)，
故函数g(x)的值域为[－eq \r(2)，1]．
思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．
跟踪训练1 设f (x)＝2eq \r(3)sin(π－x)sin x－(sin x－cs x)2.
(1)求函数f (x)的单调递增区间；
(2)把函数y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值．
解 (1)由f (x)＝2eq \r(3)sin(π－x)sin x－(sin x－cs x)2
＝2eq \r(3)sin2x－(1－2sin xcs x)
＝eq \r(3)(1－cs 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＋eq \r(3)－1
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \r(3)－1.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)．
所以f (x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))k∈Z)).
(2)由(1)知f (x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \r(3)－1，
把y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋eq \r(3)－1的图象，
再把得到的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，
得到y＝2sin x＋eq \r(3)－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋eq \r(3)－1.
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2sin eq \f(π,6)＋eq \r(3)－1＝eq \r(3).
例2 (12分)(2019·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin eq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
规范解答
解 (1)由题设及正弦定理，
得sin Asin eq \f(A＋C,2)＝sin Bsin A．[2分]
因为sin A≠0，所以sin eq \f(A＋C,2)＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin eq \f(A＋C,2)＝cs eq \f(B,2)，[3分]
故cs eq \f(B,2)＝2sin eq \f(B,2)cs eq \f(B,2).[5分]
因为cs eq \f(B,2)≠0，故sin eq \f(B,2)＝eq \f(1,2)，因此B＝60°.[6分]
(2)由题设及(1)知△ABC的面积
S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)a.[8分]
由正弦定理，得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(sin120°－C,sin C)＝eq \f(\r(3),2tan C)＋eq \f(1,2).[10分]
由于△ABC为锐角三角形，故0°