高考数学一轮复习第七章 7.5

这是一份高考数学一轮复习第七章 7.5，共22页。试卷主要包含了空间向量的有关概念，空间向量的数量积及运算律，空间向量的坐标表示及其应用，零向量能作为基向量吗？等内容，欢迎下载使用。
1．空间向量的有关概念
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．
(3)
概念方法微思考
1．共线向量与共面向量相同吗？
提示 不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．
2．零向量能作为基向量吗？
提示 不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c)．( × )
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )
(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0.( √ )
题组二 教材改编
2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 A
解析 eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(B1M,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝c＋eq \f(1,2)(b－a)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
答案 eq \r(2)
解析 |eq \(EF,\s\up6(→))|2＝eq \(EF,\s\up6(→))2＝(eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))2
＝eq \(EC,\s\up6(→))2＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DF,\s\up6(→))2＋2(eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→)))
＝12＋22＋12＋2(1×2×cs 120°＋0＋2×1×cs 120°)＝2，
∴|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，∴EF的长为eq \r(2).
题组三 易错自纠
4．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
答案 B
解析 由题意得，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝－3eq \(CD,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
5．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋teq \(OC,\s\up6(→))，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______.
答案 eq \f(1,8)
解析 ∵P，A，B，C四点共面，
∴eq \f(3,4)＋eq \f(1,8)＋t＝1，∴t＝eq \f(1,8).
6．设μ，v分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
答案 α⊥β α∥β
解析 当v＝(3，－2,2)时，μ·v＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v，所以α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，μ∥v，所以α∥β.
7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________，以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
答案 120° 60°
解析 由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.因为a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cs〈b，c〉＝eq \f(b·c,|b|·|c|)＝eq \f(－18,12×\r(1＋4＋4))＝－eq \f(1,2)，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为60°.
空间向量的线性运算
例1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AA1,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)eq \(AP,\s\up6(→))；
(2)eq \(A1N,\s\up6(→))；
(3)eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(NC1,\s\up6(→)).
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴eq \(A1N,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c＋\f(1,2)b))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，
又eq \(NC1,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)c＋a，
∴eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(NC1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)c))
＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(3,2)c.
思维升华 用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))表示eq \(OC1,\s\up6(→))，则eq \(OC1,\s\up6(→))＝________________.
答案 eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
解析 ∵eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，
∴eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)).
(2)如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq \(NM,\s\up6(→))，则eq \(NM,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)(－a＋b＋c)B.eq \f(1,2)(a＋b－c)
C.eq \f(1,2)(a－b＋c)D.eq \f(1,2)(－a－b＋c)
答案 B
解析 eq \(NM,\s\up6(→))＝eq \(NA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(a＋b－c)．
共线定理、共面定理的应用
例2 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH.
证明 (1)连接BG，
则eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))
＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))
＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))
＝eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．
(2)因为eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．
(1)向量eq \(MN,\s\up6(→))是否与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解 (1)∵eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))
＝keq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(BC,\s\up6(→))
＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))
＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))
＝keq \(B1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AB1,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))－k(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AA1,\s\up6(→))，
∴由共面向量定理知向量eq \(MN,\s\up6(→))与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，
MN在平面ABB1A1内，
当0